一 比较法优质课教案

一比_较_法

1．作差比较法

(1)作差比较法的理论依据a－b>0⇔a>b，a－b<0⇔a

其中变形整理是解题的关键，变形整理的目的是为了能够直接判定差的符号，常用的手段有：因式分解，配方，通分，分子或分母有理化等．

2．作商比较法

(1)作商比较法的理论依据是不等式的基本性质：

aa①b>0，若>1，则a>b；若<1则a

bbaa②b<0，若>1则ab. bb(2)作商比较法解题的一般步骤：①判定a，b符号；②作商；③变形整理；④判定与1大小关系；⑤得出结论．

作差比较法证明不等式

[例1]

已知正数a，b，c成等比数列．求证：a2－b2＋c2≥(a－b＋c)2. [思路点拨]

作差→变形→判定符号→结论

证明：因为正数a，b，c成等比数列，

所以b2＝ac，b＝ac，

(a2－b2＋c2)－(a－b＋c)2

＝a2－b2＋c2－a2－b2－c2＋2ab－2ac＋2bc

＝2ab－4b2＋2bc＝2b(a－2b＋c) ＝2b(a－c)2≥0. 所以a2－b2＋c2≥(a－b＋c)2.

(1)作差比较法中，变形具有承上启下的作用，变形的目的在于判断差的符号，而不用考虑差能否化简或值是多少．

(2)变形所用的方法要具体情况具体分析，可以配方，可以因式分解，可以运用一切有效的恒等变形的方法．

(3)因式分解是常用的变形手段，为了便于判断“差式”的符号，常将“差式”变形为一个常数，或几个因式积的形式，当所得的“差式”是某字母的二次三项式时，常用配方法判断符号．有时会遇到结果符号不能确定，这时候要对差式进行分类讨论．

1．求证：a2＋b2≥2(a－b－1)．

证明：a2＋b2－2(a－b－1) ＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，

∴a2＋b2≥2(a－b－1)．

2．已知a，b∈R＋，n∈N＋，

求证：(a＋b)(an＋bn)≤2(an1＋bn1)．

＋＋证明：∵(a＋b)(an＋bn)－2(an1＋bn1) ＋＋＝an1＋abn＋ban＋bn1－2an1－2bn1

＋＋＋＋＝a(bn－an)＋b(an－bn) ＝(a－b)(bn－an)．

(1)若a>b>0时，bn－an<0，a－b＞0，

∴(a－b)(bn－an)<0. (2)若b>a>0时，bn－an>0，a－b<0. ∴(a－b)(bn－an)<0. (3)若a＝b>0时，(bn－an)(a－b)＝0. 综上(1)(2)(3)可知，对于a，b∈R＋，n∈N＋，都有(a＋b)(an＋bn)≤2(an1＋bn1). ＋＋

作商比较法证明不等式

a＋b[例2]

设a>0，b>0，求证：aabb≥(ab). 2[思路点拨]

不等式两端都是指数式，它们的值均为正数，可考虑用求商比较法．

[证明]

∵ab>0，(ab)abab2

>0，

ab2∴aabbabab2＝aab2·bab2a＝bab2. a当a＝b时，显然有b＝1；

a－baa当a>b>0时，>1，>0，所以由指数函数单调性，有bb2ab2>1；

ab2a－baa当b>a>0时，0<<1，<0，所以由指数函数的单调性，有bb2综上可知，对任意实数a，b，都有ab≥(ab) abab2>1. .

当欲证的不等式两端是乘积形式或幂指数形式时，常采用作商比较法，用作商比较法时，如果需要在不等式两边同乘某个数，要注意该数的正负，且最后结果与1比较．

a2－b2a－b3．设a>b>0，求证：22>. a＋ba＋ba2－b2a－b证明：法一：2－

a＋b2a＋ba－b[a＋b2－a2＋b2]＝

a2＋b2a＋b＝2aba－b>0，

a＋b2a＋b2所以原不等式成立．

法二：∵a>b>0，故a2>b2>0. 故左边>0，右边>0. 左边a＋b22ab∴＝2>1. 2＝1＋2右边a＋ba＋b2∴原不等式成立．

4．若a＞0，b＞0，c＞0，求证：abc≥(abc) abca+b+c3. 证明：不妨设a≥b≥c≥0，那么由指数函数的性质，有

ab所以a-b3b≥1，c＝ab-c3c≥1，abc-a3≥1. c-ac-b33aabbcca+b+c3a-ba-c33b-cb-a33c

abca＝ba-b3b·cb-c3c·ab-c3≥1. ∴原不等式成立.

[例3]

甲、乙二人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m行走，另一半以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走．如果m≠n，问甲、乙二人谁先到达指定地点？

[思路点拨]

先用m，n表示甲、乙两人走完全程所用时间，再进行比较．

[解]

设从出发地点至指定地点的路程为s，甲、乙二人走完这段路程所用的时间分别为t1，t2

，依题意有：

t1t1m＋n＝s，

22ss＋＝t2. 2m2nsm＋n2s∴t1＝，t2＝. 2mnm＋nsm＋n2s∴t1－t2＝－

2mnm＋ns[4mn－m＋n2]sm－n2＝＝－. 2mnm＋n2mnm＋n其中s，m，n都是正数，且m≠n，

∴t1－t2<0.即t1

应用不等式解决实际问题时，

关键是如何把等量关系、不等量关系转化为不等式的问题来解决．也即建立数学模型是解应用题的关键，最后利用不等式的知识来解．在实际应用不等关系问题时，常用比较法来判断数的大小关系，若是选择题或填空题则可用特殊值加以判断．

5．某人乘出租车从A地到B地，有两种方案；第一种方案：乘起步价为10元．每千米1.2元的出租车，第二种方案：乘起步价为8元，每千米1.4元的出租车．按出租车管理条例，在起步价内．不同型号的出租车行驶的路程是相等的，则此人从A地到B地选择哪一种方案比较合适？

解：设A地到B地距离为m千米．起步价内行驶的路程为a千米．

显然当m≤a时，选起步价为8元的出租车比较便宜．

当m>a时，设m＝a＋x(x>0)，乘坐起步价为10元的出租车费用为P(x)元．乘坐起步价为8元的出租车费用为Q(x)元，则P(x)＝10＋1.2 x，

Q(x)＝8＋1.4x

∵P(x)－Q(x)＝2－0.2x＝0.2(10－x) ∴当x>10时，P(x)

当x<10时，P(x)>Q(x)，此时选起步价为8元的出租车较为合适．

当x＝10时，P(x)＝Q(x)，两种出租车任选，费用相同．