信息技术应用 μ，σ对正态分布的影响名师教学设计

长沙县实验中学袁拥军数学名师工作室

《2.4正态分布(第一课时)》导学案

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【学习目标】

1、认识正态分布密度函数，理解参数μ和σ的意义

2、掌握正态分布密度曲线的特点

3、正态分布概率性质的简单应用

【课前自主合作学习】观看微课视频，阅读教材，回答下列问题

问题1:高尔顿板试验中，在投放小球之前，你能知道其落在哪个球槽中吗？

问题2:重复进行高尔顿板试验，随着试验次数的增加，每个球槽中小球的个数代表什么？

问题3:为了更好的研究小球分布情况，对各个球槽进行编号，以球槽的编号为横坐标，以小球落入各个球槽的频率值为纵坐标，请画出其频率分布直方图。

编号

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 球数

(以小组为单位，利用高尔顿钉板试验.exe模拟得到100个小球下落的数据)

问题4:分析所做频率直方图，与其他小组对比，回答其形状有何特点？

问题5:随着试验次数的增加，这个频率直方图的形状会发生什么样的变化？

回顾：我们在必修三学习过，随着样本容量的增加，作图时所分的组数增加，组距减小，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑的曲线，统计中称之为总体密度曲线。

该曲线反应了总体在各个范围内取值的百分比，例如图中阴影部分的面积，就是总体在区间(a,b)内取值的比例。

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【课内自主学习1】阅读教材P71-72，回答问题6~9

课前观察操作的高尔顿板试验，随着重复次数的增加，这个频率直方图的形状会越来越像一条钟形曲线。

问题6:如果在高尔顿板的底部建立一个水平坐标轴，其刻度单位为球槽的宽度，用X表示小球落到底部的坐标，则X是一个随机变量，X落在区间(a,b]的概率如何表示？

问题7:如果用定积分求曲边梯形的面积，我们需要知道哪些条件？

对于这条钟形曲线，早在十八世纪30年代，棣莫弗、斯特灵等数学家经过十几年的努力，应用求导、对数、无穷级数、积分、变量代换等数学方法推导出

这条钟形曲线就是函数：φμ，σ(x)= 的图象。

我们称φμ，σ(x)为正态分布密度函数，实数μ和σ(σ>0)为参数

称φμ，σ(x)的图象为正态分布密度曲线，简称

问题8:正态分布的概念

一般的，如果对于任何实数a,b(a

，

则称随机变量X服从正态分布。

正态分布完全由参数μ和σ确定，故常记作

如果随机变量X服从正态分布，则记为

问题9:在现实生活中，什么样的分布服从或近似服从正态分布？

【课内合作探究】

正态密度函数φμ，σ(x)的解析式是我们在目前见到的形式最为复杂的，接下来我们就利用数形结合的思想，对该解析式的结构进行分析，结合正态曲线的图象，来分析正态曲线的特点。

[探究一]以小组为单位从以下角度回答正态曲线的特点：

(1)位置与变化趋势: (2)对称性: (3)最值: (4)面积的意义:

[探究二]参数μ和σ对正态曲线图象的影响

讨论某一变量对整体的影响我们应该控制其他变量来分析,利用探究一的结论继续探究以下两个问题：

(5)当σ一定，改变μ的取值，正态曲线会如何变化？

(6)当μ一定，改变σ的取值，正态曲线会如何变化？

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【课内自主学习2】阅读教材P73-74，完成下列填空

1、若X~N(μ,σ2),则对于任何实数a>0，

P(μ-a

(图中阴影部分面积S) 2、不改变μ的值，a越大，X落在(μ-a，μ+a]的概率越

3、特别的当a=σ、2σ、3σ时的概率如下表：

P(μ-σ

4、正态总体几乎总取值于区间

之内，而在此区间以外取值的概率只有

，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生。

5、在实际应用中，如果X~N(μ,σ2)，通常认为X只取(μ-3σ，μ+3σ)之间的值，并简称之为

【总结与反思】

本课时学完你有哪些收获，还有哪些疑问，写下来与组内同学分享探讨

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