3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义优质课教案整理

题目

复数复数代数形式的加法、减法及其几何意义

1了解复数的有关概念及复数的代数表示和几何意义

2掌握复数代数形式的运算法则，能进行复数代数形式的加法、减法、乘法、除法运算 3了解从自然数系到复数系的关系及扩充的基本思想

知识点归纳

1虚数单位i:(1)它的平方等于-1，即

i1;

(2)实数可以与它进行四则运算，进行2四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立

2

i与－1的关系: i就是－1的一个平方根，即方程x2=－1的一个根，方程x2=－1的另一个根是－i

3

i的周期性：i4n+1=i, i4n+2=-1,

i4n+3=-i,

i4n=1

4复数的定义：形如abi(a,bR)的数叫复数，a叫复数的实部，b叫复数的虚部全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示*

3

复数的代数形式: 复数通常用字母z表示，即zabi(a,bR)，把复数表示成a+bi的形式，叫做复数的代数形式

4

复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数abi(a,bR)，当且仅当b=0时，复数a+bi(a、b∈R)是实数a；当b≠0时，复数z=a+bi叫做虚数；当a=0且b≠0时，z=bi叫做纯虚数；当且仅当a=b=0时，z就是实数0

5复数集与其它数集之间的关系：NZQRC

6

两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等即：如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+dia=c，b=d

一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小如果两个复数都是实数，就可以比较大小

也只有当两个复数全是实数时才能比较大小

7

复平面、实轴、虚轴：

yZ(a，b)点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi(a、b∈R)可用点bZ(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴

oxa实轴上的点都表示实数

对于虚轴上的点原点对应的有序实数对为(0，0)，

它所确定的复数是z=0+0i=0表示是实数故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数

复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即

复平面内的点Z(a,b)

复数zabi这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应

这就是复数的一种几何意义也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法

8．复数z1与z2的和的定义：z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i

9

复数z1与z2的差的定义：z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i

10

复数的加法运算满足交换律: z1+z2=z2+z1

11

复数的加法运算满足结合律: (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)

一一对应

12．乘法运算规则：设z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=(ac－bd)+(bc+ad)i

其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并两个复数的积仍然是一个复数

13乘法运算律：

(1)z1(z2z3)=(z1z2)z3

; (2)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3;

(3)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3

14除法运算规则：

abi(abi)(cdi)acbdbcad22i

22cdcdi(cdi)(cdi)cd15*共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数

复数z=a+bi和z=a－bi(a、b∈R)互为共轭复数

16

复数加法的几何意义：如果复数z1，z2分别对应于向量OP2，那么，以OP1、1、OPOP2为两边作平行四边形OP1SP2，对角线OS表示的向量OS就是z1+z2的和所对应的向量

17复数减法的几何意义：两个复数的差z－z1与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应

18．复数的模：|z||abi||OZ|题型讲解

a2b2

例1 计算(12i)(34i)

解：(12i)(34i)12i

34i(12i)(34i)386i4i510i12i

(34i)(34i)32422555例2

计算(14i)(1i)24i

34i(14i)(1i)24i143i24i解：

34i34i7i(7i)(34i)

2234i342143i28i2525i1i.

2525例3

在复平面内，若zm(1i)m(4i)6i所对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是（

）

2

A．0,3

B．,2

C．2,0

D．3,4

解：可用直推法，∵z(m24m)(m2m6)i

z所对应的点在第二象限

∴m4m0且mm60

22

0m4且m3或m2

∴m∈(3,4)

故选D

例4

已知z是复数，z+2i、z均为实数(i为虚数单位)，且复数(z+ai)2在复平面上对zi应的点在第一象限，求实数a的取值范围

解：设z=x+yi(x、y∈R)，

∴z+2i=x+(y+2)i，由题意得y=－2

11zx2i1==(x－2i)(2+i)=(2x+2)+

(x－4)i

552i2-i5由题意得x=4，∴z=4－2i

∵(z+ai)2=(12+4a－a2)+8(a－2)i，

124aa20,根据条件，已知解得2＜a＜6，

8(a2)0,∴实数a的取值范围是(2，6)

例5

设a∈R,z∈C,满足(z2─a2)/(z2+a2)是纯虚数，求x,y应满足的条件

解：设(z2─a2)/(z2+a2)=ki(k∈R,k≠0)

则z2─a2=ki(z2+a2)z2(1─ki)=a2(1+ki),

222xy2xyka∴(x2─y2+2xyi)(1─ki)=a2+a2ki2, 22(yx)k2xyak消去参数k即得：x2+y2=a2, 点评：

(1)纯虚数的概念; (2)虚部的概念; (3)化复数问题为实数问题的化归思想(设z=a+bi(a,b∈R));(4)若两个复数能比较大小，则它们都是实数

(5) 实轴和虚轴的概念

例6

设复数z=lg（m2－2m－2）＋（m2＋3m＋2）i，试求实数m取何值时，(1)z是纯虚数；(2)z是实数；(3)z对应的点位于复平面的第二象限

剖析：利用复数的有关概念易求得

解：(1)由lg（m2－2m－2）=０，m2＋3m＋2≠０，得m=3

(2)由m2＋3m＋2=０，得m=－1或m=－2

(3)由

lg（m2－2m－2）＜０，m2＋3m＋2＞０，

得－1＜m＜1－3或1＋3＜m＜3

点评：对复数的分类条件要注意其充要性，对复数相等、共轭复数的概念的运用也是这样

例7

设z∈C，求满足z+1∈R且|z－2|=2的复数z

z

分析：设z=a+bi(a、b∈R)，代入条件，把复数问题转化为实数问题，易得a、b的两个方程

解法一：设z=a+bi，

abi11则z+=a+bi+=a+bi+2

ab2zabibb=a+2+(b－)i∈R

ab2a2b2b∴b=2∴b=0或a2+b2=1

2ab当b=0时，z=a，

∴|a－2|=2∴a=0或4

a=0不合题意舍去，∴z=4

当b≠0时，a2+b2=1

又∵|z－2|=2，∴(a－2)2+b2=4

151511，b=，∴z=±i

4444151综上，z=4或z=±i

441解法二：∵z+∈R，

z11∴z+

=z

+

zz解得a=|z|21∴(z－z)－=0，(z－z)·=0

2|z|zzzz∴z=z或|z|=1，下同解法一

点评：解法一设出复数的代数形式，把复数问题转化为实数问题来研究;解法二利用复数是实数的条件复数问题实数化这些都是解决复数问题的常用方法

例8

已知z1=x2+x21i，z2=(x2+a)i对于任意x∈R均有|z1|＞|z2|成立，试求实数a的取值范围

分析：求出|z1|及|z2|，利用|z1|＞|z2|问题转化为x∈R时不等式恒成立问题

解：∵|z1|＞|z2|，∴x4+x2+1＞(x2+a)2

∴(1－2a)x2+(1－a2)＞0对x∈R恒成立

当1－2a=0，即a=1时，不等式成立; 212a0当1－2a≠0时，

24(12a)(1a)0

－1＜a＜综上，a∈(－1，1

21]

2

点评：本题利用复数的性质求模之后，转化为求含参数的二次不等式的参数取值范围

例9

设z是虚数，ω=z+1是实数，且－1＜ω＜2

z（1）求|z|的值及z的实部的取值范围；

（2）设u=1z，求证：u为纯虚数；

1z（3）求ω－u2的最小值

（1）解：设z=a+bi(a、b∈R，b≠0)，

则ω=a+bi+ab1=(a+2)+(b－)i

222abababi∵ω是实数，b≠0，

∴a2+b2=1，即|z|=1

∵ω=2a，－1＜ω＜2，

1，1)

21z1abi（2）证明：u==

1z1abi∴z的实部的取值范围是(－=(1abi)(1abi)

(1abi)(1a-bi)1a2b22bib=

=－i

22a1(1a)b∵a∈(－1，1)，b≠0，

2∴u为纯虚数

b2（3）解：ω－u=2a+

2(a1)21a2a1=2a+=2a－

a1(a1)22

a11=2［(a+1)+］－3

a11∵a∈(－，1)，∴a+1＞0

2=2a－1+∴ω－u2≥2×2－3=1

当a+1=1，即a=0时，上式取等号

a1∴ω－u2的最小值为1

小结：

1复数的加、减、乘、除运算一般用代数形式进行

2求解计算时，要充分利用i的性质计算问题

3在复数的求解过程中，要注意复数整体思想的把握和应用

4复数问题实数化是解决复数问题的最基本也是最重要的思想方法，其依据是复数的有关概念和两个复数相等的充要条件

学生练习

1数z13i,z21i，则zz1z2在复平面内的对应点位于() A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

答案：D 2已知z1i，则在复平面上与iz对应的点所在的象限是() A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

答案：B 3已知复数z(m2m2)(m23m2)i对应的点位于复平面的虚轴上，则实数

m为（）

A

1

B –1或

2

C-1

D2 答案：C 4iiii232005的值等于

（）

A

1

B –1

C

i

D

i

答案：C 5 复平面内若复数zm(1i)m(1i)6i

所对应的点在第二象限则实数m的取值范围是（

）

Ａ

(0,3)

Ｂ

(2,0)

Ｃ

(3,4)

Ｄ

(,2)

2答案：C 6已知z1,z2是复数，以下四个结论正确的是（

）

①若z1z20,则z10,z20

②若z1z20，则z1z20,则z10,z20

③若z1z10,则z10

④若z1z2，则向量OZ1与OZ2重合

Ａ仅②正确

Ｂ仅②③正确

Ｃ②③④正确

Ｄ仅②④正确

答案：A

