2.2.1 综合法和分析法教学目标

综合法和分析法

教学要求：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点. 教学重点：会用综合法证明问题；了解综合法的思考过程. 教学难点：根据问题的特点，结合综合法的思考过程、特点，选择适当的证明方法. 教学过程：

一、复习准备：

114”1. 已知

“若a1,a2R，且a1a21，则，试请此结论推广猜想. a1a2（答案：若a1,a2.......anR，且a1a2....an1，则2. 已知a,b,cR，abc1，求证：111....

n2）

a1a2an1119. abc先完成证明

→

讨论：证明过程有什么特点？

二、讲授新课：

1. 教学例题：

①

出示例1：已知a, b, c是不全相等的正数，求证：a(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2) > 6abc.

分析：运用什么知识来解决？（基本不等式）

→

板演证明过程（注意等号的处理）

→

讨论：证明形式的特点

②

提出综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立.

框图表示：

要点：顺推证法；由因导果. ③

练习：已知a，b，c是全不相等的正实数，求证bcaacbabc3. abc④

出示例2：在△ABC中，三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且A、B、C成等差数列，a、b、c成等比数列. 求证：为△ABC等边三角形.

分析：从哪些已知，可以得到什么结论？

如何转化三角形中边角关系？

→

板演证明过程

→

讨论：证明过程的特点.

→

小结：文字语言转化为符号语言；边角关系的转化；挖掘题中的隐含条件（内角和）

2. 练习：

①

A,B为锐角，且tanAtanB3tanAtanB3，求证：AB60. （提示：算tan(AB)）

②

已知abc,

求证：114.

abbcac3. 小结：综合法是从已知的P出发，得到一系列的结论Q1,Q2,，直到最后的结论是Q.

运用综合法可以解决不等式、数列、三角、几何、数论等相关证明问题. 三、巩固练习：

1. 求证：对于任意角θ，cos4sin4cos2.

（教材P52 练习

1题）

（两人板演

→

订正

→

小结：运用三角公式进行三角变换、思维过程）

2. ABC的三个内角A,B,C成等差数列，求证：113. abbcabc3. 作业：教材P54

A组

1题.

第二课时

2.2.1

综合法和分析法（二）

教学要求：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点. 教学重点：会用分析法证明问题；了解分析法的思考过程. 教学难点：根据问题的特点，选择适当的证明方法. 第1页

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教学过程：

一、复习准备：

1. 提问：基本不等式的形式？

2. 讨论：如何证明基本不等式abab(a0,b0). 2

（讨论

→

板演

→

分析思维特点：从结论出发，一步步探求结论成立的充分条件）

二、讲授新课：

1. 教学例题：

①

出示例1：求证3526.

讨论：能用综合法证明吗？

→

如何从结论出发，寻找结论成立的充分条件？

→

板演证明过程

（注意格式）

→

再讨论：能用综合法证明吗？

→

比较：两种证法

②

提出分析法：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止.

框图表示：2

要点：逆推证法；执果索因. 1223133③

练习：设x > 0，y > 0，证明不等式：(xy)(xy).

先讨论方法

→

分别运用分析法、综合法证明. ④

出示例4：见教材P48.

讨论：如何寻找证明思路？（从结论出发，逐步反推）

⑤

出示例5：见教材P49.

讨论：如何寻找证明思路？（从结论与已知出发，逐步探求）

2. 练习：证明：通过水管放水，当流速相等时，如果水管截面（指横截面）的周长相等，那么截面的圆的水管比截面是正方形的水管流量大. ll，截面积为()2，周长为l的正方形边长22llll为，截面积为()2，问题只需证：()2> ()2. 44243. 小结：分析法由要证明的结论Q思考，一步步探求得到Q所需要的已知P1,P2,，直到所有的已知

提示：设截面周长为l，则周长为l的圆的半径为P都成立；

比较好的证法是：用分析法去思考，寻找证题途径，用综合法进行书写；或者联合使用分析法与综合法，即从“欲知”想“需知”(分析)，从“已知”推“可知”（综合），双管齐下，两面夹击，逐步缩小条件与结论之间的距离，找到沟通已知条件和结论的途径.

（框图示意）

三、巩固练习：

1.

设a, b, c是的△ABC三边，S是三角形的面积，求证：c2a2b24ab43S. 略证：正弦、余弦定理代入得：2abcosC4ab23absinC，

即证：2cosC23sinC，即：3sinCcosC2，即证：sin(C6)1（成立）. 2. 作业：教材P52

练习

2、3题.

第三课时

2.2.2

反证法

教学要求：结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点. 教学重点：会用反证法证明问题；了解反证法的思考过程. 教学难点：根据问题的特点，选择适当的证明方法. 教学过程：

一、复习准备：

1. 讨论：三枚正面朝上的硬币，每次翻转2枚，你能使三枚反面都朝上吗？（原因：偶次）

2. 提出问题：

平面几何中，我们知道这样一个命题：“过在同一直线上的三点A、B、C不能作圆”. 讨论如何证明这个命题？

3. 给出证法：先假设可以作一个⊙O过A、B、C三点，

则O在AB的中垂线l上，O又在BC的中垂线m上，

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AODPCB

即O是l与m的交点。

但

∵A、B、C共线，∴l∥m(矛盾)

∴

过在同一直线上的三点A、B、C不能作圆. 二、讲授新课：

1. 教学反证法概念及步骤：

①

练习：仿照以上方法，证明：如果a>b>0，那么ab

②

提出反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立. 证明基本步骤：假设原命题的结论不成立

→

从假设出发，经推理论证得到矛盾

→

矛盾的原因是假设不成立，从而原命题的结论成立

应用关键：在正确的推理下得出矛盾（与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等）. 方法实质：反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的，即由一个命题与其逆否命题同真假，通过证明一个命题的逆否命题的正确，从而肯定原命题真实.

注：结合准备题分析以上知识. 2. 教学例题：

①

出示例1：求证圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分.

分析：如何否定结论？

→

如何从假设出发进行推理？

→

得到怎样的矛盾？

与教材不同的证法：反设AB、CD被P平分，∵P不是圆心，连结OP，

则由垂径定理：OPAB，OPCD，则过P有两条直线与OP垂直（矛盾），∴不被P平分.

②

出示例2：求证3是无理数.

（

同上分析

→

板演证明，提示：有理数可表示为m/n）

证：假设3是有理数，则不妨设3m/n（m,n为互质正整数），

从而：(m/n)23，m23n2，可见m是3的倍数. 设m=3p（p是正整数），则

3n2m29p2，可见n

也是3的倍数. 这样，m, n就不是互质的正整数（矛盾）. ∴3m/n不可能，∴3是无理数. ③

练习：如果a1为无理数，求证a是无理数. 提示：假设a为有理数，则a可表示为p/q（p,q为整数），即ap/q.

由a1(pq)/q，则a1也是有理数，这与已知矛盾.

∴

a是无理数. 3. 小结：反证法是从否定结论入手，经过一系列的逻辑推理，导出矛盾，从而说明原结论正确. 注意证明步骤和适应范围（“至多”、“至少”、“均是”、“不都”、“任何”、“唯一”等特征的问题）

三、巩固练习：

1. 练习：教材P54

1、2题

2. 作业：教材P54

A组3题.

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