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对2019届广州市一模文科数学解析几何题的巧思妙解广州市育才中学马细惠226x2y2【题目】已知椭圆C:221ab0的一个焦点为F1,0，点P,33在C上。ab（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l:yxm与椭圆C相交于A，B两点，问y轴上是否存在点M，使得△ABM

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关键词：本章小结教学设计案例

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对2019届广州市一模文科数学解析几何题的巧思妙解

广州市育才中学

马细惠

226x2y2【题目】已知椭圆C:221ab0的一个焦点为F1,0，点P,33在C上。

ab（1）求椭圆C的方程；

（2）若直线l:yxm与椭圆C相交于A，B两点，问y轴上是否存在点M，使得△ABM是以M为直角顶点的等腰直角三角形?若存在，求点M的坐标:若不存在，说明理由。

x2y21

解析：（1）易得椭圆方程为43（2）假设y轴上是否存在点M，使得△ABM是以M为直角顶点的等腰直角三角形，考虑到直线l:yxm的斜率为1，所以直线的倾斜角为45，

而MAB45，所以MAx轴，而MAMB，故B点必然落在y轴上，同时B点是直线与椭圆的交点，所以B点又必然落在椭圆上，所以B点一定是椭圆与y轴的交点，如图所示，从而直线l:yxm一定过点或（0，-3）

（0，3）

若直线l:yxm过点，则

l:yx-3

（0，-3）8yx-3x3x0722联立x得或

y1y3y3347显然此时M的坐标为

（0，）

若直线l:yxm过点，则

l:yx+3

（0，3）37

8yx+3x-3x07联立x2y2得或

y331y-347显然此时M的坐标为（0，-3

）733，使得△ABM是以M为直角顶点的等腰直角三角形

）所以y轴上是否存在点M为或（0，）（0，-77

关于本教案的常见问题

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