一 数学归纳法名师课堂实录

数学归纳法（第1课时）

一、

教学目标：经历由“多米诺骨牌游戏”到“数学归纳法”的抽象概括过程，理解数学归纳法的两个步骤的含义与作用；通过探究活动，让学生加深对其本质的认识，体会它的精美和中用，培养学生的自主学习能力和数学欣赏能力；通过实例，使学生进一步理解掌握数学归纳法证题的步骤。

二、

重点：数学归纳法的基本思想、运用步骤及其各步的实质和作用，简单应用。

三、

难点：对数学归纳法原理及其步骤的正确理解与认知。

四、

教学过程：

1、回顾：合情推理中，归纳法可分为两类：①完全归纳法（穷举法），②不完全归纳法。归纳推理所得结论具有猜测性，正确与否需要进一步检验或证明。例如：

（ⅰ）之前获得等差数列通项公式的方法：a2=a1+d,

a3=a1+2d, a4=a1+3d, a5=a1+4d, … ,an=a1+(n-1)d;

(ⅱ) 由

a11,an1a5an111(nN)计算可得：a2，a3，a4，2341an11，…，由此猜测：an(nN).（属“不完全归纳法”）

5n2、提出问题:

现在的问题是，我们怎么来证明所得结论。逐一验证吗？这是一类与自然数有关的命题，命题有无穷多个，逐一检验根本行不通！是否有某种新方法，它只有有限步骤，却能实现从有限到无限的跨越，实现证明呢？

．．．．．．．．．．．（阅读课本P91~92）.

3、考察“多米洛骨牌游戏”原理，思考下述问题：

（I）能使多米诺骨牌全部倒下的条件(有哪些)？

(1)第一块骨牌倒下；

(2)任意相邻两块骨牌，前面一块倒下就能使其后面的一块倒下. （II）你认为能使骨牌全部倒下的两个条件（1）、（2）各起来什么作用？

（1）的作用是“奠基”，即‘开个好头’；

（2）的作用是让骨牌的倒下具有“承前启后”性，即递推性。

4、从多米诺骨牌游戏中（骨牌全部倒下的条件），归纳抽象提炼出“数学归纳法”这一方法概念。

在证明与自然数n有关的命题（序列） P(n) 时，采用下述两个步骤：

（1）（奠基）检验或证明第一个命题P(n0)成立；

（2）（证明递推性）假设命题P(k)成立，并由此推证命题P(k+1)也成立。

完成这两步，就可断定命题对任意不小于n0的自然数n都成立。

这种证明方法叫做数学归纳法。

【思考】你能证明在完成（1）（2）两步的前提下，所下结论必定正确吗？

（引导学生用“反证法”尝试证明）.

5、初步运用：用数学归纳法对1-（i）、1-（ii）给出证明（见课件）。

1

6、通过一些“反例”，增进对数学归纳法的理解与认知。

【探究】下述“证明”有错误吗？试指出错误，并予以更正？

（A）对命题“任意相邻两个自然数都相等”的证明：

证明：假设n=k时，命题成立，即k=k+1; 则当n=k+1时，有k+1=(k+1)+1,命题也成立. 故命题对任意n∈N*都成立. （B）对命题“1+3+5+…+(2n-1)=n2

(nN)”的证明：

证明：（1）当n=1时，左边=1，右边=1，等式成立. （2）假设n=k(k∈N ,k≥1)时等式成立,即1+3+5+……+(2k-1)=k2，

则当n=k+1时： 1+3+5+……+(2k-1)+[2(k+1)-1] [1(2k1)](k1) = =(k+1)2，

2 所以

当n=k+1时等式也成立。

由（1）和（2）可知，对n∈N ，原等式都成立. 【反思】运用数学归纳法证题时的几点注意事项：

（1）

用数学归纳法证题时,要分两个步骤,这两个步骤是一个有机整体，缺一不可. （2）

步骤（1）“奠基——检验或证明P(n0)成立”不可或缺，且必须真实可靠（找准no）.否则，步骤（2）的“归纳假设”就没有基础，化为“子虚乌有”

！当步骤（1）完成之后，步骤（2）中的“归纳假设”便有了基石，变得真实可靠，而步骤（2）的完成，则使这种真实性得以传递，这样就实现了“从有限到无限”的跨越！

（3）

在步骤（2）“p (k) 正确→ P(k+1)正确”的证明过程中，

“归纳假设——命题P(k)成立”这一条件必须使用，否则就不能真正实现“承前启后”的传递功能! 要避免

“走过场”的现象发生. 7、运用举例（等式证明问题）

例

求证 (n1)(n2)(n3)(nn)2（证明过程见课件）

n135(2n1)

（n∈N）

[练习]

证明：

1111n...... （n∈N）

122334n(n1}n1五、

课堂小结：

本节课是文科数学《数学归纳法》的第一课，教学最主要的目的是让学生理解方法的理念及原理，通过简单运用，让学生掌握方法的具体执行步骤，体会感悟两个步骤实质.本堂课的教学活动真正达成和实现了这一目标. 2