3.2.2 复数代数形式的乘除运算名师教学设计

3.2.2 复数代数形式的乘除运算

文峰中学

张

艳

一．教学目标：

1、类比多项式乘法，掌握复数乘法法则；类

比根式除法分母有理化，掌握复数除法法则。

2、理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对

加法的分配律。

3、理解共轭复数的概念。

二．教学重点：复数的乘除运算法则

三．教学难点：复数乘除法则的灵活运用

四．教学过程：

1.温故知新：

已知两复数z1=a+bi, z2=c+di（a,b,c,d是实数）

（1）加法法则：z1+z2=(a+c)+(b+d)i

（2）减法法则：z1-z2=(a-c)+(b-d)i

即:两个复数相加(减)就是实部与实部,虚部与虚部分别相加(减). (a+bi )±(c+di) = (a±c) + (b±d)i 2.探究新知：

探究1：

设a，b，c，d∈R，则(a＋b)(c＋d)怎样展开？

(a＋b)(c＋d)＝ac＋ad＋bc＋bd

思考：

复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di，其中a，b，c，d∈R，则z1·z2

＝(a＋bi)(c

＋di)，按照上述运算法则将其展开。z1·z2等于什么？

3.推进新课：

<1>.复数的乘法法则：

2acadibcibdacadibcibdi(abi)(cdi)

（acbd)(bcad)i说明:(1)两个复数的积仍然是一个复数；

(2)复数的乘法与多项式的乘法是类似的，只是在运算过程中把i2 换成－1，然后实、虚部分别合并. <2>．复数乘法的运算律

对任意复数z1、z2、z3∈C ，有

乘法交换律

乘法结合律

乘法对加法的分配律

4.例题讲解：

例1：计算

（1）（2+i）i

(2)

(1-2i)

(3+i)

探究：共轭复数

z1·z2＝_____

(z1·z2)·z3＝_______

z1(z2＋z3)＝________

设z1＝a＋bi，z2＝a－bi.当两个复数的实部相等、虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数．

复数

z＝a＋bi的共轭复数记作

z,记zabi探究3：

若

z＝a＋bi ，

z

= a-bi 是共轭复数，那么

（1）在复平面内，它们所对应的点有怎样的位置关系？

（2）z



z

是一个怎样的数

？

（3）z



z

与

z

,

z

有何关系？

结论：（1）关于实轴对称

2222z

（2）

z

a



b

即：乘积的结果是一个实数

（3）

z



z

=zz

22例2、（2013年高考安徽卷）设i是虚数单位，

z

是复数Z的共轭复数，若

则

Z 等于（

）

zzi22zA.



i

C.



1



i

D.

1



i

B.

1

1



i

探究4：

复数的除法法则

abiacbdbcadi

(

a



bi

)



(

c



di

)





2



222cdicdcd小提示：分母实数化

(cdi0).先把除式写成分式的形式,再把分子与分母都乘以分母的共轭复数,化简后写成代数形式(分母实数化). 例3、计算



2

i)



(

i

)

(13



4

5.考点突破：

考点一.复数的乘除法

1.计算

(1)(32i)32i1i2i(2)i

考点二.共轭复数

2、(2013年高考福建卷)已知复数z的共轭复数

z

=1+2i（

i为虚数单位），则z在复平面内对应的点位于（

）

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

3、已知复数z13i3i

，

z

是z的共轭复数，则

z

的模等于

考点三.i的运算性质及应用

4、计算：i＋i2＋i3＋…＋i2010. 【思路点拨】

解答本题可利用等比数列求和公式化简

解法一（略）

思考：能否利用in的周期性化简？

解法二：∵i＋i2＋i3＋i4＝i－1－i＋1＝0 ∴in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N) ∴原式＝i＋i2＋(i3＋i4＋i5＋i6)＋(i7＋i8＋i9＋i10)＋…＋(i2007＋i2008＋i2009＋i2010) ＝i－1＋0＝－1＋i. 【思维总结】

等差、等比数列的求和公式在复数集C中仍适用，i的周期性要记熟，即in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N)．

变式训练：计算：1＋2i＋3i2＋…＋2011i2010的值．

五.课堂小结：

1、复数乘法运算法则是什么？其满足哪些运算律？

2、怎样的两个复数互为共轭复数？复数与其共轭复数之间有什么性

质？

3、复数除法的运算法则是什么？

六.作业布置：

习题3.2A组

第5.6题