2.基本不等式教学目标

第2课时

基本不等式

学习目标

1.理解并掌握重要不等式(定理1)和基本不等式(定理2).2.能运用这两个不等式解决函数的最值或值域问题，能运用这两个不等式证明一些简单的不等式.3.能运用基本不等式(定理2)解决某些实际问题．

知识点

基本不等式

思考

回顾a2＋b2≥2ab的证明过程，并说明等号成立的条件．

答案

a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，即a2＋b2≥2ab，

当且仅当a＝b时，a2＋b2＝2ab. 梳理

(1)重要不等式

定理1：如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．

(2)基本不等式

a＋b①定理2：如果a，b＞0，那么≥ab，当且仅当a＝b时，等号成立

. 2②定理2的应用：对两个正实数x，y，

(ⅰ)如果它们的和S是定值，则当且仅当x＝y时，它们的积P取得最大值；

(ⅱ)如果它们的积P是定值，则当且仅当x＝y时，它们的和S取得最小值.

类型一

不等式的证明

例1

已知a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1. 111求证：＋＋≥9. abc证明

方法一

∵a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝1，

111a＋b＋ca＋b＋ca＋b＋c∴＋＋＝＋＋

abcabcbcacab＝3＋＋＋＋＋＋

aabbccbacacb＝3＋a＋b＋a＋c＋b＋c

≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．

111∴＋＋≥9. abc

方法二

∵a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，

111111∴＋＋＝(a＋b＋c)a＋b＋c

abcbcacab＝1＋＋＋＋1＋＋＋＋1 aabbccbacacb＝3＋a＋b＋a＋c＋b＋c

≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．

111∴＋＋≥9. abc引申探究

a2b2c21．若本例条件不变，求证：＋＋≥1. bca证明

∵a2＋b2≥2ab，

a2∴≥2a－b. bb2c2同理，≥2b－c，≥2c－a. caa2b2c2∴＋＋

bca≥(2a－b)＋(2b－c)＋(2c－a)＝a＋b＋c＝1，

a2b2c2∴＋＋≥1. bca2．若本例条件不变，求证：a2＋b2＋b2＋c2＋c2＋a2≥2. 证明

∵a2＋b2≥2ab，∴2(a2＋b2)≥(a＋b)2. 又a，b，c∈R＋，

∴a2＋b2≥22|a＋b|＝(a＋b)．

2222(b＋c)，c2＋a2≥(a＋c)．

22同理，b2＋c2≥三式相加，得

a2＋b2＋b2＋c2＋c2＋a2≥

2(a＋b＋c)＝2，

当且仅当a＝b＝c时取等号．

反思与感悟

用基本不等式证明不等式时，应首先依据不等式两边式子的结构特点进行恒等变形，使之具备基本不等式的结构和条件，然后合理地选择基本不等式进行证明．

跟踪训练1

(1)已知a，b，c，d∈R＋，求证：(ab＋cd)·(ac＋bd)≥4abcd；

111＋1＋≥9. (2)已知a＞0，b＞0且a＋b＝1，求证：ab证明

(1)∵a，b，c，d，∈R＋，

∴ab＋cd≥2abcd，ac＋bd≥2acbd，

∴(ab＋cd)(ac＋bd)≥4abcd. 当且仅当a＝d且b＝c时取等号．

111＋1＋

(2)aba＋ba＋b＝1＋

1＋abba2＋2＋

＝abba1＋＋1≥5＋2×2＝9，当且仅当a＝b＝时取等号．

＝4＋2ab2111＋1＋≥9. ∴ab类型二

利用基本不等式求最值

12例2

(1)设x＞0，y＞0且2x＋y＝1，求＋的最小值；

xy12(2)若x＜0，求f(x)＝＋3x的最大值．

x1212124xy＋×1＝＋(2x＋y)＝4＋＋≥4＋2解

(1)＋＝xyxyxyyxy11，即x＝，y＝时，等号成立，

x4212∴＋的最小值是8. xy1212(2)∵x＜0，∴－x＞0, 故f(x)＝－－x＋3－x≤－236＝－12，当且仅当－＝－3x，即xx＝－2时，等号成立，∴f(x)的最大值是－12. 反思与感悟

在应用基本不等式求最值时，分以下三步进行

(1)首先看式子能否出现和(或积)的定值，若不具备，需对式子变形，凑出需要的定值．

(2)其次，看所用的两项是否同正，若不满足，通过分类解决，同负时，可提取－1变为同正．

(3)利用已知条件对取等号的情况进行验证．若满足，则可取最值，若不满足，则可通过函数的单调性或导数解决．

12跟踪训练2

若实数a，b满足＋＝ab，则ab的最小值为(

) abA.2

B．2

C．22

D．4 答案

C 12解析

因为＋＝ab，所以a＞0，b＞0，

ab12因为ab＝＋≥2 ab12×＝2ab2，

ab4xy4x·＝4＋4＝8，当且仅当＝yxy

所以ab≥22(当且仅当b＝2a时取等号)，所以ab的最小值为22. 类型三

利用基本不等式解决实际应用问题

例3

某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2019年大型展销会期间进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，化妆品的年销量x(万件)与年促销费用t(万元)之间满足3－x与t＋1成反比例的关系，如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件，已知2019年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件化妆品需要投入32万元的生产费用，若将每件化妆品的售价定为其生产成本的150%与平均每件促销费的一半之和，则当年生产的化妆品正好能销完．

(1)将2019年的利润y(万元)表示为促销费用t(万元)的函数；

(2)该企业2019年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？

k解

(1)由题意可设3－x＝(k≠0)，

t＋12将t＝0，x＝1代入，得k＝2.∴x＝3－. t＋1当年生产x万件时，

∵年生产成本＝年生产费用＋固定费用，

2∴年生产成本为32x＋3＝323－t＋1＋3. 当销售x(万件)时，

21年销售收入为150%323－t＋1＋3＋t. 2由题意，生产x万件化妆品正好销售完，

由年利润＝年销售收入—年生产成本—促销费用，

－t2＋98t＋35得年利润y＝(t≥0)．

2t＋1－t2＋98t＋35t＋132

(2)y＝＝50－2＋t＋12t＋1≤50－2 t＋132×＝50－216＝42，

2t＋1t＋132当且仅当＝，

2t＋1即当t＝7时，等号成立，ymax＝42，

∴当促销费用定在7万元时，年利润最大．

反思与感悟

利用不等式解决实际应用问题时，首先要仔细阅读题目，弄清要解决的实际问题，确定是求什么量的最值；其次，分析题目中给出的条件，建立y的函数表达式y＝f(x)(x一般为题目中最后所要求的量)；最后，利用不等式的有关知识解题．求解过程中要注意实

际问题对变量x的范围制约．

跟踪训练3

围建一个面积为360 m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2 m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，设利用的旧墙的长度为x(单位：m)，总费用为y(单位：元)．

(1)将y表示为x的函数；

(2)试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．

解

(1)如题图所示，设矩形的另一边长为a m. 则y＝45x＋180(x－2)＋180×2a＝225x＋360a－360. 360由已知xa＝360，得a＝，

x3602∴y＝225x＋－360(x＞2)．

x(2)∵x＞2，

3602∴225x＋≥2x3602225x×＝2225×3602＝10 800. x3602∴y＝225x＋－360≥10 440，

x3602当且仅当225x＝，即当x＝24时等号成立，此时修建围墙的总费用最小，最小总费用是x10 440元．

1．下列不等式中，正确的个数是(

) a＋b①若a，b∈R，则≥ab；

21②若x∈R，则x2＋2＋2＞2；

x＋21③若x∈R，则x2＋1＋2≥2；

x＋1④若a，b∈R＋，则a＋b≥ab. 2A．0

B．1

C．2

D．3 答案

C 解析

显然①不正确；③正确；

11对②，虽然x2＋2＝2无解，但x2＋2＋2＞2成立，故②正确；④不正确，如a＝1，x＋2x＋2b＝4. 1112．已知a＞0，b＞0，a，b的等差中项是，且α＝a＋，β＝b＋，则α＋β的最小值是(

) 2abA．3

B．4

C．5

D．6 答案

C 1解析

∵a＋b＝2×＝1，a＞0，b＞0，

21111∴α＋β＝a＋＋b＋＝1＋≥1＋＝5，

ababa＋b221当且仅当a＝b＝时取“＝”号．

23．下列不等式的证明过程正确的是(

) baA．若a，b∈R，则＋≥2 ab1B．若x＞0，则cos x＋≥2 cos x4C．若x＜0，则x＋≤2 x4x·＝4 xba·＝2 ab1cos x·＝2 cos xba－b＋－a≤－2 D．若a，b∈R，且ab＜0，则＋＝－abab答案

D 解析

对于A，a，b必须同号；

对于B，cos x不一定大于0；对于C，由x＜0，

44得x＋＝－－x＋－x

x≤－2 4－x·＝－4. －x－b－a＝－2 abba对于D，由ab＜0，得＜0，＜0，

abba－b＋－a

≤－2所以＋＝－abab4．当x＞1时，函数y＝x＋答案

3 11解析

因为x＞1，所以y＝x＋＝(x－1)＋＋1≥2x－1x－11x－1·＋1＝3，

x－1－b－a＝－2. ab1的最小值是________．

x－1

1当且仅当x－1＝，

x－1且x＞1，即x＝2时等号成立．故函数的最小值为3. 15．已知a＞0，b＞0，且a＋b＝1.求证：a2＋b2≥. 2证明

∵a2＋b2≥2ab，

∴2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2＝1，

1∴a2＋b2≥，

21当且仅当a＝b＝时，等号成立．

2

1．对于基本不等式的应用，如果能熟练掌握一些常见结论，可使应用更加灵活快捷．

a＋b2a＋b(1)ab≤2≤2. a＋b(2)ab≤

≤

2a2＋b2(a，b∈R＋)．

222ba(3)＋≥2(a，b同号)．

ab11(4)(a＋b)a＋b≥4(a，b∈R＋)．

(5)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca. 2．利用基本不等式求最值，关键是对式子进行恰当的变形，合理构造“和式”与“积式”的互化，必要时可多次应用基本不等式．注意一定要求出使“＝”成立的自变量的值，这也是进一步检验是否存在最值的重要依据．