1.不等式的基本性质设计意图

第六章 不等式（小结与复习）

一、知识网络结构

比较法 不等式的证明 分析法 综合法 反证法、换元法、 放缩法等 不等式 不等式的性质 重要不等式 不等式的应用 一元二次不等式 分式不等式 不等式的解法 简单高次不等式 含有绝对值的不等式 二、知识清单

清单一 不等式的性质

1、实数的运算性质和大小顺序间的关系

abab0；abab0；

abab0 2、不等式的基本性质

①（反对称性）如果ab，那么ba；如果ba，那么ab

②（传递性） 如果ab且bc，那么ac 如果cb且ba，那么ca ③（可加性） 如果ab，那么acbc

（移项原则）

如果abc，那么acb

④（可乘性） 如果ab且c0，那么acbc；如果ab且c0，那么acbc

3、不等式的运算性质

①（加法法则）如果ab，cd，那么acbd

②（减法法则）如果ab，cd，那么acbd

③（乘法法则）如果ab0，cd0，那么acbd ④（除法法则）如果ab0，0cd，那么ab

cdnn*⑤（乘方法则）如果ab0，那么ab

（nN且n1

） *⑥（开方法则）如果ab0，那么nanb（nN且n1

） ⑦（倒数法则）如果ab，ab0，那么211

ab4、

①重要不等式：如果a,bR，那么ab2ab(当且仅当ab时取""号).

②均值定理：如果a,b是正数，那么2abab(当且仅当ab时取""号).

2

1

ab2a2b2ab2)，ab2ab，()

说明：

①常用的不等式：a0，ab2ab，ab(222222②注意点：和定积最大，积定和最小；一正、二定、三相等

清单二 不等式的证明

证明不等式的常用方法：

1.

比较法

（1）作差比较法证明不等式的步骤：作差、变形、判断差的符号

（2）作商比较法证明不等式的步骤：作商、变形、判断商与1的符号

2. 综合法

综合法是由因导果，即从已知条件或已知真命题出发一步步推导出结论成立

3.分析法

分析法是执果导因，即从结论出发，一步步寻求上步成立的充条件，直到得出一个真命题为止

4.反证法

（1）定义：反证法是从否定结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定结论正确；

（2）反证法证明命题的一般步骤：①否定结论

②推出矛盾 ③肯定结论成立；

5.判别式法

a1x2b1xc1

证明形如“ayb，y”的不等式，可将不等式整理成f(y)x2g(y)x(y)0的形2a2xb2xc2式，则①f(y)0时由xR,0得y的取值范围为A ②f(y)0时，f(y)x2g(y)x(y)0中的x的值是否为函数y的定义域的值，若是则y的取值范围为A和f(y)0的值，否则y的取值范围为A，这种证明方法叫做判别式法

6.换元法

在证明不等式的过程中，将不等式中的变量作适当的代换，使不等式得到证明，这种方法叫做不等式证明中的换元法。三角换元法常用到的技巧：

（1）若题目中含有x1，则可令x = sin (22)或xcos（0）。

22（2）

若题目中含有xy1，则可令x = cos , y = sin (02)

22（3）

若题目中含有xy1，则可令x = sec, y = tan (02)

（4）

若题目中含有1x2

，则可令xcos（0）

（5）若题目中含有1x2

，则可令xtan（2（6）

若题目中含有x≥1，则可令x = sec (0) 22）

22（7）若题目中含有xyr(x0,y0)，则可令xrcos,yrsin（02）

222（8）若题目中含有xyr(r0)，则可令xrcos,yrsin（02）

说明：作变量代换时，新的变量的取值范围必须确保原来的变量的取值范围不发生变化。

2

7.放缩法

放缩法是一种从不等式的一边入手，逐渐放大或缩小不等式，直到得到不等式的另一边的证明方法。

说明：放缩必须适度，

放得过大或放得过小都不能达到证题的目的。放缩法常用到的技巧

（1）适当增加或舍弃一些正项或负项，或非正项，或非负项；，如：(a)12231(a)2

42（2）若分式的分子、分母为正数，将分式的分子或分母放大（或缩小）以达到对分式放缩的目的

11111111,,22k(k1)k1kkk(k1)kk1k

12122(kk1),2(k1k)(kN,k1)kkk1kkk1（3）利用重要不等式、均值定理及已经证明过的不等式进行放缩

（4）

利用正弦函数的有界性放缩是|sinx|1,|cosx|1进行放缩

（5）利用函数的单调性进行放缩

清单三 不等式的解法

1、

一元二次不等式ax2bxc0或ax2bxc0a0的解集

设相应一元二次方程ax2bxc0a0的两根为x1、x2且x1x2，b4ac，则不等式的解集：

2

二次函数

0

0

0

yax2bxc

yaxbxc

2yax2bxc

yax2bxc

（a0）的图象

一元二次方程

有两相异实根

有两相等实根

无实根

axbxc02a0的根ax2bxc0(a0)的解集ax2bxc0(a0)的解集x1,x2(x1x2)

x1x2b

2a

xxx或xx

12bxx

2a 

R 

xx1xx2

2、含有绝对值的不等式：用绝对值的定义去掉绝对值符号

22 （1）xa(a0)x|axa （3）axbxcm(m0)maxbxcm 222 （2）xa(a0)x|xa或xa （4）axbxcmaxbxcm或axbxcm



3

3、简单的高次不等式——数轴标根法（穿针引线法）

①整理 把f(x)进行因式分解，并化简成下面形式(xa1)(xa2)......(xan)0(或0)，这里每一个因式中x的系数为1，彼此不等

②标根 将f(x)0的n个不同的根a1,a2,......an标在数轴上，把数轴分成n+1个区间

③画线 从右到左，从上到下依次经过n个根对应的点画一条连续曲线

④选解 下图中，在x轴上方的曲线对应的区间为(xa1)(xa2)......(xan)0的解集；在x轴下方的曲线对应的区间为(xa1)(xa2)......(xan)0的解集；

⑤注意：穿点时，遇到根对应的因式的指数为奇数时，则直穿过轴，指数为偶数时，穿而不过

4、分式不等式：移项，通分，转化为整式不等式（数轴标根法）

分式不等式转化为整式不等式的常见类型

①f(x)f(x)0f(x)g(x)0 ②0f(x)g(x)0

g(x)g(x)f(x)f(x)0f(x)g(x)0且g(x)0 ④0f(x)g(x)0且g(x)0

g(x)g(x)③5、利用指数函数、对数函数的单调性解不等式

时，a ①

当a1f(x)ag(x)f(x)g(x)

f(x)g(x) logalogaf(x)g(x) f(x)0

g(x)0时，a②当0a1f(x)ag(x)f(x)g(x)

f(x)g(x) logalogaf(x)g(x) f(x)0

g(x)06、绝对值不等式的性质： 定理：ababab 记作：两数绝对值的差两数和的绝对值两数绝对值的和

推论1：a1a2a3a1a2a3 记作：三个数和的绝对值三个数绝对值的和

|a1a2an||a1||a2||an| 记作：n个数和的绝对值n个数绝对值的和

推论2：ababab 记作：两数绝对值的差两数差的绝对值两数绝对值的和

4