3.2.2 复数代数形式的乘除运算优秀教学实录

复数代数形式的乘除运算

【教学目标】

知识与技能：理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则，深刻理解除法是乘法运算的逆运算。

过程与方法：理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化问题。

情感、态度与价值观：教学时，我们采用讲解或体验已学过的数集的扩充的，让学生体会到这是生产实践的需要从而让学生积极主动地建构知识体系。

【教学重点】

复数代数形式的除法运算。

【教学难点】

对复数除法法则的运用。

【教具准备】

多媒体

【教学过程】

一、复习提问： 已知两复数z1=a+bi, z2=c+di（a,b,c,d是实数） 加法法则：z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i. 减法法则：z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i. 即:两个复数相加(减)就是

实部与实部,虚部与虚部分别相加(减) (a+bi )±(c+di) = (a±c) + (b±d)i.

二、讲解新课：

（一）复数的乘法运算规则：

探究1、设a，b，c，d∈R，则(a＋b)(c＋d)怎样展开？

(a＋b)(c＋d)＝ac＋ad＋bc＋bd 思考：复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di，其中a，b，c，d∈R，则z1·z2 ＝(a＋bi)(c＋di)，按照上述运算法则将其展开，z1·z2等于什么？

1.

复数的乘法法则：(a+bi)(c+di)=(ac+bd)+(bc+ad)i. 说明: (1) 两个复数的积仍然是一个复数；

2

（2）复数的乘法与多项式的乘法是类似的，只是在运算过程中把

i

换成－1，然后实、虚部分别合并

（二）乘法运算律

师生探究: 计算1：

(1)(1i)(32i)(2)(32i)(1i)

（1）5i（2）5i

答案：师：复数的乘法是否满足交换律? 乘法对加法满足结合律、分配律吗? 生：

(1)z1(z2z3)=(z1z2)z3 . (2)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 .

1

(3)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.. （三）例题讲解

例1.计算(1-2i)(3+4i)(-2+i) 解：(1-2i)(3+4i)(-2+i)＝(11-2i) (-2+i)= -20+15i. 注：复数的乘法与多项式的乘法是类似的. 例2计算：

2（1）(3+4i) (3-4i) ；

（2）（1+ i).

22解：（1）(3+4i) (3-4i) =3-（4i）=9-(-16)=25; 22(2) （1+ i)=1+2 i+i=1+2 i-1=2 i. （四）共轭复数：

1.定义：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数。

2.表达形式：通常记复数z的共轭复数为z。

3.师生探究：

z,记zabi.

（1）.复数zabi的共轭复数记作那么zz?另外不难证明：zz?

ZZ

|Z||Z|4.思考:若z1, z2是共轭复数,那么

(1)在复平面内,它们所对应的点有怎样的位置关系? (2)z1z2是怎样的一个数? （3）zz、z2与z2有何关系？

生：（1）关于实轴对称

（2）zza2b2zzz2即：乘积的结果是一个实数.

（3）z2.

（五）除法运算规则

设z1abi,z2cdi(cdi0),则z1_____________.z2

类比分母有理化

如化简：例题讲解

例4、计算(12i)(34i)

解(12i)(34i)12i(12i)(34i)12386i4i510ii22(34i)(34i)34i55

3425122(1(232)(23)(23)3)

2

复数的除法法则：

满足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的复数x+yi(x,y∈R)叫复数a+bi除以复数c+di的商，记为：(a+bi)(c+di)或者abi. cdi22利用(c+di)(c－di)=c+d.于是将abi的分母有理化得：

cdi原式=abi(abi)(cdi)[acbi(di)](bcad)i

22cdi(cdi)(cdi)cd(acbd)(bcad)iacbdbcad22i. 2222cdcdcd∴(a+bi)÷(c+di)=acbdbcadi. c2d2c2d222师：利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的分母有理化思想方法，而(c+di)·(c－di)=c+d是正实数.所以可以分母"实数"化. 把这种方法叫做分母实数化法

3.变式训练：计算(12i)(34i)

解：(12i)(34i)12i

34i(12i)(34i)386i4i510i12i

22(34i)(34i)3425554.方法总结：

①

先写成分式形式

②然后分母实数化即可运算.(一般分子分母同时乘以分母的共轭复数) ③化简成代数形式就得结果

三、考点突破. 1、（2013年高考福建卷）已知复数z的共轭复数z12i（i为虚数单位），则z在复平面内对应的点位于（ ）. A.

第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

2、已知复数

z13i3i

，z

是z的共轭复数，则

z

的模等于（ ）

14 A.4 B.2 C.1 D.3、（2013年高考安徽卷）设i是虚数单位，

z是复数z的共轭复数，若zzi22z，.

则z等于（ ）A.1+i B.1-i C.-1+i D.-1-i 思路点拨：zzz2z

四、课堂小结

2

3

1、复数乘法运算法则是什么？其满足哪些运算律？

2、怎样的两个复数互为共轭复数？复数与其共轭复数之间有什么性质？

3、复数除法的运算法则是什么？

五、课外知识拓展提升

i的运算性质及应用

计算ii2i3.......i2010

思路点拨：解答本题可利用等比数列求和公式化简

【解】

法一：原式＝i1－i2010i[1－i21005]1－i＝1－i

＝i·1＋12i1＋i1－i＝2

＝－1＋i.

探究：i1= ，i2= ，i3= ，i4= ，

i5= ，i6= ，i7= ，i8= . 虚数单位i的周期性：（1）i4n1i，i4n21，i4n3i，i4n41nN.（2）inin1in2in30nN

法二：

解：原式= ii2(i3i4i5i6)......(i2007i2008i2009i2010)

=i-1+0 =-1+i

4

六、作业

1．(2015年甘肃张掖模拟)复数z＝2－i2＋i(i是虚数单位)在复平面内对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

2．(2015年广东梅州二模)如果复数z＝2－1＋i，则()A．|z|＝2B．z的实部为1C．z的虚部为－1D．z的共轭复数为1＋i

3．(2015年新课标Ⅱ)若a为实数且2＋ai1＋i＝3＋i，则a＝(A．－4B．－3C．3D．4

4．(2015年湖北)i是虚数单位，i607＝()A．－iB．iC．1D．－1

5.已知2i3是关于x的方程2x2pxq0的一个根,求实数p,q的值?

)

5