1.3 二项式定理（通用）优质课教案

二项式定理的经典例题

一、复习旧知

0n1n11rnrrnn1，二项式定理：

abCnaCnabCnabCnb,nNn一般地，对于任意正整数n，

这个公式所表示的定理叫做二项式定理，

右边的多项式叫做（a+b)n的二项展开式，

r其中

C

n

(

r



0

,1

,2

,



,

n

)

叫做二项式系数

特点：二项式定理展开式中a与b是用“+”连接的，即

1n11rnrrnnabnCn0anCnabCnabCnb,nN（1）共n+1有项；

（2）二项式系数是从n个不同元素中取出0，1，2，

3，…，n个01n元素的组合数，即

Cn,Cn,,Cn.（3）a按降幂排列，b按升幂排列，每一项中a与b的指数和为n。

2.通项公式

rnrrrnrr式中的

C

n

a

b

叫做二项展开式的通项，用

T

r

1

表示。即

Tr1Cnab注意：

（1）表示第r+1项；

（2）通项公式中的a与b的位置不能换. nr

（3）要得到

C

n

r

anb

r即在(a+b)中，有r个因式取b，余下n-r个因式取a。3.二项式系数与某项系数的区别：

r二项式系数是

C

n

，某项的系数包括二项式系数和二项式中a,b系数及常数展出部分。

4.二项式系数的性质

rnrCnCn（1）对称性：到首末距离相等的两项的二项式系数相等，即

（2）增减性与最大值：

r

f(r)Cn在[0,n;在[n2]上是增函数2,n]上是减函数。2f(r)maxf(n

当n为偶数时，2)Cnn

当n为奇数时，f(r)maxf(

n12)f(n12)CnCnn12n12

012nn（3）二项式系数和为

CnCnCnCn2奇数项二项式系数和等于偶数项二项式系数和等于2n-1,即

024135CnCnCnCnCnCn2n1二，典例分析

题型一：

abn形式2n*例一:已知(

x



2

)(n∈N)的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是x10∶1，

(1)证明：展开式中没有常数项；

(2)求展开式中含

x

的项；

(3)求展开式中所有的有理项；

巩固练习：

1

(2x)5的展开式中在x1）请写出展开式的通项。

（2）求展开式的第4项。

（3）请指出展开式的第4项的二项式系数，系数。

（4）求展开式中含

x

3

的项。

渐悟点滴

1，求关于x的展开式中常数项时，可令通项中x的次数等于0;

2，求关于x的展开式中k次项时，可令通项中x的次数等于k; 3，求关于x的展开式中有理项时，可令通项中x的次数为整数.

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题型二：

abn(cd)m例二：求（2x-1)6+(3+x)5展开式中x3的系数.

题型三：

abcdnm251



x例三：求(

1



x

)

(

)

展开式中x3的系数.

题型四：

abc(nN)n例四：求（x2+x+1)5展开式中x5的系数；

能力提升

1x1x21x3...1x16中x2的系数。求

渐悟点滴：

4，若遇到两个因式的加减法，求关于x展开式中的k次项时，可各自展开，然后合并同类项，得到x的次数等于k的项；

5，若遇到两个因式的乘积，求关于x展开式中的k次项时，可各自展开，然后根据多项式的乘积运算合并同类项，得到x的次数等于k的项；

6，若遇到括号中有3项或3项以上时，可利用排列组合的相关知识，转换思想，从而得到x的次数等于k的项；

题型五：求展开式中若干项系数的和与差

例五：已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7.

求：(1)a1＋a2＋…＋a7；

(2)a1＋a3＋a5＋a7；

(3)a0＋a2＋a4＋a6；

(4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|.

变式: 若(2x-3)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，

(1)求：a0＋a1＋a2＋a3＋a4的值；

(2)求：(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2的值。

点滴渐悟：

7.求展开式中若干项系数的和与差时常采用“赋值法”，赋值法是给代数式（或方程或函数表达式）中的某些字母赋予一定的特殊值，从而达到便于解决问题的目的，它普遍适用于恒等式，是一种重要的解题方法。事实上赋值法所体现的是从一般到特速度转化思想，在高考中屡见不鲜，特别是在二项式定理中的应用尤为明显，巧妙的使用负责发可减少运算量。

三，课后小结：

通过本节课的学习，我们复习了：

1，利用二项式展开式的通项求指定项，包括k次方项，有理项以及常数项；

2，利用排列组合的思想求解多项式中指定项的系数；

3，利用赋值法求解多项式的展开式中若干项系数的和与差。