11.1 因式分解教案教学设计导入设计

因式分解（1）

一知识点讲解

知识点一：因式分解概念：

把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。

1.因式分解特征：因式分解的结果是几个整式的乘积。

2.因式分解与整式乘法关系：因式分解与整式的乘法是相反方向的变形

整式乘法

(ab)2a22abb2

(ab)2a22abb2

(ab)(ab)a2b2

(x3y)(x3y)x29y2

因式分解

a22abb2(ab)2

a22abb2(ab)2

a2b2(ab)(ab)

x29y2(x3y)(x3y)

知识点二：寻找公因式

1、小学阶段我们学过求一组数字的最大公因（约）数方法：（短除法）

例如：求20,36,80的最大公（约）数？最大公倍数？

1

2、寻找公因式的方法：

483a2y3ay6y

， xy3x3y2

，

927a(xy)3b(xy)2(xy)3， -27a2b336a3b29a2b

1.确定公因式的系数

当多项式中各项系数是整数时，公因式的系数是多项式中各项系数的最大公因数；

当多项式中各项系数是分数时，则公因式的系数为分数，而且分母取各项系数中分母的最小公倍数，分子取各项系数中分子的最大公因数。

2.确定相同字母

3.看次数

4.看整体

5.看符号

公因式的字母是各项都含有的字母

相同字母的指数取最低次数

如果多项式中含有相同的多项式，应将其看成整体不要拆开。

若多项式的首项是，则公因式的符号一般为负。

“-”知识点三：因式分解的方法（重点）

（一）因式分解的第一种方法（提公因式法）（重点）：

1.提取公因式法：如果多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提到括号外面，把多项式转化成公因式与另一个多项式的积的形，这种因式分解的方法叫做提公因式法。

2.符号语言：mambmcm(abc)

3.提公因式的步骤：

（1）确定公因式 （2）提出公因式并确定另一个因式（依据多项式除以单项式）

另一个因式原多项式

公因式4.注意事项：因式分解一定要彻底

二、例题讲解

模块1：考察因式分解的概念

1.

（2017春峄城区期末）下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（ ）

A、x96x(x3)(x3)6x B、(x5)(x2)x3x10

C、x8x16(x4) D、6ab2a3b

2 2222

2.

（2017秋抚宁县期末）下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（ ）

A、x22x3(x1)22 B、(xy)(xy)x2y2

C、x2xyy2(xy)2 D、2x2y2(xy)

3.

（2017秋姑苏区期末）下列从左到右的运算是因式分解的是（ ）

A、2a22a12a(a1)1 B、(xy)(xy)x2y2

C、9x26x1(3x1)2 D、x2y2(xy)22xy

4.（2017秋华德县校级期末）下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（ ）

A、3x2y15x1 B、(3a2b)(3a2b)9a24b2

C、xxx(1) D、2x28y22(x2y)(x2y)

5.

（2017春新城区校级期中）下列各式从左到右的变形是因式分解的是（ ）

A、a(ab)aab B、a2a1a(a2)1

C、x2xx(x1) D、xy2x2yx(y2xy)

6.

（2016秋濮阳期末）下列式子中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）

A、(x1)(x2)x23x2 B、x23x2(x1)(x2)

C、x24x4x(x4)4 D、x2y2(xy)(xy)

22221x模块2：考察公因式

1.

（2017春抚宁县期末）多项式15mn5mn20mn的公因式是（ ） A、5mn B、5mn C、5mn D、5mn

2.（2017春东平县期中）把多项式8abc16abc24abc分解因式，应提的公因式是（ ）

A、8abc B、2abc C、4abc D、24abc

3.（2017秋凉州区末）多项式a9与a3a的公因式是（ ）

A、a3 C、a3 B、a1 D、a1

4.（2017春邵阳县期中）多项式8xyA、xy B、xymnmn1mn1222223333232223332223222212x3myn的公因式是（ ）

mnmn1 C、4xy D、4xy32

5.（2016春深圳校级期中）多项式5mx25mx10mx各项的公因式是（ ）

3

A、5mx B、5mx C、mx D、5mx

6.下列各组代数式中没有公因式的是（ ）

A、5m(ab)与ba B、(ab)2与ab 222C、mxy与xy D、aab与abab

237.观察下列各组式子：①2ab和ab；②5m(ab)和ab；③3(ab)和ab；④x2y2和x2y2。其中有公因式的是（ ）

A、①② B、②③ C、③④ D、①④

模块3：利用提公因式法分解因式

①因式分解的第一种类型：直接提取公因式

1、分解因式：

（1）

x3x （2）2x218x2y4xy2 （3）

6a(ab)4b(ab)

（4）21511abcab2a2bc （5）a2ba （6）xnxn1xn2 4655

②因式分解的第二种类型：变形后提取公因式

2.

分解因式：

（1）3a(xy)6b(yx) （2）a(xy)b(yx)c(xy)

③因式分解的第三种类型：分组后提取公因式

3.

分解因式：

（1）mxmynxny （2）2a4b3ma6mb

4

模块4：提公因式法的综合应用

类型1：利用提公因式法进行简便计算

1.利用简便方法计算：

（1）3.2200.94.7200.9200.92.1 （2）36.813131320.22

555555

类型2：利用提公因式法进行化简求值

2.先分解因式，在计算求值：

(2x1)2(3x2)(2x1)(3x2)2x(12x)(3x2) 其中x=1.5

3.

（2016秋唐河县期末）已知：ab2015，ab

224.

已知ab4，ab2，求多项式4ab4ab4a4b的值。

2016，求a2bab2的值。

2015

2535.

若ab10，用因式分解法求ab(ababb)的值. 2

5

6.若aa10，则a22016a2015a2014= 。

7.不解方程组2xy6,求7y(x3y)22(3yx)3的值。

x3y1

类型3：拔高培优题型

8.

(2015杭州模拟)已知(19x31)(13x17)(1713x)(11x23)可因式分解成(axb)(30xc)，其中a、b、c均为整数，求abc的值。

9.已知多项式x2012x2011x2012有一个因式为xax1，另一个因式为422x2bx2012，求ab的值。

10.

求证：3

6 20164320151032014能被7整除。

11.已知a,b,c满足ababbcbccaca3，求(a1)(b1)(c1)的值。（a,b,c都是正整数）

12.（学霸题中题★★★）若xx1是axbx1的一个因式，则b的值为（ ）

A、2 B、1 C、0 D、2

13.（2017合肥月考★★★）要使多项式x2xn能分解为两个整系数一次多项式之积，则不大于100的自然数n的个数为（ ）

A、8 B、9 C、10 D、11

14.

（2016秋靖远县期末）阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：

22321xx(x1)x(x1)2(1x)[1xx(x1)](1x)2(1x)(1x)3

（1）上述分解因式的方法是 ，共应用了 次。

（2）若分解1xx(x1)x(x1)...x(x1)是 。

222004，则需应用上述方法 次，结果（3）分解因式：1xx(x1)x(x1)...x(x1)（n为正整数）。

n

一、选择题

1.(2017开县一模)当a,b互为相反数时，代数式aab4的值为（ ）

A、4 B、0 C、3 D、4

2.（2016秋乳山期末）边长为a,b的长方形周长为12，面积为10，则abab的值为（

）

A、120 B、60 C、80 D、40

7 222

3.（2017春蚌埠期末★）计算：(2)2016(2)2017所得的结果是（ ）

A、2 B、2 C、22016 D、22016

4.（2017春乐亭县期末）(8)2014(8)2013能被下列数整除的是（ ）

A、3 B、5 C、7 D、9

5.（2017春源城区校级月考）把多项式p2(a1)p(1a)分解因式的结果是（ ）

A、(a1)(p2p) B、(a1)(p2p) C、p(a1)(p1) D、p(a1)(p1)

6.（2017春阳谷县期末）把xn3xn1分解因式得（ ）

A、xn1(x21) B、xn(x3x) C、x(xn2xn) D、xn1(x2x)

7.（2017春北湖区校级期中）整式a2(a21)a21的值（ ）

A、不是负数 B、恒为正数 C、恒为负数 D、结果的符号不确定

8.（2016赵县模拟）若ab3，a2b5，则ab2ab的值是（ ）

A、15 B、15 C、2 D、8

9.（2016春高密市期末）将3x(ab)9y(ba)因式分解，应提的公因式是（ ）

A、3x9y B、3x9y C、ab D、3(ab)

10.（2016春临清市期末）计算(3)2(3)A、3m122mm1，得（ ）

m1 B、(3)m1 C、(3) D、(3)

22m11.（2016春深圳期末）若ab3，ab2，则代数式abab的值为（ ）

A、1 B、1 C、6 D、6

12.（2016秋美兰区校级期中）若ab5，c2，则acbc等于（ ）

A、10 B、10 C、3 D、3

13.（2016秋简阳市期中）如果多项式mxA可分解为m(xy)，则A为（ ）

A、m B、my C、y D、my

14.（2016春深圳期中）若ab2，ab3，则abab的值为（ ）

A、6 B、5 C、6 D、5

15.（2016春港南区期中）设Pa(abc)，Qa(aabac)，则P与Q的关系是（ ）

A、PQ B、PQ C、PQ D、互为相反数

8 2222

16.（2016春锡山区校级月考）计算：22014(2)2015的结果是（ ）

A、22015 B、22014 C、22014 D、322014

17.（2016春宿州校级月考）下列运算中，因式分解正确的是（ ）

A、m2mnmm(mn1) B、9abc6a2b23bc(32ab)

C、3a2x6bx3x3x(a22b) D、12121ababab(ab)

22218.（2015春杭州期末）多项式(x2)(2x1)(x2)可以因式分解成(xm)(2xn)，则mn的值是（ ）

A、2 B、2 C、4 D、4

19.（2015春莲湖区校级月考）把多项式3m(xy)2(yx)2分解因式的结果是（ ）

A、(xy)(3m2x2y) B、(xy)(3m2x2y) C、(xy)(3m2x2y) D、(yx)(3m2x2y)

二、填空题

1.（2016潍坊模拟）分解因式：ab6ab9ab= 。

2.（2017潍坊）因式分解：x22x(x2)= 。

3.（2017崇安区一模）分解因式(xy)3(xy)的结果是 。

4.（2016秋内江期末）因式分解：(xy)2y(xy)= 。

5.（2016滨海县二模）分解因式：m(xy)n(yx)= 。

6.（2017春醴陵市期末）因式分解：6(x3)x(3x)= 。

7.（2017春碑林区校级期中）分解因式2m(mn)8m(nm)= 。

8.（2016陕西校级三模）分解因式:(3ab)(ab)abb= 。

9.（2017沂源县一模）因式分解(ab)(ab1)ab1的结果为 。

10.（2016春寿光市期末）计算：56520.1346520.13= 。

11.（2015秋孟津县期末）简便计算：1210.1312.10.91.2112= 。

12.（2017春宜兴市期中）把多项式16x40xy提出一个公因式8x后，另一个因式是 。

13.（2016安徽模拟）已知长和宽分别为a,b的长方形，其面积等于15，周长等于16，则322432222222a2b2ab2= 。

9

14.（2016北京）如图中的四边形均为矩形，根据图形，写出一个正确的等式 。

16.（2015秋黄山期末）若a2，a2bc3，则2a24abc的值为 。

17.（2016秋望谟县期末）已知xy10，xy16，则x2yxy2的值为 。

2218.（2017春临泽县校级期中）若mn3，mn2，则4mn4mn1的值为 。

19.（2017秋越秀区期末）化简：a1a(a1)a(a1)2...a(a1)99= 。

三、解答题。

1.（2015春乐平市期末）若ab3，ab1。求

2.

用提公因式法将下列各式分解因式：

（1）(ab)(xy)(ba)(xy) （2）x(ax)(ay)y(xa)(ya)

131aba2b2ab3的值。

22

10