复习题28优秀教案案例

锐角三角函数专题复习（教学设计）

安陆市解放路初级中学

伍良法

【教学目标】：

知识与技能：

1．让学生在解题中体会转化和数学建模的数学思想，以及设参数简化计算的数学方法．

2．在解题中逐步抽象出解决锐角三角函数问题的基本几何模型．如：“A”型相似，反“A”型相似的特殊情况：类射影定理相似．

过程与方法：

通过师生互动，教师的引导，学生的交流、讨论，逐步上升到用数学思想方法解题，抽象出几种基本的几何模型，让学生在今后的解题中能站在一个更高的高度去思考和解决问题．

情感、态度与价值观：

通过让学生参与课堂，让学生体会到，我参与，我快乐，我总结，我提高，我有收获感和成就感。

【教学重难点】：

教学重点：

体会并运用数学思想方法解题，抽象出解三角函数问题的几种基本几何模型．

教学难点：

运用所抽象出的多种几何模型解决同一个综合题（数学的一题多解），并进一步发散运用到其他题目中．

【教学流程】：

体会数学思想方题1：定义法；题2：等角转化；题3；设参数简化计算．

法

抽象几何模型

题4：构造Rt△；题5：“A”型相似；题6：类射影定理相似．

题7：分别运用题4，题5，题6的模型（一题多解）

运用几何模型

题8：选择恰当的几何模型解题

发散运用

总结本课内容，布置作业

课堂小结

1

【教学设计】：

一、体会数学思想方：

1．

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，AB的垂直平分线DE 交BC于点D，交AB于点E，tan∠CAD（

B

）

A．

B．

C．

D．

此题用三角函数的定义法计算，要体现用三角函数简化计算：

解法1：(用勾股定理计算)：设DB=DA=x，CD=8-x，由CD2+AC2=AD2得

(8-x)2+62=x2，解得x=

，8-x=

，

tan∠CAD=

解法2：(用三角函数计算)：sinB=,即，解得x=

学生大多会用方法1，教师就引导学生体会方法2的计算更简单．若学生用

的是方法2，要肯定学生的方法，并提出方法1是基本方法．

2．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，AC=4，CD⊥AB于D，则

tan∠BCD的值为（

D

）

4343

A．5

B．5

C．3

D．4

此题要体现数学的转化思想：

引导学生将∠BCD转化到∠A，再放到△ABC中进行计算．

33．如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，设∠ADE＝α，且cosα＝5，AB＝4，

则AD的长为(

B

)

162016A．3

B．3

C．3

D．5

此题要体现设参数简化计算：

33可将∠ADE转化到∠BAC，因为cosα＝5，所以cos∠BAC＝5，然后设参数，

16设AB=3a，AC=5a，则BC=4a，因为AB=3a=4，所以BC= 4a= 3．

二、抽象几何模型：

4．如图，在半径为3的⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E，连接AC，BD，

若AC=2，则tanD的值是

2

．

此题要体现数学的建模思想，构造Rt△：

连接BC构造Rt△ACB，再将∠B转化到∠A的位置进行计算．

5．如图，点O是△ABC的边AB上一点，⊙O与边AC相切于点E，与边BC，AB分别相交于点D，F，且DE=EF．

（1）求证：∠C=90°；

3（2）当BC=3，sinA= 5

时，求AF的长．

解：（2）在△ABC，∠C=90°，BC=3，sinA=

∴AB=5，

设⊙O的半径为r，则AO=5﹣r，

在Rt△AOE中，sinA=∴r=

==

∴AF=5﹣2×=

此题在解题中要抽象出几何模型：“A”型相似

6．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作

⊙O的切线交AB于点E，交AC的延长线于点F．

（1）求证：DE⊥AB；

1（2）若tan∠BDE= 2，CF=3，求DF的长．

解：（2）连接AD，

∴△FCD∽△FDA，

∵AC为⊙O的直径，

∴∠ADB＝90°，

∴，

∴∠B+∠BDE＝90°，

1

∠B+∠1＝90°，

∵tan∠BDE＝2，

∴∠BDE＝∠1，

1∵AB＝AC，

∴tan∠2＝2，

∴∠1＝∠2．

又∵∠BDE＝∠3，

∴，

∴∠2＝∠3．

∴，

A

∵CF＝3，

2

∴FD＝6．

C此题在解题中要抽象出几何模型：

3D反“A”型相似的特殊情况“类射影定理相似” (如右上图)

3

F

三、运用几何模型：

7．如图，在△ABC中，以AC边为直径作⊙O交BC边于点D，交AB于点G，且D是BC中点，DE⊥AB，交AB于点E，交AC的延长线交于点F．

（1）求证：直线EF是⊙O的切线．

3（2）若CF=3，cos∠CAB= 5，求⊙O的半径和线段BD的长．

此题是一个综合性问题，教学时可分组解答，

第1、2两组选用第4题的构建Rt△模型去做，

第3组选用第5题的“A”型相似去做，

第4组选用第6题的“类射影定理相似”模型去做，

最后讨论、交流．

四、发散运用：

8．如图，在三角形ABC中，AB=12，AC=BC=10，以BC为直径作⊙O交AB于点D，交AC于点G，直线DF是⊙O的切线，D为切点，交CB的延长线于点E．

（1）求证：DF⊥AC；

（2）求sin∠E的值．

此题根据可时间情况选用，时间够就让学生选一种较快的模型去解答，

时间不够就作为课后思考题，由学生课下去完成．

五、课堂小结：

1．转化、构造体现了数学的转化和建模思想，设参数是一种重要的计算方法．

2．多思考、多比较、多总结能拓宽你的数学思维．

3．请大家完成好专题复习对应练习．

5．（2）解：在△ABC，∠C=90°，BC=3，sinA=

板书设计：

1．定义法

∴AB=5，

2．等角转化

设⊙O的半径为r，则AO=5﹣r，

3．设参数简化计算

4．构造Rt△

5．“A”型相似

6．“类射影定理”相似

7．一题多解

在Rt△AOE中，sinA=∴r=

==

∴AF=5﹣2×=

6．（2）的解答通过电脑展示

4

教学反思：

本节课的教学基本上达到了自己的课前设想，总结了几种解锐角三角函数问题的基本数学思想方法，抽象出了三种几何模型，并在综合题中通过分组分别用这几种模型解题。学生的都能积极的参与课题，自己感觉教学效果比较满意。教学中存在的不足是：由于是复习课，想要归纳总结的内容较多，题目难度又较大，所以整个课堂节奏显得过快，没有学生演板，由于没有展台，也没有展示学生的解题过程，感觉学生的积极性还没有充分调动起来。为了节省时间，我想在下次教学时，可以降低第6题的难度，上面第6题的转化太多，而我的教学目标是想要抽出“类射影定理”相似，所以我想把这一题调整为下面一题，便于更直接地抽出数学模型。

6．如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB，⊙O交直线OB于点E、D，其中D在线段OB上．连结EC，CD．

（1）证明：直线AB是⊙O的切线；

1（2）若tan∠CED=2，⊙O的半径为3，求OA的长．

E

D

B

C

(并抽出右上的“类射影定理”相似的图形) 总之，在今后的教学中，我会不断学习，不断探索，不断总结提高，相信一定会不断提高自己的教学水平。

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