2.1.2 演绎推理多媒体教案及点评

第二章

推理与证明

合情推理--归纳推理和类比推理

一、教学目标

（1）掌握归纳推理的技巧，并能运用解决实际问题。

（2）通过对已学知识的回顾，认识类比推理这一种合情推理的基本方法，并把它用于对问题的发现中去。

（3）类比推理是从特殊到特殊的推理，是寻找事物之间的共同或相似性质，类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠。

（4）正确认识合情推理在数学中的重要作用，养成从小开始认真观察事物、分析问题、发现事物之间的质的联系的良好个性品质，善于发现问题，探求新知识。

（5）认识数学在日常生产生活中的重要作用，培养学生学数学，用数学，完善数学的正确数学意识。

二、教学重点：了解合情推理的含义，能利用归纳、类比进行简单的推理。

教学难点：用归纳、类比进行推理，做出猜想。

三、教学过程：

1、归纳推理

一.问题情境

(1)原理初探

①引入：“阿基米德曾对国王说，给我一个支点，我将撬起整个地球！”

②提问：大家认为可能吗？他为何敢夸下如此海口？理由何在？

③探究：他是怎么发现“杠杆原理”的？

从而引入两则小典故：（图片展示-阿基米德的灵感）

A：一个小孩，为何轻轻松松就能提起一大桶水？

B：修筑河堤时，奴隶们是怎样搬运巨石的？

正是基于这两个发现，阿基米德大胆地猜想，然后小心求证，终于发现了伟大的“杠杆原理”。

④思考：整个过程对你有什么启发？

⑤启发：在教师的引导下归纳出：“科学离不开生活，离不开观察，也离不开猜想和证明”。

(2)皇冠明珠

追逐先辈的足迹，接触数学皇冠上最璀璨的明珠

—

“歌德巴赫猜想”。

链接: 世界近代三大数学难题之一。哥德巴赫是德国一位中学教师，也是一位著名的数学家，生于1690年，1725年当选为俄国彼得堡科学院院士。1742年，哥德巴赫在教学中发现，每个不小于6的偶数都是两个素数（只能被和它本身整除的数）之和。如6＝3＋3，12＝5＋7等等。公元1742年6月7日哥德巴赫(Goldbach)写信给当时的大数学家欧拉(Euler)，提出了以下的猜想: (a) 任何一个≥6之偶数，都可以表示成两个奇质数之和。

(b) 任何一个≥9之奇数，都可以表示成三个奇质数之和。

这就是着名的哥德巴赫猜想。欧拉在6月30日给他的回信中说，他相信这个猜想是正确的，但他不能证明。叙述如此简单的问题，连欧拉这样首屈一指的数学家都不能证明，这个猜想便引起了许多数学家的注意。从提出这个猜想至今，许多数学家都不断努力想攻克它，但都没有成功。当然曾经有人作了些具体的验证工作，例如: 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5 = 3 + 7, 12 = 5 + 7, 14 = 7 + 7 = 3 + 11,16 = 5 + 11, 18 =

5 + 13, . . . . 等等。有人对33×108以内且大过6之偶数一一进行验算，哥德巴赫猜想(a)都成立。但验格的数学证明尚待数学家的努力。从此，这道著名的数学难题引起了世界上成千上万数学家的注意。200年过去了，没有人证明它。哥德巴赫猜想由此成为

数学皇冠上一颗可望不可及的“明珠”。到了20世纪20年代，才有人开始向它靠近。1920年、挪威数学家布爵用一种古老的筛选法证明，得出了一个结论：每一个比大的偶数都可以表示为（99）。这种缩小包围圈的办法很管用，科学家们于是从（9十9）开始，逐步减少每个数里所含质数因子的个数，直到最后使每个数里都是一个质数为止，这样就证明了“哥德巴赫”。

思考：其他偶数是否也有类似的规律？

③讨论：组织学生进行交流、探讨。

④检验：2和4可以吗？为什么不行？

⑤归纳：通过刚才的探究，由学生归纳“归纳推理”的定义及特点。

3.数学建构

●把从个别事实中推演出一般性结论的推理,称为归纳推理(简称归纳). 注:归纳推理的特点; 简言之,归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理。

●归纳推理的一般步骤：

4.师生活动

例1

前提：蛇是用肺呼吸的，鳄鱼是用肺呼吸的,海龟是用肺呼吸的，蜥蜴是用肺呼吸的。蛇、鳄鱼、海龟、蜥蜴都是爬行动物. 结论：所有的爬行动物都是用肺呼吸的。

例2

前提：三角形的内角和是1800，凸四边形的内角和是3600，凸五边形的内角和是5400，……

结论：凸n

边形的内角和是（n—2）×1800。

例3 2321222223,,,31332333

bb+m由此我们猜想：(a,b,m均为正实数)。aa+m探究：上述结论都成立吗？

强调：归纳推理的结果不一定成立！

——

“

一切皆有可能！”

5.提高巩固

例4：已知数列数列的通项公式。an的第一项a11,且an1an1an(n1,2,......),试归纳出这个

①探索：先让学生独立进行思考。

②活动：“千里走单骑”

—

鼓励学生说出自己的解题思路。

③活动：“圆桌会议”

—

鼓励其他同学给予评价，对在哪里？错在哪里？还有没有更好的方法？

【设计意图】：提供一个舞台, 让学生展示自己的才华，这将极大地调动学生的积极性，增强学生的荣誉感，培养学生独立分析问题和解决问题的能力，体现了“自主探究”，同时，也锻炼了学生敢想、敢说、敢做的能力。

【一点心得】：在“千里走单骑”和“圆桌会议”的探究活动中，教师一定要以“鼓励和表扬”为主，面带微笑，消除学生的恐惧感，提高学生的自信心．

⑵能力培养（例2拓展）

例4拓展:a12,a21,a323,a412,求an?

①思考：怎么求an？组织学生进行探究，寻找规律。

②归纳：由学生讨论，归纳技巧，得到技巧②和③。

技巧②:有整数和分数时,往往将整数化为分数.

技巧③:当分子分母都在变化时,往往统一分子

(或分母),再寻找另一部分的变化规律. 2、类比推理

一．问题情境

从一个传说说起：春秋时代鲁国的公输班（后人称鲁班，被认为是木匠业的祖师）一次去林中砍树时被一株齿形的茅草割破了手，这桩倒霉事却使他发明了锯子. 他的思路是这样的：茅草是齿形的；茅草能割破手.我需要一种能割断木头的工具；它也可以是齿形的. 这个推理过程是归纳推理吗？

二．数学活动：我们再看几个类似的推理实例。

例1、试根据等式的性质猜想不等式的性质。

等式的性质：

猜想不等式的性质：

(1) a=ba+c=b+c;

(1)

a＞ba+c＞b+c; (2) a=b ac=bc;

(2) a＞b ac＞bc; (3) a=ba2=b2;等等。

(3) a＞ba2＞b2;等等。

问：这样猜想出的结论是否一定正确？

例2、试将平面上的圆与空间的球进行类比. 圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合. 球的定义：到一个定点的距离等于定长的点的集合. 圆

球

弦←→截面圆

直径←→大圆

周长←→表面积

面积←→体积

圆的性质

圆心与弦(不是直径)的中点的连线垂直于弦

球的性质

球心与截面圆(不是大圆)的圆点的连线垂直于截面圆

与圆心距离相等的两弦相等；与圆心距离不等的两弦与球心距离相等的两截面圆相等；与球心距离不等的两不等，距圆心较近的弦较长

截面圆不等，距球心较近的截面圆较大

圆的切线垂直于过切点的半径；经过圆心且垂直于切球的切面垂直于过切点的半径；经过球心且垂直于切面线的直线必经过切点

的直线必经过切点

经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心

经过切点且垂直于切面的直线必经过球心

☆上述两个例子均是这种由两个（两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出他们在其他方面也相似或相同；或其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）．

简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．

类比推理的一般步骤：

⑴

找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；

⑵

用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；

⑶

检验猜想。即

观察、比较

联想、类推

猜想新结论

例3.在平面上,设ha,hb,hc是三角形ABC三条边上的高.P为三角形内任一点,P到相应三边的距离分别为pa,pb,pc,我们可以得到结论: ppbpca1

hahbhc

试通过类比,写出在空间中的类似结论. 巩固提高

1．(2016年上海)已知两个圆①x2+y2=1:与②x2+(y-3)2=1,则由①式减去②式可得上述两圆的对称轴方程.将

上述命题在曲线仍然为圆的情况下加以推广,即要求得到一个更一般的命题,而已知命题应成为所推广命题的一个特例,推广的命题为----------------------------- 2．类比平面内直角三角形的勾股定理,试给出空间中四面体性质的猜想．

直角三角形

3个面两两垂直的四面体

∠C＝90°

∠PDF＝∠PDE＝∠EDF＝90°

3个边的长度a，b，c

4个面的面积S1，S2，S3和S

2条直角边a，b和1条斜边c

3个“直角面” S1，S2，S3和1个“斜面” S

3．（2014，北京）定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。

已知数列{an}是等和数列，且a12，公和为5，那么a18的值为______________，这个数列的前n项和Sn的计算公式为________________

四、课堂小结

1.归纳推理是由部分到整体，从特殊到一般的推理。通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法。

2.归纳推理的一般步骤：通过观察个别情况发现某些相同的性质

从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题（猜想）

证明

3.类比推理是从特殊到特殊的推理，是寻找事物之间的共同或相似性质。类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠。

4.类比推理的一般步骤：

①找出两类事物之间的相似性或者一致性。

②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）

五、作业设置：

六、课后反思：