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2.2.1 综合法和分析法明目标、知重点1.了解直接证明的两种基本方法——综合法和分析法．2.理解综合法和分析法的思考过程、特点，会用综合法和分析法证明数学问题．1. 综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题时常
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2.2.1 综合法和分析法优秀公开课教案
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关键词：2.2.1 综合法和分析法优秀公开课教案
正文
2.2.1
综合法和分析法
明目标、知重点
1.了解直接证明的两种基本方法——综合法和分析法．
2.理解综合法和分析法的思考过程、特点，会用综合法和
分析法证明数学问题．
1.
综合法和分析法
是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题时常用的思维方式．
2.一般地，利用
已知条件
和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的
结论
成立，这种证明方法叫做
综合法
．
3.分析法是从要证明的
结论
出发，逐步寻求使它成立的
充分条件
，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个
明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止．
证明对我们来说并不陌生，我们在上一节学习的合情推理，所得的结论的正确性就是要证明的，并且我们在以前的学习中，积累了较多的证明数学问题的经验，但这些经验是零散的、不系统的，这一节我们将通过熟悉的数学实例，对证明数学问题的方法形成较完整的认识．
思考1
请同学们证明下面的问题，总结证明方法有什么特点？
已知a，b>0，求证：a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥4abc.
证明
因为b2＋c2≥2bc，a>0，所以a(b2＋c2)≥2abc.
又因为c2＋a2≥2ac，b>0，所以b(c2＋a2)≥2abc.
因此a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥4abc.
总结：此证明过程运用了综合法．综合法的定义：一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．
思考2
综合法又叫由因导果法，其推理过程是合情推理还是演绎推理？
答
因为综合法的每一步推理都是严密的逻辑推理，因此所得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想”，所以综合法是演绎推理．
例1
在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b，c成等比数列，
求证：△ABC为等边三角形．
证明
由A，B，C成等差数列，有2B＝A＋C，
①
由于A，B，C为△ABC的三个内角，所以A＋B＋C＝π.
②
由①②，得B＝
，
③
由a，b，c成等比数列，有b2＝ac，
④
由余弦定理及③，
可得b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－ac，
再由④，得a2＋c2－ac＝ac，即(a－c)2＝0，
从而a＝c，所以A＝C.
⑤
由②③⑤，得A＝B＝C＝
，
所以△ABC为等边三角形．
反思与感悟
综合法的证明步骤如下：
(1)分析条件，选择方向：确定已知条件和结论间的联系，合理选择相关定义、定理等；
(2)转化条件，组织过程：将条件合理转化，书写出严密的证明过程．
跟踪训练1
在△ABC中，
，证明：B＝C.
证明
在△ABC中，由正弦定理及已知得＝
.
于是sin Bcos C－cos Bsin C＝0，
即sin(B－C)＝0，因为－π 从而B－C＝0，所以B＝C. 思考 在实际证题中，怎样选用综合法或分析法？ 答 对思路清楚，方向明确的题目，可直接使用综合法； 对于复杂的题目，常把分析法和综合法结合起来，先用分析法去转化结论，得到中间结论Q； 再根据结构的特点去转化条件，得到中间结论P.若P⇒Q，则结论得证．
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