1.3 二项式定理（通用）公开课教案（教学设计）

1.3.1二项式定理

【教学目标】

知识与技能

理解二项式定理及推导方法，识记二项展开式的有关特征，能对二项式定理进行简单应用

过程与方法

作探究二项式定理，培养学生观察分析，探索归纳能力，并在此过程中鼓励学生积极思考，大胆猜想，培养学生的自主学习能力和创新意识。

情感态度价值观

通过对二项式定理内容的研究，体验特殊到一般的发现规律，一般到特殊指导实践的认识事物过程

【教学重点】

掌握二项式定理及二项式展开式的通项公式

【教学难点】

二项式定理的证明及应用

【教学过程】

1.定理背景

1.什么是二项式？

对于a＋b，(a＋b)，(a＋b)等代数式，数学上统称为二项式，其一般形式为(a＋b)（n∈N*）

2.什么是二项式定理？

二项式定理即(a＋b)的展开式

3.二项式定理的作用？

牛顿以二项式定理作为基石发明出了微积分。其在初等数学中应用主要在于一些粗略的分析和估计以及证明恒等式等。

nn23

2.探究发现

222(a＋b)＝a＋2ab＋b

33223(a＋b)＝a＋3ab＋3ab＋b

4(a＋b)＝

……

n(a＋b)＝

这里面通过运算发现传统的多项式乘法法则的弊端，主要是项数太多。同时，发现合并同类项以后项数变少，这里面自然而然的想到从项的分类上能否解决问题。

从组合的角度看待的(a＋b)展开式。

教师引导讲解

从组合的角度看待(a＋b)的展开式。

教师引导讲解

从组合的角度看待的(a＋b)展开式。

4234学生思考回答，大致思路以(a＋b)为例

343224即展开式应有下面形式的各项：a，ab，ab，ab，b，

展开式各项的系数：上面4个括号中，每个都不取b的情况有1种，即C4种，a040113CCCbab1444的系数是；恰有个取的情况有种，的系数是，恰有2个取b的情2233322CCCC3babab4444况有种，的系数是，恰有个取的情况有种，的系数是，有4都取b的情况有C4种，b的系数是C4，

444

404132223344(ab)CaCabCabCabCb．

44444∴3.归纳定理

从组合的角度看待的(a＋b)展开式。

0n1n12n22(ab)nCnaCnabCnabrnrrCnabnnCnb

n

4.消化定理

0n1n12n22(ab)nCnaCnabCnabrnrrCnabnnCnb

1.项数：（n+1）项

012nC,C,C,L,Cnnnn2.二项式系数：

rn-rr3.通项：

Tr+1=Cnab4.指数： a按降幂排列，b按升幂排列，每一项中a 、b的指数和为n

n0122rrnn特别的：

(1+x)=Cn+Cnx+Cnx+L+Cnx+L+Cnx

5.类比思考

nn1.问(a＋b)与(b＋a)的展开式是否相同？

n2. (a-b)的展开式形式？

6.例题讲解

16(2x-)的展开式。

例1.求 x

7例2. (1＋2x)的展开式中第4项的二项式系数和系数分别是什么？

13(x-)9 x的展开式中x的系数.

7.归纳小结

1.注意二项式定理

中二项展开式的特征

2.区别二项式系数，项的系数及项；

3.掌握用通项公式求二项式系数，项的系数及项。

8.课后作业

课本31页练习及本节教辅

9.课后思考

25在（x + 3x + 2） 的展开式中，x的系数为多少？

【板书设计】

1.3.1二项式定理

定理

(ab)CaCan0nn1nn1二项式定理推导区

2nn2bCab2CarnnrbrCbnnn

特点

1.项数

2.二项式系数

3通项

4.指数

特别的(1+x)n=Cn0+Cn1x+Cn2x2+L+Cnrxr+L+Cnnxn

例题讲解

课堂练习