3.三个正数的算术-几何平均不等式课件配套优秀教案设计

《三个正数的算术—几何平均不等式》的教学设计

长沙铁路第一中学 罗志恒

一、基本说明

（1）教学年级：高中二年级

（2）所用教材：《高中数学选修4—5》

人民教育出版社（A版）

（3）所属的章节：第一章

不等式和绝对值不等式

（4）学时数：

45分钟

二、教学设计

（一）教学目标

【知识目标】

①

能利用三个正数的算术-几何平均不等式证明一些简单的不等式，解决最值问题；

②

了解基本不等式的推广形式。

【能力目标】

能用“数形结合”的方法将几何问题用代数方法解决。

【核心素养的培养】

数学抽象、数学运算。

（二）教材分析

均值不等式与函数求最值，不等式的证明等内容都有着紧密的联系，尤其是利用三个正数的算术-几何平均不等式求三次函数的最值比用导数来求最值要更便捷一些。

（三）学情分析

本节是在学生学习了《必修五》中的“基本不等式”的基础上进行的拓展学习的，由于时间间隔比较久所以在复习时先对学生相关知识进行提问，之后再开展本节内容的学习。在本节中学生会遇到的困难有：三个正数的算术-几何平均不等式的证明，利用三个正数的算术-几何平均不等式求最值时的代数式变形以及相关不等式的证明。

（四）教学方法

启发法、演示法、示范法、练习法。

（五）教学手段

多媒体计算机

三、教学过程

●

复习引入

1、两个不等式及其它们的变形公式：

（1）a2b22ab



；

abab



；

（2）2



；

在利用基本不等式求函数的最值时，应具备的三个条件是：

、

、

。

1

[设计意图] 唤醒学生对基本不等式的记忆，为本堂课的学习做好基础知识方面的准备。

2、(xy)

；

x3y3

；

【思考】

基本不等式给出了两个正数的算术平均数与几何平均数的关系，

这个关系能否推广？对于3个正数，会有怎样的不等式成立？

●

合作探究

【知识探究一】三个正数的算术—几何平均不等式

定理：如果a,b,cR，那么 。当且

仅当 时，等号成立。

[探究] 你能证明上面的不等式吗？ [设计意图]

利用三个正数的算术-几

何平均不等式的证明推

导可以让学生对比较大

小的“作差法”的步骤进

行复习与巩固。

abc3abc



；

3



；

3[设计意图] 为三个正数的算术-几何平均不等式的证明作铺垫。

【变形公式】【注】在利用以上这些不等式求函数的最值时，应该要牢记

“

一 ____ 二 ____ 三 ________”，三者缺一不可；

另由不等号的方向也可以知道：积定_________，和定________.

●

典例探究

例1求函数y2x2

[变式]

若a,bR且ab,求a1的最小值。

(ab)b2

3(x0)的最小值。

x[设计意图] 例1与变式就是让学生逐步掌握利用三个正数的算术-几何平均不等式求函数最值的方法与步骤。

例2下图，把一块边长是a的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形，再把它的边沿名着虚线折转成一个无盖方底的盒子，问切去的正方形边长是多少时，才能使盒子的容积最大？

[变式] 已知长方体的全面积为定值S，试问这个长方体的长、

宽、高各是多少时，它的体积最大，求出这个最大值．

例3

设a,b,cR111，求证：（1）(abc)(abc)9；

（2）(abc)(111abbcca)92

3

[设计意图] 例2与变式就是让学生明白在实际应用问题中利用三个正数的算术-几何平均不等式求函数最值比用导数更便捷些。

[设计意图] 例3可以让学生了解利用均值不等式证明不等式的便捷性，从而更好地调动学生学习的积极性

【知识探究二】

均值不等式的推广

n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，即

，

当且仅当 时，等号成立。

●

课堂小结

1、三个正数的算术—几何平均不等式

2、三个正数的算术—几何平均不等式有哪些应用

[设计意图] 对本节知识点和所涉及到的数学思想方法分别做出归纳。

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