1.1 回归分析的基本思想及其初步应用优质课教学设计

回归分析的基本思想及其初步应用

教学要求：通过典例的探究，进一步了解回归分析的基本思想、方法及其初步应用

教学重点：（1）了解判断两个变量相关关系的方法----散点图

（2）学会求解线性回归方程

（3）了解残差分析的方法，回归分析的步骤

教学过程：

第一课时

思考引入：

1．正方形边长x与面积S之间的关系：确定关系

2．一块农田的水稻产量与施肥量之间的关系：不确定关系

（气候、施肥、浇水、除虫都与水稻产量有关）

一

两个变量间的关系：----函数关系

----相关关系：线性相关、

非线性相关

注：如果两个变量之间确实存在关系，但又没有函数关系所具有的确定性，它们的关系带有随机性，则称这两个变量具有相关关系。有相关关系的两个变量，若一个变量的值由小到大变化时，另一个变量的值也由小到大变化，则称这种相关为正相关，否则为负相关。

二

回归分析：是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法

三

散点图：在直角坐标系中描点，得到关于两个变量的一组数据图形，这样的图形叫做散点图。

例1 从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如下表：

编号

身高

体重

1 165 48 2 165 57 3 157 50 4 170 54 5 175 64 6 165 61 7 155 43 8 170 59 求根据女大学生的身高预报体重的回归方程，并预报一名身高为172ｃｍ的女大学生的体重。

四

线性回归（直线）方程：如果散点图中，具有线性相关的两个变量的所有观察值的数据点分布在一

1

ˆxa条直线附近，则称这两个变量具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线，其方程为

ˆbˆy五

求回归方程的步骤：

六

课堂演练：下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对照数据. x y 3 2.5 4 3 5 4 6 4.5 (1)请画出上表数据的散点图; (2)求出y关于x的线性回归方程; (3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤.试根据(2)求出的线性回归方程,预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨? 七

作业：

某种产品的广告费用支出

x与销售额

y之间有如下的对应数据(单位:万元)

.

x/万2 元

4 5 6 8 y/万30 元

(1)

画出散点图; (2)

求回归方程; (3)

据此估计广告费用支出为10万元时,销售额

y的值

.

答案

(1)

由题意可作出散点图如下图

.

40 60 50 70

(2)

由散点图可知,样本点大致分布在一条直线附近,因此,

x,

y之间具备线性相关关系

.

因为由表中的数据可知, x ¯

=

1

5

×(2+4+5+6+8)=5,

y

-

=

1

5

×(30+40+60+50+70)=50,

所以

b

^

=

∑

i

=

1

5

(

x

i

-

x

-

)(

y

i

-

y

-

)

∑

i

=

1

5

(

x

i

-

x

-

)

2

=6.5,

a

^

=

y

-

-

b

^x

-

=50-6.5×5=17.5, 因此回归方程为

y

^

=6.5x+17.5.

(3)

x=10时,

y

^

=10×6

.5+17

.5=82

.5万元,

即当支出广告费用10万元时,销售额为82.5万元.

2

第二课时

探究：身高为172cm的女大学生的体重一定是60.316kg吗？如果不是,你能解释一下原因吗? 身高只能在一定程度上解释体重，预报值与实际值存在误差. 由于所有的样本点不共线，而只是散布在某一直线的附近，所以身高和体重的关系可以用线性回归模型来表示：

ybxae其中a和b为模型的未知参数，e称为随机误差. 一、函数模型与回归模型之间的差别

函数模型

yˆxaˆbˆ回归模型

ybxae函数模型中，因变量y完全由自变量x确定。

线性回归模型y=bx+a+e中增加了随机误差项e，因变量y的值由自变量x和随机误差项e共同确定，即自变量x只能解析部分y的变化。

在统计中，我们也把自变量x称为解释变量，因变量y称为预报变量。

二、残差、残差平方和

ˆ来近似估计随机误差用残差ee.

思考：残差的意义是什么？

发现可疑数据，判断拟合效果. 残差越小，拟合效果越好，预报精度越高.

三、残差分析：

1、残差图

ˆˆ通过残差

e

i



y

i



y

i

来判断模型拟合效果的分析工作称为残差分析

残差图：纵轴为残差变量,横轴可以选为样本编号,身高数据或体重估计值等. 若残差点比较均匀落在以横轴为中心的水平带形区域,则选用模型较为合适,模拟效果较好,回归方程预报精度较高. 2、相关指数

nˆi)2(yiy

R21in1



(yi1iy)23

相关指数越大，则选用模型较为合适,模拟效果较好,回归方程预报精度较高. 四、建立回归模型的基本步骤

1)确定解释变量和预报变量;

2)画出散点图;

3)确定回归方程类型;

4)求出回归方程;

5)利用相关指数或残差进行分析. 五、非线性回归方程

例2一只红铃虫的产卵数y和温度x有关.现收集了7组观察数据列于表33中,试建立y与x之间的回归方程.温度x产卵数y21723112521272429663211535325

六、巩固练习

1.一项研究要确定是否能够根据施肥量预测作物的产量，这里的解释变量是（

）

A、作物的产量

B、施肥量

C、试验者

D、降雨量或其他解释产量的变量

2、回归分析中，相关指数R2的值越大，说明残差平方和（

）

A、越小

B、越大

C、可能大也可能小

D、以上均不对

3、一位母亲记录了儿子3 ~ 9岁的身高，由此建立的身高与年龄的回归模型为y=7.19x+73.93，用这个模型预测这孩子10岁时的身高，则正确的叙述是（

）

A、身高一定是145.83cm

B、身高在145.83cm以上

C、身高在145.83cm以下

D、身高在145.83cm左右

4、某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此做了四次试验，得到的数据如下：

零件的个数x（个）

加工的时间y（小时）

2 2.5 3 3 4 4 5 4.5 （1）画出表中数据的散点图；

（2）求出y关于x的线性回归方程，并在坐标中画出回归直线；

（3）试预测加工10个零件需要多少时间？

4