三 反证法与放缩法教学设计案例

《不等式的的证明(3)——反证法与放缩法》导学案

学习目标： 1. 理解并掌握反证法、换元法与放缩法; 2. 会利用反证法、换元法与放缩法证明不等式

一、复习引入

1. 不等式证明的基本方法：1. 比差法与比商法(两正数时)．

2. 综合法和分析法．

3. 反证法、换元法、放缩法

2. 综合法：从①已知条件、②不等式的性质、③基本不等式等出发, 通过逻辑推理, 推导出所要证明的结论. 这种证明方法叫做综合法. 又叫由 导 法. 用综合法证明不等式的逻辑关系：AB1B23.分析法：从要证的结论出发, 逐步寻求使它成立的充分条件, 直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证的定理、性质等), 从而得出要证的命题成立,这种证明方法叫做分析法. 这是一种执 索 的思考和证明方法. 二、合作、探究、展示

1.反证法：利用反证法证明不等式，一般有哪几个步骤？

例1、（1）已知x,y0,且xy2,试证：

000BnB

1+x1y,中至少有一个小于2

yx（2）已知a + b + c > 0，ab + bc + ca > 0，abc > 0，求证：a, b, c > 0 .

2.换元法：一般由代数式的整体换元、三角换元，换元时要注意等价性. 常用的换元有三角换元有：

1．已知xya，可设 ， ；

00222．已知xy1，可设 ， (0r1)；

222

x2y23．已知a2b21，可设 ， . 0

例2 设实数x,y满足x2(y1)21，当xyc0时，c的取值范围是（ ）

A.[21,) B.(,21] C.[21,) D.(,21]

例3 已知x2y21，求证：1a2yax1a2

3. 放缩法：“放”和“缩”的方向与“放”和“缩”的量的大小

由题目分析、多次尝试得出,要注意放缩的适度. 常用的方法是：①添加或舍去一些项，如：a21a，n(n1)n， ②将分子或分母放大（或缩小）如：111

2n(n1)nn(n1)bbm ③应用“糖水不等式”：“若0ab，m0，则aam”

④利用基本不等式，如：lg3lg5( ⑤利用函数的单调性

⑥利用函数的有界性：如：sinx≤1xR； ⑦绝对值不等式：ab≤ab≤ab；

22 ⑧利用常用结论：如：12kkkkk1)2lg4；

k1kkN,k1，

* 1kn222kkkk1kk1kN,k1

*

⑨应用贝努利不等式：(1x)1nxn(n1)2x12xn1nx.(x1)

例4 当

n > 2 时，求证：logn(n1)log(n1)n

例5求证：1

11113.

112123123n例6 若a, b, c, dR，求证：1

三、课后练习

+abcd2

abdbcacdbdac1、设二次函数f(x)xpxq，求证：f(1),f(2),f(3)中至少有一个不小于

2、设0 < a, b, c < 1，求证：(1 

a)b, (1 

b)c, (1 

c)a,不可能同时大于

3、已知

1≤xy≤2，求证：

2221. 21

4122≤xxyy≤3

2

4、设f(x)x2x13，xa1，求证：f(x)f(a)2a1；

5、求证

6、设n为大于1的自然数，求证

7、求证：（1）ab1aba1ab1b.

11111.

n1n2n32n2311111222(n≥2)

2n12nn1112nnN*

23n（2）2n121