2.3.4 圆与圆的位置关系教案3

2.3.4

圆与圆的位置关系

自主学习

学习目标

能根据已知两圆的方程判断其位置关系，并能应用两圆的位置关系解决相关问题．

自学导引

1．圆与圆的位置关系

圆与圆的位置关系有五种，分别为：________、________、________、________、________. 2．圆与圆位置关系的判定

(1)几何法：若两圆的半径分别为r1、r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：

位置关系

图示

d与r1、r2的关系

外离

外切

相交

内切

内含

d＝r1＋r2

|r1－r2|<

d<______ d<______ (2)代数法：设两圆方程分别为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，

22xyD1xE1yF10联立方程得2

2xyD2xE2yF20若方程组有两组不同的实数解Û两圆__________；

方程组有唯一实数解Û两圆________；

方程组无实解Û两圆________．

对点讲练

知识点一

两圆位置关系的判断

例1

已知圆C1：x2＋y2－2ax－2y＋a2－15＝0，

C2：x2＋y2－4ax－2y＋4a2＝0 (a>0)．

试求a为何值时两圆C1、C2.(1)相切；(2)相交；(3)相离．

点评

判断两圆位置关系的方法有两种：一是代数法，看方程组的解的个数，但往往较繁琐；二是几何法，看两圆圆心距d，若d＝r1＋r2，两圆外切，d＝|r1－r2|时，两圆内切，d>r1＋r2时，两圆外离，d<|r1－r2|时，两圆内含，|r1－r2|

变式训练1

已知圆C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0与圆C2：x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0，当m为何值时：(1)两圆外切？(2)两圆内切？

知识点二

两圆相交问题

例2

已知圆C1：x2＋y2＋2x－6y＋1＝0，圆C2：x2＋y2－4x＋2y－11＝0，求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长．

点评

求两圆的公共弦所在的直线方程，只需把两个圆的方程相减即可．这是因为若两圆相交，其交点坐标必须满足相减后的方程；另一方面，相减后的方程为二元一次方程，即直线的一般方程，故此方程即为两圆公共弦所在的直线方程，而在求两圆的公共弦长时，则应注意数形结合思想方法的灵活运用．

变式训练2

已知圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0与C2：x2＋y2－2x＋10y－24＝0相交于A，

B两点，

(1)求公共弦AB的长；

(2)求圆心在直线y＝－x上，且过A，B两点的圆的方程；

(3)求经过A，B两点且面积最小的圆的方程．

知识点三

两圆相切的有关问题

例3

求与圆C：x2＋y2－2x＝0外切且与直线l：x＋3y＝0相切于点M(3，－3)的圆的

方程．

点评

两圆外切时常用圆心距等于半径之和求解，圆与直线相切时，该圆心到这条直线的距离等于圆的半径，若已知切点坐标，也可以用切点与圆心间的距离得圆的半径，本题是设出圆的方程，根据已知条件列出关于a，b，r的方程组，用待定系数法求解．

变式训练3

求和圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4相切于点(4，－1)且半径为1的圆的方程．

课堂小结

1．判断两个圆的位置关系常用两圆心距d与两圆半径的和、差比较大小．d＝R＋r时，两圆外切；d＝|R－r|时，两圆内切；d<|R－r|时，两圆内含；d>R＋r时，两圆相离；|R－r|

2．过两个已知圆x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0的交点的圆系方程为：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0 (λ≠－1)．(ⅰ) 方程(ⅰ)是一个圆系方程，这些圆的圆心都在两圆的连心线上，圆系方程代表的圆不包含圆x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0.

λ＝－1时，(ⅰ)式变为一条直线：(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋(F1－F2)＝0.(ⅱ) 若两圆相交，则方程(ⅱ)是它们的公共弦所在直线的方程；若两圆相切，则方程(ⅱ)就是它们的公切线方程.

当堂检测

1．两圆(x＋3)2＋(y－2)2＝4和(x－3)2＋(y＋6)2＝64的位置关系是(

) A．外切

B．内切

C．相交

D．相离

2．两圆x2＋y2－4x＋2y＋1＝0与x2＋y2＋4x－4y－1＝0的公切线有(

) A．1条

B．2条

C．3条

D．4条

3．与圆x2＋y2－2x＋4y＋1＝0同心，且与直线2x－y＋1＝0相切的圆的方程是_____________．

4．两圆交于A(1,3)及B(m，－1)，两圆的圆心均在直线x－y＋n＝0上，则m＋n的值为_______．

5．已知点P(－2，－3)和以点Q为圆心的圆(x－4)2＋(y－2)2＝9. (1)画出以PQ为直径，Q′为圆心的圆，再求出它的方程；

(2)作出以Q为圆心的圆和以Q′为圆心的圆的两个交点A，B.直线PA，PB是以Q为圆心的圆的切线吗？为什么？

(3)求直线AB的方程．

参考答案

自学导引

1．外离

外切

相交

内切

内含

2．(1)d>r1＋r2

r1＋r2

d＝|r1－r2|

|r1－r2| (2)相交

对点讲练

例1

【解】对圆C1、C2的方程，经配方后可得：

C1：(x－a)2＋(y－1)2＝16，

C2：(x－2a)2＋(y－1)2＝1，

∴圆心C1(a,1)，r1＝4，C2(2a,1)，r2＝1，

∴|C1C2|＝(a－2a)2＋(1－1)2＝a，

(1)当|C1C2|＝r1＋r2＝5，即a＝5时，两圆外切，

当|C1C2|＝r1－r2＝3，即a＝3时，两圆内切．

(2)当3<|C1C2|<5，即3

(3)当|C1C2|>5，即a>5时，两圆外离．

当|C1C2|<3，即a<3时，两圆内含．

变式训练1

【解】由C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0，

得(x－m)2＋(y＋2)2＝9，

知圆心为C1(m，－2)，半径r1＝3；

由C2：x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0，

得(x＋1)2＋(y－m)2＝4，

知圆心为C2(－1，m)，半径r2＝2. ∴圆心距d＝(m＋1)2＋(m＋2)2＝2m2＋6m＋5. (1)当d＝r1＋r2，即m＝2或m＝－5时，两圆外切．

(2)当d＝r1－r2，即m＝－1或m＝－2时，两圆内切．

例2

【解】设两圆交点为A(x1，y1)、B(x2，y2)，

22x＋y＋2x－6y＋1＝0

①则A、B两点坐标是方程组22的解，

x＋y－4x＋2y－11＝0

②相切

相离

①－②得3x－4y＋6＝0. ∵A、B两点坐标都满足此方程，

∴3x－4y＋6＝0即为两圆公共弦所在的直线方程．

易知圆C1的圆心坐标为(－1,3)，半径r＝3.

|－1×3－4×3＋6|9又C1到直线AB的距离为d＝＝. 532＋42∴|AB|＝2r2－d2＝2922432－5＝5，

24即两圆的公共弦长为. 5变式训练2

【解】(1)由两圆方程相减即得x－2y＋4＝0，

此为公共弦AB所在的直线方程．

圆心C1(－1，－1)，半径r1＝10，

|－1＋2＋4|C1到直线AB的距离为d＝＝5，

52故公共弦长|AB|＝2r21－d＝25. y＋1x＋1(2)圆心C2(1，－5)，过C1，C2的直线方程为＝，即2x＋y＋3＝0. －5＋11＋12x＋y＋3＝0，由得所求圆的圆心为(－3,3)，

y＝－x

|－3－6＋4|它到AB的距离为d＝＝5，

5∴所求圆的半径为5＋5＝10，

∴所求圆的方程为(x＋3)2＋(y－3)2＝10. (3)过A，B且面积最小的圆就是以AB为直径的圆．

x－2y＋4＝0，由

2x＋y＋3＝0，

得圆心坐标为(－2,1)，半径r＝5. ∴所求圆的方程为(x＋2)2＋(y－1)2＝5. 例3

【解】圆C的方程可化为(x－1)2＋y2＝1，

圆心C(1,0)，半径为1. 设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，

b＋3×(－33)＝－1由题意可得a－3|a＋3b|2＝r(a－1)2＋b2＝r＋1

，

a＝4解得b＝0r＝2

a＝0或b＝－43r＝6

. 所以所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋43)2＝36. 变式训练3

【解】设所求圆的圆心为P(a，b)，

∴(a－4)2＋(b＋1)2＝1①

(1)若两圆外切，则有(a－2)2＋(b＋1)2＝1＋2＝3②

由①②解得a＝5，b＝－1，

所以所求圆的方程为(x－5)2＋(y＋1)2＝1. (2)若两圆内切，则有(a－2)2＋(b＋1)2＝2－1＝1③

由①③解得a＝3，b＝－1，

所以所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝1. 综上可知，所求圆的方程为(x－5)2＋(y＋1)2＝1或(x－3)2＋(y＋1)2＝1. 课时作业

1．A

2.C

3．(x－1)2＋(y＋2)2＝5

4.3

5．【解】(1)∵已知圆的方程为(x－4)2＋(y－2)2＝32，∴Q(4,2)．

1|PQ|611，－，半径为r＝PQ中点为Q′＝，

222161y＋2＝. 故以Q′为圆心的圆的方程为(x－1)2＋24(2)∵PQ是圆O′的直径，∴PA⊥AQ(如图所示)

∴PA是⊙Q的切线，同理PB也是⊙Q的切线．

(3)将⊙Q与⊙Q′方程相减，得6x＋5y－25＝0,此即为直线AB的方程．