三 反证法与放缩法教案板书设计

2.3.1 反证法证明不等式

（教案设计）

教

材：人教A版

普通高中课程标准实验教科书《数学》选修4-5 一、教材分析

本节课是不等式证明的第三课时，高中数学学科课程标准对本节课的教学要求达到“掌握”的层次。它是学生在学习了比较法、综合法、分析法证明不等式的基础上，进一步探究不等式的证明方法。

二、学习者分析

从学生的知识水平上来看，学生在学习了本节内容的前一节内容之后，已经掌握简单不等式的证明；

从学生的学习能力上来看，学生已经具备了一定的观察事物的能力，积累了一定的研究问题的能力，基本上具备了抽象思维和概括的能力；

从学生的理论认识上来看，虽然在之前的学习中，或多或少接触反证法，但是如何对“反证法”定性、准确的定义大家掌握的不太准确；

从学生的求知心理上来看，他们希望自己探索和发现；

三、教法和学法分析

1、教法分析：“自主探究——建立模型——拓展应用”模式来组织教学。

2、学法分析：探究法——多媒体辅助

四、教学目标

根据数学学科的特点、学生身心发展的合理需要和社会的政治经济、科学技术的需求，本节课从知识、能力和情感三个层面确定了相应的教学目标。

1、知识目标

（1）了解反证法的定义，体会反证法的思想；

（2）学会应用反证法证明不等式；

2、能力目标

（1）会判断使用恰当的方法来证明不等式；

（2）熟练掌握反证法证明数学问题的三部曲；

（3）在应用反证法证明数学问题时，学会如何构造矛盾；

3、情感态度目标

（1）通过一个具体问题的多解来激发学生学习数学的积极性,培养学习兴趣；

（2）通过自主探究，培养学生扎实严谨的科学作风,形成用联系和发展的眼光看待问题的方式；

（3）通过交流合作，增强团队协作精神和主动与他人合作交流的意识。

五、教学重点和难点

1、教学重点：反证法的定义

2、教学难点：反证法证明不等式的应用

六、教学方法

1、自主探究法

通过新课前具体的一道数学问题，大家分组讨论具体解法，并且归纳总结；

2、个人演练法

新课学习后，通过一道具体的例题，让学生自我体会，自我求解。

七、教具及多媒体的选用

多媒体课件；

八、教学过程设计及板书设计

教学大致流程图（具体细节见下表）

归纳整理

发言总结

课堂导入

自主探究

推理演算

探索概念

发言总结

小试牛刀

范例讲解

归纳总结

布置作业

教学环节

教学过程及设计

教师同学们好，在学习新课内容之前，我们先看个题目：【板书】

课活大家分组讨论一下这个题目的解法，我希望尽可能多。

堂动

导学入

生

思考，回顾，讨论不等式证明的方法；

活自动

主板探书

（1）已知ab0,求证：anbn(nZ)

索

设

计

归

教

师

活

动

纳

学

生整

活

动

理

板

书

设

计

发

言

设

计总

意

图

结

推

教师活动

1、提问“从刚才的小组讨论中，同学们都有什么样的解题方法？有那位同学愿意起来给我们谈谈自己的发现？”

【多叫几位同学回答问题，希望尽可能多的找到解题方法】

2、教师板书解题方法

（学生可能会回答）

an（1）n；（2）构造函数f(x)xn(x0,nZ)；（3）等等……

b证明：

an观察n，

bnaann由ab0,则a0,b0,又n1n1，则ab；

bbnnn以探究活动为载体，让学生在“想”中

学数学，通过解一题，经历知识的形成过程，积累感性经验。同时，我力求改变单一、被动的学习方式，让学生成为学习的主人，给他们提供一个自主探索学习的机会，让他们通过观察、讨论，归纳概括出证明不等式的方法【主要是回顾上节课的内容】，这样既获得了知识，又培养了学生抽象思维、归纳概括的能力。

1、

大家对于上一不等式的证明说出来自己的解法，那么，这些方法，我想大家都很熟悉，有比较法、分析法，这都是我们之前学过的不等式证明的基本方法，那么对于一道相似的题目，大家请思考解法。

2、教师提出新的解题方法【反证法】，大家请仔细看好如何证明。

理

学生活演

动

算

板书设计

学生积极讨论，会说出与上一题相似的解法

已知ab0,求证：nanb(nZ)

1假设nanb不成立，即nanb或者nanb;2若nanb，则ab;若nanb，则ab;这些都与

题目条件ab0矛盾；3所以假设不成立，原结论nanb成立！设计意图

通过演示一道具体题目，让学生体会反证法的思想，

让学生对反证法有个初步的印象。

1、相信大家对我刚才的演示中的方法肯定有所体会；

2、这其实就是我们今天所要学习的新课内容《反证法》的思想；

3、那么有哪位同学可以帮忙概况一下自己对反证法的理解或者说你认为什么叫做

反证法？

4、总结发言：

教反证法

探

师 是指“证明某个命题时，先假设它的结论的否定成立，然后从这个假设出发，

活根据命题的条件和已知的真命题，经过推理，得出与已知事实（条件、公理、定义、索

动

定理、法则、公式等）相矛盾的结果．这样，就证明了结论的否定不成立，从而间

接地肯定了原命题的结论成立．”这种证明的方法，叫做反证法．

概

【“从这个假设出发，根据命题的条件和已知的真命题，经过推理，得出与已知事实

（条件、公理、定义、定理、法则、公式等）相矛盾的结果”

念加黑的字体,教师要强调！】

学发

生

活言

动

总

板

书结

设计

设计意分组讨论，并积极主动回答问题；学生肯定有些地方概括不全面，老师要补充，解释；

提出假设【否定结论】

推导矛盾【与事实矛盾】

肯定结论

【强调解题的严格模式要求】

使学生完全成了学习的主人，由被动的接受变成主动的获取。让学生互相交流，互相学习，培养他们的合作意识和谦虚好学的品质。在师生互动的过程中，让学生体会数学的严谨，使他们的观察能力、运算能力、推理能力得到训练。

图

教师学习了反证法的定义，我们来看一道例题：

活动

认真边听边看老师的推导过程，做笔记，并积极思考，注意老师在推导时强调的重点内容。

学生活小动

试牛刀

范板例书设讲计

解

例:已知x,y0,且xy2,

1x1y求证:,中至少有一个小于2.yx分析：要证明的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件退出结论的线索不够清晰，另外如果从正面证明的话，需要考虑结论的三种情况1x1y1x1y1x1y2且2；2且2;2且2，比较复杂，我们yxyxyx可以考虑我们今天所学习的反证法，那么反面只需证明的即可；

1x1y2且2是错误yx证明:假设1x1y1x1y,都不小于2,即2,2.yxyxx0,y0,1x2y,1y2x,2xy2xy,xy2.这与xy2相矛盾.1x1y,中至少有一个小于2.yx

教师归活动

纳

学生活结动

总以上就是我们今天所学的内容，在这里，我要强调两点：

（1）直接由条件和事实无法直接推出结论的成立，或者结论的形式比较复杂，可以考虑使用反证法！

（2）利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误,并用假设命题进行推理，没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的.

认真边听边看老师，做笔记，并积极思考

布板书置设计

作业

1、正向求证比较困难，结论比较复杂；

2、布置作业：已知ab



c

0,abbcca0,abc0，求证：a,b,c0.

【希望大家严格按照我们所学的三个步骤用反证法证明】

九、教学所使用的软件

Microsoft Office Powerpoint 附：

人教A版

普通高中课程标准实验教科书《数学》选修4—5 P26P28