三 排序不等式教案2

3．3 排序不等式

1．用向量递归方法讨论排序不等式．

2．了解排序不等式的基本形式，用排序不等式解决简单的数学问题．

1．基本概念．

设a1

答案:

反序

顺序

乱序

2．排序原理或排序不等式．

设a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn为两组实数，c1，c2，…，cn是b1，b2，…，bn的任一排列，那么，____________≤______________≤______________当且仅当______________或____________时，反序和等于顺序和．

答案: a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1

a1c1＋a2c2＋…＋ancn

a1b1＋a2b2＋…＋anbn

a1＝a2＝…＝an

b1＝b2＝…＝bn

思考1 在锐角三角形中，设P＝a＋b＋c2，Q＝acos C＋bcos B＋ccos A，则P与Q的大小关系为(

)

A．P≥Q B．P＝Q

C．P≤Q D．不能确定

答案: C

一层练习

1．已知a，b，c∈R，则a＋b＋c与ab＋bc＋ca的大小关系是(

)

＋3332221

A．a＋b＋c>ab＋bc＋ca

333222B．a＋b＋c≥ab＋bc＋ca

333222C．a＋b＋c

333222D．a＋b＋c≤ab＋bc＋ca

答案: B

2．车间里有5台机床同时出了故障，从第1台到第5台的修复时间依次为4 min，8 min，6 min，10 min，5 min，每台机床停产1 min损失5元，经合理安排损失最少为(

) A．420元 B．400元

C．450元 D．570元

答案: A

3．某班学生要开联欢会，需要买价格不同的礼品4件、5件及2件，现选择商店中单价为3元、2元和1元的礼品，则最少和最多花的钱数为(

) A．19元，24元 B．20元，19元

C．19元，25元 D．25元，27元

答案: C

333222b2c2＋a2c2＋a2b24．已知a，b，c为正数，求证：≥abc. a＋b＋c分析：所要证的不等式中a，b，c的“地位”是对称的，因此可以先设出a，b，c的大小．

111证明：设a≥b≥c，则≤≤，bc≤ca≤ab，

abc由排序原理得＋bcacabbccaab＋≥＋＋，

abccabb2c2＋c2a2＋a2b2即≥a＋b＋c. abc因为a，b，c为正数，

所以abc＞0，a＋b＋c＞0. b2c2＋c2a2＋a2b2于是≥abc.

a＋b＋c

二层练习

5．已知a，b，c≥0，且a＋b＋c＝3，则ab＋bc＋ca的最大值是______．

答案: 3

＋5553336．设a，b，c∈R，求证：a＋b＋c≥abc＋bac＋cab. 444证明：不妨设a≥b≥c>0，则a≥b≥c，

运用排序不等式有：

a5＋b5＋c5＝a×a4＋b×b4＋c×c4≥ac4＋ba4＋cb4，

333又a≥b≥c>0，

且ab≥ac≥bc>0，

444333333所以ab＋bc＋ca＝aab＋bbc＋cca≥abc＋bac＋cab，

555333即a＋b＋c≥abc＋bac＋cab.

222

2

7．已知a，b，c为正数，a≥b≥c，求证：

111(1)≥≥；

bcacaba5b5c5111(2)33＋33＋33≥＋＋. bcacababc11证明：(1)∵a≥b＞0，∴≤，

ab111又∵c＞0，∴＞0，∴≥，

cbcca11同理∵b≥c＞0，∴≤，

bc111∵a＞0，∴＞0，∴≥，

acaab111∴≥≥；

bcacab111(2)由(1)≥≥，于是由排序原理得

bcacab111a5b5c5b5c5a5b2c2a2b2a2c2222因为a≥b≥c，≥≥＋＋≥＋＋＝＋＋≥＋＋c3b3a3b3c3c3a3a3b3b3c3c3a3a3b3c3a3b3b3a3c3＝

1

8．已知a，b，c为正数，且两两不相等，求证：2(a＋b＋c)＞a(b＋c)＋b(a＋c)2＋c(a＋b)．

222证明：不妨设a＞b＞c，于是a＞b＞c，

且b＋c＜a＋c＜a＋b，

∴33322abc11＋＋.

a2（b＋c）＋b2（a＋c）＋c2（a＋b）332＜

a2＋b2＋c2b＋c＋a＋c＋a＋b·322，

2222（a＋b＋c）（a＋b＋c）∴a(b＋c)＋b(a＋c)＋c(a＋b)＜，①

3又∵a＞b＞c，a＞b＞c，

∴222a3＋b3＋c3a＋b＋ca2＋b2＋c2333＞3·2322，

2（a＋b＋c）（a＋b＋c）∴2(a＋b＋c)＞，②

33由①②得

3332222(a＋b＋c)＞a(b＋c)＋b(a＋c)＋c(a＋b)．

3

三层练习

3abc9．设a，b，c为正数，求证：b＋c＋c＋a＋a＋b≥2.

证明：不妨设a≥b≥c(因为所证不等式关于a，b，c对称) 于是a＋b≥c＋a≥c＋b，所以得

a≥b≥c，1≥1≥1b＋cc＋aa＋b. 由排序原理：顺序和≥乱序和，得

ab＋c＋bc＋a＋ca＋b≥bb＋c＋cc＋a＋aa＋b，

ab＋c＋bc＋a＋ca＋b≥cb＋c＋ac＋a＋ba＋b，

将上面两个同向不等式相加，再除以2，即得

abc＋a＋cb＋c＋a＋b≥32.

22222222210．设a，b，c为正数，求证：2ab＋c＋bc＋a＋ca＋b≥b＋cb＋c＋c＋ac＋a＋a＋ba＋b. 证明：由对称性，可知不妨设a≥b≥c>0，

于是a＋b≥a＋c≥b＋c，a2≥b2≥c2，1b＋c≥1c＋a≥1a＋b，

由排序原理，

可知a2222b＋c＋bc＋a＋c2a＋b≥bb＋c＋c2c＋a＋aa＋b，

a2＋b222b＋cc＋a＋ca＋b≥c2b＋c＋ac＋a＋b2a＋b，

将上面两个同向不等式相加，可得

a2222222222＋b＋c≥b＋c＋c＋a＋a＋bb＋cc＋aa＋bb＋cc＋aa＋b.

11．已知n∈N，求证：(1＋1)(1＋114)…(1＋3n－2)>

33n＋1. 证明：令A＝(1＋1)11＋14…1＋3n－22583n－1＝1×4×7×…×3n－2，

B＝3×693n25×8×…×3n－1，

4

C＝×××…×43710693n＋1. 3n23456789103n－13n3n＋1由于>>，>>，>>，…，>>>0，

1234567893n－23n－13n∴A>B>C>0，

3∴A>ABC＝3n＋1，

3∴A>3n＋1，

∴原不等式成立．

22nn12．设x＞0，求证：1＋x＋x＋…＋x≥(2n＋1)x. 2n证明：(1)x≥1时，1≤x≤x≤…≤x，

由排序原理得

22nnnn－1n－1n1×1＋x·x＋x·x＋…＋x·x≥1·x＋x·x＋…＋x·x＋x·1，

242nn即1＋x＋x＋…＋x≥(n＋1)x，①

2n2n又因为x，x，…，x，1为序列1，x，x，…，x的一个排列，

2n－1nnnn－1n－1n∴1·x＋x·x＋…＋xx＋x·1≥1·x＋x·x＋…＋x·x＋x·1，

32n－1nn∴x＋x＋…＋x＋x≥(n＋1)x，②

22nn①＋②得1＋x＋x＋…＋x≥(2n＋1)x.③

2n(2)当0＜x＜1时，1＞x≥x≥…≥x，①②仍成立，∴③也成立．

1．排序原理是对不同的两个数组来研究不同的乘积和的问题，能构造的和按数组中的某种“搭配”的顺序被分为三种形式：顺序和、反序和、乱序和．对这三种不同的搭配形式，只需注重是怎样的“次序”，两种较为简单的是“顺与反”，而乱序和也就不按“常规”的顺序了．对于排序定理的记忆，我们只需记住用特殊例子的方法来说大小关系，比如教材上的例子．

2．对于排序不等式取等号的条件不难理解，a1＝a2＝…＝an或b1＝b2＝…＝bn，但对于我们解决某些问题则非常关键，它是命题成立的一种条件，所以要牢记．

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