2.3.4 圆与圆的位置关系第二课时 公开课

直线与圆的位置关系

第一课时

首峰中学高中数学组

施养胜

高一9

2017、12、08

一、教材分析：解析几何是利用代数方法研究几何问题的学科。它是在运动变化这一辨证唯物思想的指导下，采用了数形结合这一基本方法进行教学研究。本节课内容是《数学必修2》第四章第2节的重点知识，它是在学习了第三章直线与方程和第四章第一节圆的方程的基础上继续学习的内容，教材中是从一个实际的引例入手，说明了研究直线与圆的位置关系的必要性，然后，通过初中的平面几何知识得到了直线与圆的三种位置关系的定义判断，接着，借助实例的探讨归纳出直线与圆的位置关系的另外两种判断方法，以及结合弦长的求解进行有关的应用。这部分内容也是后续学习圆锥曲线的重要基础，起到一种承上启下的重要作用。

二、学情分析：学生刚刚学完直线和圆的方程，也刚刚接触到用坐标法来研究平面几何问题，用方程来表示直线和圆，并初步掌握了两直线位置关系和点与圆的位置关系从定性到定量的判断方法，对于如何探究直线与圆的位置关系有一定的基础，但学生在解决实际问题的能力和实践意识还有待提高。

三、教学目标：

知识与技能：1、理解直线和圆相交、相切、相离等概念;

2、使学生理解直线和圆的三种位置关系，掌握其判定方法; 3、掌握求弦长的方法。

过程与方法：通过实例的引入，从实际的问题中抽象出数学问题，经历观察、探究、归纳、总结得出了直线与圆的位置关系的不同判断方法和弦长的不同求法。体会了从特殊到一般、从具体到抽象的研究方法。学会了用运动变化的观点观察和分析问题的能力。

情感态度与价值观：通过探究直线与圆的位置关系，培养合作交流的意识和细致缜密的思维品质，体会学数学、用数学的意识，并从数学学习活动中获得成功的喜悦。

四、教学重点、难点：

教学重点：能根据给出的直线和圆的方程，判断直线与圆的位置关系；能用直线和圆的方程解决求弦长问题。

教学难点：直线与圆的位置关系的判断方法和弦长的求法。

五、教学过程：

（一）问题引入：一个小岛的周围有暗礁，暗礁分布在小岛的中心为圆心，半径为30km的圆形区域。已知小岛中心位于轮船正西70km处，港口位于小岛中心正北40km处。如果轮船沿直线返港，那么它是否会有触礁的危险？

A

B

分析：以小岛的中心为原点O，东西方向为x轴，建立平面直角坐标系，其中，取10km为单位长度，则

22xy9

受暗礁影响的圆形区域所对应的圆心为O的圆的方程为：轮船航线所在直线l的方程为；

O4x7y280

问题归结为圆心为O的圆与直线l有无公共点。

思考：本问题如果不建立直角坐标系，你能解决吗？（构造直角三角形，利用等面积法）

（二）直线与圆的位置关系

1、回顾，初中平面几何已经学过，直线与圆的位置关系：

图a

图b

图c

(1)图a直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫圆的割线。

(2)图b直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，

直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点。

(3)图c直线和圆没有公共点，叫做直线和圆相离。

思考：仿照两直线位置关系和点和圆位置关系的判定，怎样判断直线和圆的位置关系呢

22xy2y40

引例1.已知直线3x+y-6=0与圆试判断它们的位置关系；如果相交，求它们的交点坐标。

分析：

方法一，判断直线与圆的位置关系，就是看由它们组成的方程组有没有实数解、有几组实数解；

方法二，可根据圆心到直线的距离与半径长地关系，判断直线与圆的位置关系。

（三）、直线与圆的位置关系的判定：

1、定义法：（1）

直线和圆有两个公共点时，直线和圆相交。

（2）

直线和圆有唯一公共点时，直线和圆相切。

（3）

直线和圆没有公共点时，直线和圆相离。

2、几何法：（1）相交：dr

（2相切：dr

（3相离：dr

3、

代数法：

(xa)2(yb)2r2联立AxByC0

(1)△＞0 直线与圆相交；(2)△

= 0 直线与圆相切；(3)△＜0 直线与圆相离. 基础练习一：1、直线x-y-2=0与圆(x1)2(y2)21的位置关系为________ 2、已知圆的方程是x2＋(y－1)2＝2，直线y＝x－b，当b为何值时，圆与直线有两个公共点，只有一个公共点，没有公共点？

y

再回到问题引入：轮船是否触礁问题，如何判断？

思考；直线和圆相交时,

如何求弦长呢？

B

引例1变式：.已知直线3x+y-6=0与圆x2y22y40

r

试判断它们的位置关系；如果相交，求截得的弦长。

（四）、直线与圆相交时弦长的求法：

A

d

O

1、几何法：用弦心距d，半径r及

半弦构成直角三角形的三边

2r2d2AB,d为弦心距，r为半径

2

(2)代数法：用两点间距离公式

AB(x2x1)2(y22y1)其中，A(x1,y1),B(x2,y2)

基础练习二：已知直线y=x+1与圆

x2y21

相交于A,B两点，求弦长|AB|的值.

提升练习

已知过点M3,3的直线l被圆C:x2y2+4y210所截得的弦长为45，求直线l的方程。

（五）课堂小结；

1、直线与圆的位置关系：相交、相切、相离

2、直线与圆的位置关系的判定；（1）定义法；（2）几何法；（3）代数法。

3、直线与圆相交时弦长的求法：

(1)

几何法：用弦心距d，半径r及半弦构成直角三角形的三边

x

ABr2d2,d为弦心距，r为半径2

2AB（2）代数法：用两点间距离公式

(x2x1)2(y2y1)2

其中，A(x1,y1),B(x2,y2)（六）、布置作业：

1、书面作业：P132 习题4.2

A组

1、3、5 2、课外：(1)复习今天学习的内容；

（2）练习册P79-80阅读并思考例1、例2以及变式1、2 （七）、课后反思：