测试优秀教学设计

九年级数学·下 新课标[人]

1.掌握平行线分线段成比例定理及推论,会用平行线判定三角形相似.

2.理解并掌握相似三角形的判定定理,并能应用判定定理解决问题.

3.探索相似三角形的性质定理,能应用相似三角形的性质进行有关计算.

4.了解图形的位似,能够利用位似将一个图形放大或缩小.

5.会利用图形的相似解决一些简单实际问题.

1.结合相似图形性质和判定方法的探索和证明,进一步培养学生的合情推理能力,发展学生逻辑思维能力和推理论证的能力.

2.进一步培养学生综合运用知识的能力,运用学过的知识解决问题的能力.

3.通过坐标系下位似图形的画法,进一步体会数形结合思想在数学中的应用.

4.通过探究相似三角形在实际问题中的应用,体会建模思想,提高分析问题、解决问题的能力,培养数学应用意识.

1.通过建立与三角形相似有关的数学模型解决实际问题,培养学生数学建模思想,提高学生运用数学知识解决实际问题的能力.

2.在探究活动中通过小组合作交流,培养学生共同探究的合作意识及探索实践的良好习惯.

3.在类比、猜想、证明的探索过程中,让学生体验成功的快乐,同时培养学生严谨的求学精神.

4.通过建立数学模型解决实际问题,培养学生积极进取的精神,增强学习数学的自信心.

【重点】

1.理解并掌握相似三角形的判定和性质,并能应用相似三角形的判定定理和性质进行有关计算.

2.能够利用位似将一个图形放大或缩小.

3.会利用图形的相似解决一些简单实际问题.

【难点】

1.相似三角形的判定和性质的综合运用.

2.建立数学模型,利用相似三角形解决实际问题.

本章质量评估

(时间:90分钟

满分:120分)

一、选择题(每小题3分,共30分)

1.下列四条线段中,不是成比例线段的是

(

)

A.a=3,b=6,c=2,d=4 B.a=,b=8,c=5,d=15 C.a=1,b=

,c=

,d=

D.a=

,b=1,c=

,d=

2.△ABC∽△A'B'C',∠A=45°,∠B=100°,则∠C'等于

(

)

A.45°

B.100°

C.55°

D.35°

3.(2014·玉林中考)△ABC与△A'B'C'是位似图形,且△ABC与△A'B'C'的相似比是1∶2,已知△ABC的面积是3,则△A'B'C'的面积是

(

)

A.3

B.6

C.9

D.12 4.(2015·淮安中考)如图所示,l1∥l2∥l3,

直线a,b与l1,l2,l3分别相交于点A,B,C和点D,E,F,若=,DE=4,则

EF的长是

(

)

A.

B.

C.6

D.10 5.如图所示,在▱ABCD中,E为CD上一点,连接AE,BD,且AE,BD交于点F,S△DEF∶S△ABF=4∶25,则DE∶EC等于

(

)

A.2∶5

B.2∶3

C.3∶5

D.3∶2

6.如图所示,要使△ACD∽△BCA,下列各式中必须成立的是

(

)

A.=2

B. =

2C.CD=AD·DB

D.AC=CD·CB

7.如图所示,已知点E(-4,2),F(-1,-1),以点O为位似中心,按1∶2的比例把△EFO缩小,则点E的对应点E'的坐标为

(

)

A.(2,-1)或(-2,1)

B.(2,-1)

C.(8,-4)

D.(8,-4)或(-8,4)

8.如图所示的△ABC中,若DE∥BC,EF∥AB,则下列比例式正确的是

(

)

A. =

B.=

C.=

D.=

9.如图所示,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD平分∠ABC交AC于点D,若AC=2,则AD的长是

(

)

A.

-

B.

C.

-1

D.

+1

10.(2014·白银中考)如图所示,边长为1的正方形ABCD中,点E在CB的延长线上,连接ED交AB于点F,AF=x(0.2≤x≤0.8),EC=y.则在下面的函数图象中,大致能表示y与x之间函数关系的是

(

)

二、填空题(每小题4分,共24分)

11.如图所示,∠1=∠2,添加一个条件使△ADE∽△ACB:

.

12.(2015·长沙中考)如图所示,在△ABC中,DE∥BC,AD∶AB=1∶3,DE=6,则BC的长是

.

13.(2014·舟山中考)如图所示,在△ABC中,AB=2,AC=4,将△ABC绕点C沿逆时针方向旋转得到△A'B'C,使CB'∥AB,分别延长AB,CA'相交于点D,则线段BD的长为

.

14.(2014·娄底中考)如图所示,小明用长为3 m的竹竿CD做测量工具,测量学校旗杆AB的高度,移动竹竿,使竹竿与旗杆的距离DB=12 m,则旗杆AB的高为

m.

15.如图所示,在△ABC中,∠ACB= 90°

,

CD⊥AB,垂足是D,BC=

,

BD=1,则CD=

,AD=

.

16.为了测量一棵树AB的高度,测量者在D点立一高CD=2 m的标杆,现测量者从F处可以看到杆顶C与树顶A在同一条直线上,如果测得BD=20 m,FD=4 m,EF=1.8 m,则树AB的高度为

m.

三、解答题(共66分)

17.(5分)如图所示,已知在△ABC与△DEF中,∠C=54°,∠A=47°,∠F=54°,∠E=79°.求证△ABC∽△DEF.

18.(6分)如图所示,在边长为9的正三角形ABC中,BD=3,∠ADE=60°,求AE的长.

19.(8分)如图所示,点C,D在线段AB上,△PCD是等边三角形.

(1)当AC,CD,DB满足怎样的关系时,△ACP∽△PDB?

(2)当△ACP∽△PDB时,求∠APB的度数.

20.(8分)如图所示,在边长均为1的小正方形网格纸中,△OAB的顶点O,A,B均在格点上,且O是直角坐标系的原点,点A在x轴上.

(1)以O为位似中心,将△OAB放大,使得放大后的△OA1B1与△OAB对应线段的比为2∶1,画出△OA1B1(所画△OA1B1与△OAB在原点两侧);

(2)求出线段A1B1所在直线的函数关系式.

21.(8分)如图所示,直线PM切☉O于点M,直线PO交☉O于A,B两点,弦AC∥PM,连接OM,BC.求证:

(1)△ABC∽△POM;

2(2)2OA=OP·BC.

22.(9分)如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,以AC为直径的☉O与AB边交于点D,过点D作☉O的切线,交BC于点E.

(1)求证点E是边BC的中点;

(2)若EC=3,BD=2

,求☉O的直径AC的长度;

(3)若以点O,D,E,C为顶点的四边形是正方形,试判断△ABC的形状,并说明理由.

23.(10分)(2014·河南中考)如图所示,在直角梯形OABC中,BC∥AO,∠AOC=90°,点A,B的坐标分别为(5,0),(2,6),点D为AB上一点,且BD=2AD.双曲线y=(x>0)经过点D,交BC于点E.

(1)求双曲线的解析式;

(2)求四边形ODBE的面积.

24.(12分)如图所示,在△ABC中,BA=BC=20 cm,AC=30 cm,点P从点A出发,沿AB以每秒4 cm的速度向点B运动,同时点Q从C点出发,沿CA以每秒3 cm的速度向点A运动,设运动时间为x秒.

(1)当x为何值时,BP=CQ?

(2)当x为何值时,PQ∥BC?

(3)△APQ能否与△CQB相似?若能,求出x的值;若不能,请说明理由.

【答案与解析】

1.C(解析:A

选项中,满足=,是成比例线段;B

选项中,满足=;D选项中,满足=.故选C.)

2.D(解析:△ABC∽△A'B'C',则∠A=∠A'=45°,∠B=∠B'=100°,根据三角形的内角和定理得到∠C'=180°-∠A'-∠B'=180°-45°-100°=35°.故选D.)

3.D(解析:∵△ABC与△A'B'C'是位似图形,且△ABC与△A'B'C'的相似比是1∶2,△ABC的面积是3,∴△ABC与△A'B'C'的面积比为1∶4,则△A'B'C'的面积是12.故选D.)

4.C(解析:∵l1∥l2∥l3,∴=

,∵=,DE=4,∴EF=6.故选

C.)

5.B(解析:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,∴∠FAB=∠DEF,又∠AFB=∠EFD,∴△DEF∽△BAF,∵S△DEF∶S△ABF=4∶25,∴DE∶AB=2∶5,∵AB=CD,∴DE∶EC=2∶3.故选B.)

6.D(解析:∵∠C=∠C,∴要使△ACD∽△BCA,则两边必须满足=,即AC=CD·CB.故选D.)

2 7.A(解析:根据题意可知点E的对应点E'的坐标是E(-4,2)的坐标同时乘或

-

,所以点E'的坐标为(-2,1)或(2,-1).故选A.)

8.C(解析:∵DE∥BC,EF∥AB,∴四边形DEFB是平行四边形,∴DE=BF,BD=EF.∵DE∥BC,∴ ==,∵EF∥

AB,∴ = = ,∵EF∥AB,∴ = .故选C.)

9.C(解析:由题知∠A=∠DBC=36°,∠C为公共角,∴△ABC∽△BDC,

且AD=BD=BC.

设BD=x,则BC=x,CD=2- x.∵ = ,∴

-

=.

整理得x+2x-4=0,

解方程得x=-1±

,

∵x为正数,

∴x=-1+

.故选C.)

-

-

=,所以

210.C(解析:根据题意知BF=1-x,BE=y-1,且△EFB∽△EDC,则=,即y=

(0.2≤x≤0.8),该函数图

象是位于第一象限的双曲线的一部分.A,D的图象都是直线的一部分,B的图象是抛物线的一部分,C的图象是双曲线的一部分.故选C.)

11.∠B=∠E(答案不唯一)

12.18(解析:∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,∴ =,∵AD∶AB=1∶3,DE=6,∴BC=3×6=18.故填 18.)

13.6(解析:∵将△ABC绕点C沿逆时针方向旋转得到△A'B'C,∴AC=CA'=4,AB=B'A'=2,∠A=∠CA'B',∵CB'∥AB,∴∠B'CA'=∠D,∴△CAD∽△B'A'C,∴

=

,∴

=

,解得AD=8,∴BD=AD-AB=8-2=6.故填6.)

14.9(解析:由题意得CD∥AB,∴△OCD∽△OAB,∴=

,即=,解得

AB=9(m).故填9.)

=,即 15.

5(解析:在Rt△DBC中,由勾股定理得CD=

-

=

,由题意知△DBC∽△DCA,可得

=,因此

AD=5.)

16.3(解析:如图所示,过E作EH⊥AB于H,交CD于G,则CG=CD-EF=0.2 m,EG=FD=4 m,EH=BF=BD+DF=24 m.易知△CEG∽△AEH,则有

.

=,即=,∴AH=1.2(m),∴AB=AH+BH=AH+EF=3 m,即树的高度为 3 m.故填3.)

17.证明:在△ABC中,∠B=180°-∠A-∠C=79°,在△ABC和△DEF中,∠B=∠E,∠C=∠F,∴△ABC∽△DEF.

18.解:∵△ABC是等边三角形,∴∠B=∠C=60°,AB=BC.∴CD=BC-BD=9-3=6,∴∠BAD+∠ADB=120°.∵∠ADE=60°,∴∠ADB+∠EDC=120°,∴∠DAB=∠EDC,又∵∠B=∠C=60°,∴△ABD∽△DCE,则 = ,即

= ,解得CE=2,∴AE=AC-CE=9-2=7.

19.解:(1)当CD=AC·DB时,△ACP∽△PDB.∵△PCD是等边三角形,∴∠PCD=∠PDC=60°,∴∠ACP=∠2

PDB=120°,若CD2=AC·DB,由PC=PD=CD可得PC·PD=AC·DB,即 = ,∴△ACP∽△PDB.

(2)当△ACP∽△PDB时,∠APC=∠PBD,由题知∠PDC=60°,∴∠DPB+∠DBP=60°,∴∠APC+∠BPD=60°,∴∠APB=∠CPD+∠APC+∠BPD=120°,即∠APB的度数为120°.

20.解:(1)如图所示的△OA1B1就是△OAB放大后的图象.

(2)由(1)可得点A1,B1的坐标分别为(4,0),(2,-4),故设此直线的解析式为y=kx+b(k≠0),∴

故线段A1B1所在直线的函数关系式为y=2x-8.

-

.

解得-

21.证明:(1)∵直线PM切☉O于点M,∴∠PMO=90°,∵弦AB是直径,∴∠ACB=90°,∴∠ACB=∠PMO,∵AC∥PM,∴∠CAB=∠P,∴△ABC∽△POM.

(2)∵△ABC∽△POM,∴ = ,又AB=2OA,OA=OM,∴ = ,∴2OA2=OP·BC.

22.(1)证明:连接DO

,∵∠ACB=90°,AC为直径,

∴EC为☉O的切线,又∵ED也为☉O的切线,

∴EC=ED.又∵∠EDO=90°,∴∠BDE+∠ADO=90°,∴∠BDE+∠A=90°,又∵∠B+∠A=90°,∴∠BDE=∠B,∴EB=ED.∴EB=EC,即点E是边BC的中点.

(2)解:∵BC,BA分别是☉O的切线和割线,∴BC=BD·BA

,

∴(2EC)= BD·BA

,即22 36=2

·BA,∴BA=3

,在Rt△ABC中,由勾股定理得

AC=

-

=

-

=3

.

(3)解:△ABC是等腰直角三角形.理由如下:∵四边形ODEC为正方形,∴∠DOC=∠ACB=90°,即DO∥BC,又∵点E是边BC的中点,

∴BC=2OD=AC,∴△ABC是等腰直角三角形.

23.解:(1)过点B,D作x轴的垂线,垂足分别为点M,N.∵A(5,0),B(2,6),∴OM=BC=2,BM=OC=6,AM=3.∵DN∥BM,∴△

AND∽△AMB,∴ = = =

,∴DN =2,AN=1,

∴ON=4.∴点D的坐标为(4,2).

∵双曲线y=(x>0)经过点D,∴k=2×4=8.∴双曲线的解析式为y=.

(2)∵点E在BC上,∴点E的纵坐标为6.又∵点E在双曲线y=上,∴点E的坐标为

,∴CE=.∴S四边形ODBE=S梯形OABC-S△OCE-S△AOD

=×(BC+OA)×OC-×OC×CE-×OA×DN =×(2+5)×6-×6×-×5×2=12.∴四边形ODBE的面积为12.

24.解:(1)依题意可得BP=20-4x,CQ=3x.当BP=CQ时,20-4x=3x,∴x=.当x=时,BP=CQ.

(2)由题知

AP=4x,AB=20,AQ=30-3x,AC=30.所以当PQ∥BC时,有 = ,即 =能.①当△APQ∽△CQB时,有= - ,即=,解得 - .解得 x=

.当x=

时,PQ∥BC.

(3) - .解得 x=

.②当△APQ∽△CBQ时,有 = ,即 =x=5或x=-10(舍去).综上,当x=

或x=5时,△APQ与△CQB相似.