1.3 二项式定理（通用）教案1

教学设计

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§1.3 二项式定理（通用）

中山市小榄中学(中山市外国语学校) 朱玉兰

【教材分析】

《二项式定理》是多项式运算的推广．在多项式的运算中，把二项式展开成单项式之和的形式，即二项式定理有着非常重要的地位，它是带领我们进入微分学领域大门的一把金钥匙，只是在中学阶段还没有显示的机会．将本小节内容安排在计数原理之后来学习，一方面是因为二项式定理的证明要用到计数原理，可以把它作为计数原理的一个应用，另一方面也为学习随机变量及其分布做准备．另外，由于二项式系数是一些特殊的组合数，由二项式定理可导出一些组合数的恒等式，这对深化组合数的性质有很大好处．总之，二项式定理是综合性较强的、具有联系不同内容作用的知识．

二项式定理的学习过程是应用两个计数原理解决问题的典型过程，其基本思想是“先猜后证”．与以往教科书比较，猜想不是通过对n取1、2、3、4的展开式的形式特征的分析而归纳得出，而是直接应用两个计数原理对(a＋b)2展开式的项的特征进行分析．这个分析过程不仅使学生对二项式的展开式与两个计数原理之间的内在联系获得认识的基础，而且也是为证明猜想提供了基本思路．

【考情分析】

求多项式展开式中的特定项是近几年高考的热点和难点,一般可以分成三种情况: (1)几个多项式和的展开式中的特定项(系数)问题；

(2)几个多项式积的展开式中的特定项(系数)问题；

(3)三项展开式中的特定项(系数)问题.

【教学目标】

1.知识与技能：会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．

2.过程与方法：

（1）运用归纳的方法，经历应用二项式定理解决与二项展开式有关问题的过程；

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（2）引导学生借助计数原理与组合知识解决与二项展开式有关的简单问题．

3.情感、态度与价值观

（1）培养学生的归纳思想、化归思想，培养探究、研讨、综合自学应用能力；

（2）培养学生观察、归纳、发现的能力以及分析问题与解决问题的能力；

（3）培养学生的自主探究意识、合作精神，体验二项式定理通用的发现和创造历程，体会数学语言的简洁和严谨．培养学生从特殊到一般、从一般到特殊的认知能力．

【重点难点】

教学重点：应用二项式定理，求多项式展开式中的特定项．

教学难点：用计数原理分析二项式的展开过程，发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规律．

教学过程

【旧知回顾】

我们已经学习了二项式定理，请同学们回顾：

0n1n1rnrrnn1.

二项式定理：(ab)CnaCnabCnabCnb（nN）

r其中二项式系数为Cn(r0,1,2,rnrr,n)，通项为展开式的第r1项为Tr1=Cnab

n活动设计：学生先独立回忆，必要时可以看书，也可以求助同学．

活动结果：(板书) 设计意图：复习已经学过的二项式定理，通项，二项式系数等有关知识，让学生回顾认知基础，形成认知环境，为二项式定理的通用打下基础．

【典型示例】

问题提出：求多项式展开式中的特定项是近几年高考的热点和难点,一般可以分成三种情况: (1)几个多项式和的展开式中的特定项(系数)问题；

(2)几个多项式积的展开式中的特定项(系数)问题；

(3)三项展开式中的特定项(系数)问题.

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类型一

几个多项式和的展开式中的特定项(系数)问题

【例1】

(2017浙江湖州高三考试)在(1x)5(1x)6(1x)7(1x)8的展开式中,含x3的项的系数是(

)

A.121 B.- 74 C.74 D.- 121 答案：D 3333（法一）解：含x3的项的系数：C5(10203556)121

C6C7C8（法二）思路分析：(1x)5,(1x)6,(1x)7,(1x)8是以公比为q1x(x1)的等比数列.

解：(1x)(1x)(1x)(1x)56784(1x)51(1x)1(1x)(1x)5(1x)9

x(1x)5中x4的系数为C545，(1x)9中x4的系数为C945126121

选D

提问：两种解题方法的优缺点是什么？该如何选择？

9876126

4321点评：比较复杂的二项式，如题中的项有10项的话，应用法二，可以先化简，再展开会更方便．

类型二

几个多项式积的展开式中的特定项(系数)问题

【例2】

(2017课标Ⅰ高考) (11)(1x)6展开式中x2的系数为(

) 2xA.15 答案：C B.20 C.30 D.35 解：(法一)(111666)(1x)(1x)(1x)

22xx6515

(1x)6的展开式中的x2的系数为C622114(1x)6的展开式中的x2的系数为C615

2x2所以x的系数为15+15=30

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rr（法二）(1x)6的展开式的通项为Tr1=C6x

162222)(1x)的展开式中的含的项的来源有两部分。一部分，另一x1Cx15x62x144x15x2，所以15+15=30 部分是2C6x(1

类型三

三项展开式中特定项(系数)问题

【例3】

(2017浙江高考冲刺卷) (xA.- 8 B.- 12 C.20 答案：D 解：（法一）思路分析：先看做两项的和求出通项，然后再求通项。

12)3展开式中的常数项为(

)

x D.-20

112)3可看做三个(x2)相乘，即xx1111(x2)3(x2)(x2)(x2)，然后利用排列

组合的知识来求解。

xxxx1111解：(x2)3(x2)(x2)(x2)

xxxx1111xC2(2)12；②3个2：(2)38

①1个x，1个，1个2：C3xx（法二）思路分析：(x所以12820

（法三）(x1161kkk3k2)3(x)，Tk1C6(x)6k()(1)kC6x

xxx3令3k0，得k3，所以(1)3C620

设计意图：通过一题多解，培养学生观察、归纳、发现的能力以及分析问题与解决问题的能力。

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【对点训练】

1．(2017湖南娄底二模)若x10x5a0a1(x1)a2(x1)2a10(x1)10，

则a5

.

答案：251 思路分析：利用换元法来分析解决问题。

解：令tx1,则x1t，

(1t)10(1t)5a0a1ta2t2a10t10

55所以a5的系数为C10C52521251

2. 已知(1ax)(1x)5的展开式中x的系数为5，则a( )

A.4 B.3

答案：D

C.2

D.1

2153. (2018·太原模拟(二))2x＋x－1的展开式中常数项是________．

答案：－161

5分析：2x＋－1的展开式中常数项为1x11(1)5C5(2x)C411(1)3C52(2x)2C32()2(1)140120121

xx活动设计：三个对点训练题，学生通过观察、思考，独立完成，三个学生到黑板板书，有做得不完美的，鼓励其他学生上黑板修正，发挥团队合作精神。

【课堂小结】

1.几个多项式和的展开式中特定项只需要先分别求出每一个多项式中的特定项,再合并即可. 2.几个多项式积的展开式中的特定项(系数)问题的处理方法:可先分别化简或展开为多

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项式和的形式,再分类考虑特定项产生的每一种情形,求出相应的特定项,最后进行合并即可. 3.三项展开式中的特定项(系数)问题的处理方法: (1)通常将三项式转化为二项式积的形式,然后利用多项式积的展开式中的特定项(系数)问题的处理方法求解; (2)将其某两项看成一个整体,直接利用二项式展开,然后再分类考虑特定项产生的所有可能情形.

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【附录】

§1.3 天天清

1.在(1x)3(1x)4(1x)5(1x)6的展开式中,含x3的项的系数是

2.已知1xx2x3x8a0a1x1a2x12a8x1，

8则a2（ ）

A. 120 B.84 C.72 D.48

3.

(12x)3(13x)5的展开式中x的系数是（ ）

A.-4 B. -2 C. 2 D. 4 4. 1x61x4的展开式中x的系数是（ ）

A．-4 B.-3 C.3 D.4 5.

(x2xy)5的展开式中，x5y2的系数为(

) A.10 B.20 C.30 D.60 6. (x1x2)3的展开式中常数项为

7.已知f(x)(2x3)n展开式的二项式系数和为512，

且(2x3)na20a1(x1)a2(x1)ann(x1)

（1）求a2的值；

（2）求a1a2a3an的值；

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§1.3 天天清参考答案

1.35 2.B 3.C 4.B 5.C 6. -20 7.解：f(x)(2x3)n展开式的二项式系数和为512，2n512,n9

（1）(2x3)9a0a1(x1)a2(x1)2a9(x1)9

令tx1,则x1t

[2(1t)3]9a0a1ta2t2a9t9

(12t)9a0a1ta2t2a9t9

a2C92(1)722984144

21（2）令x1，则a0(23)91

令x2，则a0a1(21)a2(21)2a9(21)9=a0a1a2a9(21)21

a1a2a91(1)2

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