反比函数在物理学中的应用教案设计

第二十六章

反比例函数

本章内容属于“数与代数”领域，是在已经学***面直角坐标系和一次函数的基础上，再一次进入函数范畴，让学生进一步理解函数的内涵，并感受现实世界中存在各种函数，掌握如何应用函数知识解决实际问题．反比例函数是最基本的函数之一，是学习后续各类函数的基础．

本章的主要内容是反比例函数，教材中从几个学生熟悉的实际问题出发，引入反比例函数的概念，使学生逐步从对具体函数的感性认识上升到对抽象的反比例函数概念的理性认识．

26．2

实际问题与反比例函数

知识与技能

1．能灵活运用反比例函数解决一些实际问题．

2．分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型，进而解决问题．

过程与方法

会用反比例函数知识分析、解决实际问题．

情感、态度与价值观

渗透数形结合思想，提高学生用函数观点解决问题的能力．

重点

会用反比例函数知识分析、解决实际问题．

难点

分析实际问题中的数量关系，正确写出函数解析式．

一、复习导入，教授新课

问题：

市煤气公司要在地下修建一个容积为104

m3的圆柱形煤气储存室．

(1)储存室的底面积S(单位：m2)与其深度d(单位：m)有怎样的函数关系？

(2)公司决定把储存室的底面积S定为500 m2，施工队施工时应该向下挖进多深？

(3)当施工队按(2)中的计划挖进到地下15 m时，碰上了坚硬的岩石，为了节约建设资金，公司临时改变计划把储存室的深改为15 m，相应的，储存室的底面积应改为多少才能满足需要？(保留两位小数) 我们知道圆柱的容积是底面积×高，而现在容积一定为104

m3，所以S·d＝104. 104变形就可得到底面积S与其深度d的函数关系式，即S＝，所以储存室的底面积Sd是其深度d的反比例函数．

104根据函数S＝，我们知道给出一个d的值就有唯一的S的值和它相对应，反过来，d知道S的一个值，也可求出d的值．

104104根据S＝，得500＝，解得d＝20，即施工队施工时应该向下挖进20米．

dd104根据S＝，把d＝15代入此式，得

d104S＝≈666.67(m2)．

15当储存室的深为15 m时，储存室的底面积应改为666. 67 m2才能满足需要．

二、例题讲解

例1

码头工人每天往一艘轮船上装载30吨货物，装载完毕恰好用了8天时间．

(1)轮船到达目的地后开始卸货，平均卸货速度v(单位：吨/天)与卸货天数t之间有怎样的函数关系？

(2)由于遇到紧急情况，要求船上的货物不超过5天卸载完毕，那么平均每天至少要卸载多少吨？

解：(1)设轮船上的货物总量为k吨，根据已知条件得

k＝30×8＝240，

所以v关于t的函数解析式为

v＝240(2)把t＝5代入v＝，得

tv＝240＝48(吨)．

5240. t从结果可以看出，如果全部货物恰好用5天卸载完，那么平均每天卸载48吨．对于函数v＝240，当t>0时，t越小，v越大．这样若货物不超过5天卸载完，则平均每天至少要t卸载48吨．

例2

小伟欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为1 200 N和0.5 m. (1)动力F与动力臂l有怎样的函数关系？当动力臂为1.5 m时，撬动石头至少需要多大的力？

(2)若想使动力F不超过题(1)中所用力的一半，则动力臂l至少要加长多少？

解：(1)根据“杠杆原理”，得

Fl＝1 200×0.5，

所以F关于l的函数解析式为

F＝当l＝1.5 m时，

F＝对于函数F＝要400 N的力．

(2)对于函数F＝600，F随l的增大而减小．因此，只要求出F＝200 N时对应的l的值，l600＝400(N)．

1.5600. l600，当l＝1.5 m时，F＝400 N，此时杠杆平衡，因此，撬动石头至少需l就能确定动力臂l至少应加长的量．

1600当F＝400×＝200时，由200＝得

2ll＝3－1.5＝1.5(m)．

对于函数F＝600，当l>0时，l越大，F越小．因此，若想用力不超过400 N的一半，l600＝3(m)，

200则动力臂至少要加长1.5 m. 例3

一个用电器的电阻是可调节的，其范围为110 Ω～220 Ω.已知电压为220 V，这个用电器的电路图如图所示．

(1)功率P与电阻R有怎样的函数关系？

(2)这个用电器功率的范围是多少？

解：(1)根据电学知识，当U＝220时，得

2202P＝.

①

R(2)根据反比例函数的性质可知，电阻越大，功率越小．把电阻的最小值R＝110代入①式，得到功率的最大值

2202P＝＝440(W)；

110把电阻的最大值R＝220代入①式，得到功率的最小值

2202P＝＝220(W)．

220因此用电器功率的范围为220W～440W. 三、巩固练习

1．京沈高速公路全长658 km，汽车沿京沈高速公路从沈阳驶往北京，则汽车行完全程所需的时间t(h)与行驶的平均速度v(km/h)之间的函数关系式为________．

658答案

t＝

v2．一定质量的氧气，它的密度ρ(kg/m3)是它的体积V(m3)的反比例函数．当V＝10 m3时，ρ＝1.43 kg/m3.(1)求ρ与V的函数关系式；(2)求当V＝2 m3时氧气的密度ρ. m答案

(1)ρ＝，当V＝10 m3时，ρ＝1.43 kg/m3，所以m＝ρV＝10×1.4＝14.3，所V14.314.3以ρ＝；(2)当V＝2 m3时，ρ＝＝7.15(kg/m3)．

v2四、课堂小结

本节课是用函数的观点处理实际问题，并且是蕴含着体积、面积这样的实际问题，而解决这些问题，关键在于分析实际情境，建立函数模型，并进一步明确数学问题，将实际问题置于已有的知识背景之中，抽象出数学模型，逐步形成解决实际问题的能力，在解决问题时，应充分利用函数的图象帮助分析问题，渗透数形结合的思想．

本节体现了反比例函数是解决实际问题的有效的数学模型的思想．创设问题情境，激发学生探究实际问题的兴趣，引发学生思考，体验数学知识的实用性，让学生经历“问题情境→建立模型→拓展应用”的过程，培养学生善于发现问题、积极参与学习的能力，培养学生的数学应用意识，充分激发学生的潜能．