复习参考题ppt课件配套教案内容

概率与统计的引入拓宽了应用过问题取材的范围．由于中学数学中所学的概率与统计的内容是这一数学分支中最基础的内容，考虑到教学实际和考生的生活实际，高考对这部分内容的考查贴近考生生活，注重考查基础知识和基本方法．

全国卷中一般以“1大2小”3个题，共22分，且“简单—中等”难度出现，但是涉及知识点多且杂、

数字计算量大、具有实际应用背景等题型特点，也是考生易失分的地方．

本节主要讲解统计部分的基础知识和基本方法，与常考题型．

第一部分

随机抽样

一、简单随机抽样

1．设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n≤N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．

2．简单随机抽样的常用方法

最常用的简单随机抽样有抽签法和随机数法：

(1)抽签法：把总体中的N个个体编号，把号码写在号签上，将号签放在一个容器中，搅拌均匀后，每次从中抽取一个号签，连续抽取n次，就得到一个容量为n的样本．

(2)随机数法：利用随机数表、随机数骰子或计算机产生的随机数进行抽样，叫做随机数法．

二、系统抽样

假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本．

1．先将总体的N个个体编号．

NNN2．确定分段间隔k，对编号进行分段，当是整数时，取k＝，当不是整数时，随机nnnN从总体中剔除余数，再取k＝n．

3．在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号l(l≤k)．

4．按照一定的规则抽取样本，通常是将l加上间隔k得到第2个个体编号(l＋k)，再加k得到第3个个体编号(l＋2k)，依次进行下去，直到获取整个样本．

这种抽样方法是一种系统抽样．

【提醒】如果总体容量N不能被样本容量n整除，可随机地从总体中剔除余数，然后再按系统抽样的方法抽样．

三、分层抽样

1．定义：在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是分层抽样．

2．应用范围：当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样．

与分层抽样有关问题的常见类型及解题策略：

(1)确定抽样比．可依据各层总数与样本数之比，确定抽样比．

(2)求某一层的样本数或总体个数．可依据题意求出抽样比，再由某层总体个数(或样本数)确定该层的样本(或总体)数．

(3)求各层的样本数．可依据题意，求出各层的抽样比，再求出各层样本数．

1．(2013·课标全国卷Ⅰ)为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是(

) A．简单随机抽样

C．按学段分层抽样

B．按性别分层抽样

D．系统抽样

【解析】由于三个学段学生的视力情况差别较大，故需按学段分层抽样．

【答案】C 2．(2014·高考四川卷)在“世界读书日”前夕，为了了解某地5 000名居民某天的阅读时间，从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析．在这个问题中，5 000名居民的阅读时间的全体是(

) A．总体

B．个体

D．从总体中抽取的一个样本

C．样本的容量

【解析】

调查的目的是“了解某地5 000名居民某天的阅读时间”，所以“5 000名居民的阅读时间的全体”是调查的总体．

【答案】A 3．从300名学生(其中男生180人，女生120人)中按性别用分层抽样的方法抽取50人参加比赛，则应该抽取男生人数为(

) A．27

C．33

B．30 D．36 【解析】本题考查分层抽样等基础知识．因为男生与女生的比例为180∶120＝3∶2，3所以应该抽取男生人数为50×＝30．

3＋2【答案】B 4．(2013·高考江西卷)总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为(

) 7816

3204

6572

9234

0802

4935

6314

8200

0702

3623

4369

4869

9728

6938

0198 7481

A．08

C．02

B．07 D．01 【解析】读数时比较与20的大小关系，由随机数表法的随机抽样的过程可知选出的5个个体是08,02,14,07,01，所以第5个个体的编号是01．

【答案】D 5．(2015·黑龙江哈尔滨六中模拟)哈六中2015届有840名学生，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1,2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481,720]的人数为(

) A．11

C．13

B．12 D．14 【解析】使用系统抽样方法，从840人中抽取42人，即从20人抽取1人．所以从编号1～480的人中，恰好抽取【答案】B 6．(2015·陕西师大附中模拟)采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9．抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A，编号落入区间[451，750]的人做问卷B，其余的人做问卷C．则抽到的人中，做问卷C的人数为________．

【解析】设n抽到的号码为an，则an＝9＋30(n－1)＝30n－21，由750<30n－21≤960，得25.7

【答案】7 7．某班运动队由足球运动员18人、篮球运动员12人、乒乓球运动员6人组成(每人只参加一项)，现从这些运动员中抽取一个容量为n的样本，若分别采用系统抽样法和分层抽样法，则都不用剔除个体；当样本容量为n＋1时，若采用系统抽样法，则需要剔除1个个体，那么样本容量n为________．

【解析】总体容量为6＋12＋18＝36．当样本容量为n时，由题意可知，系统抽样的抽36nn样距为，分层抽样的抽样比是，则采用分层抽样法抽取的乒乓球运动员人数为6×＝n3636nnnnn，篮球运动员人数为12×＝，足球运动员人数为18×＝，可知n应是6的倍数，366363362的约数，故n＝6,12,18．当样本容量为n＋1时，剔除1个个体，此时总体容量为35，系统3535抽样的抽样距为，因为必须是整数，所以n只能取6，即样本容量n为6．

n＋1n＋1【答案】6

480240＝24(人)，接着从编号481～720共240人中抽取＝12人．

2020

第二部分

用样本估计总体

1．频率分布表与频率分布直方图

频率分布表与频率分布直方图的绘制步骤如下：

(1)求极差，即求一组数据中最大值与最小值的差．

(2)确定组距与组数．

(3)将数据分组．

(4)列频率分布表．落在各小组内的数据的个数叫做频数，每小组的频数与数据总数的比值叫做这一小组的频率．计算各小组的频率，列出频率分布表．

(5)画频率分布直方图．依据频率分布表画频率分布直方图，其中纵坐标(小长方形的高)表示频率与组距的比值，其相应组距上的频率等于该组上的小长方形的面积，即每个小长方频率形的面积＝组距×＝频率．

组距这样，频率分布直方图就以面积的形式反映了数据落在各个小组的频率的大小，各个小长方形面积的总和等于1．

2．频率分布折线图和总体密度曲线

(1)频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图．

(2)总体密度曲线：随着样本容量的增加，作图时所分的组数增加，组距减小，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线．

3．茎叶图

统计中有一种被用来表示数据的图叫做茎叶图，茎是指中间的一列数，叶是从茎的旁边生长出来的数．

用茎叶图刻画数据有两个优点：

a．所有的信息都可以从图中得到；

b．茎叶图便于数据的记录和表示，能够展示数据的分布情况．

但当样本数据较多或数据位数较多时，茎叶图就显得不太方便．

二、用样本的数字特征估计总体的数字特征

1．众数、中位数、平均数

众数：在一组数据中出现次数最多的数据

中位数：将一组数据按大小顺序依次排列，处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数) 平均数：样本数据x1，x2，…，xn的算术平均数x＝2．标准差和方差

(1)标准差是样本数据到平均数的一种平均距离．

x1＋x2＋…＋xn

n

(2)标准差：s＝

1[x1－x2＋x2－x2＋…＋xn－x2] ．

n1(3)方差：s2＝[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(xn－x)2](xn是样本数据，n是样本容量，xn是样本平均数)．

平均数、方差的公式推广

(1)若数据x1，x2，…，xn的平均数为x，那么mx1＋a，mx2＋a，…，mxn＋a的平均数是mx＋a．

(2)数据x1，x2，…，xn的方差为s2．

①数据x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的方差也为s2；

②数据ax1，ax2，…，axn的方差为a2s2．

112222222(3)s2＝[(x2＋x＋…＋x)－nx]，或写成s＝(x1＋x2＋…＋x212nn)－x，即方差等于原nn数据平方的平均数减去平均数的平方．

1．容量为20的样本数据，分组后的频数如下表：

分组

[10,20)

[20,30)

[30,40)

[40,50)

5

[50,60)

4

[60,70] 2 2

3

4

频数

则样本数据落在区间[10,40)的频率为(

) A．0.35

C．0.55

B．0.45

D．0.65 9【解析】求得该频数为2＋3＋4＝9，样本容量是20，所以频率为＝0.45 20【答案】B 2．(2013·高考四川卷)某学校随机抽取20个班，调查各班中有网上购物经历的人数，所得数据的茎叶图如图所示．以组距为5将数据分组成[0,5)，[5,10)，…，[30,35)，[35,40]时，所作的频率分布直方图是(

)

【解析】由题意知样本容量为20，组距为5，列表如下：

分组

[0,5)

[5,10)

[10,15)

[15,20)

[20,25)

[25,30)

[30,35)

[35,40]

频数

1

1

4

2

4

3

3

2

频率

1

201

201

51

101

53

203

201

101 频率

组距001 001 004 002 004 003 003 002

20

合计

观察各选择项的频率分布直方图知选A 【答案】A 3．(2014·山东高考)为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为[12,13)，[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组，如图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为(

)

A．6

B．8 D．18 C．12

20【解析】志愿者的总人数为＝50，所以第三组人数为50×036＝18，有0.16＋0.24×1疗效的人数为18－6＝12 【答案】C

4．(2016·衡水中学仿真)在某次测量中得到的A样本数据如下：82,84,84,86,86,86,88,88,88,88．若B样本数据恰好是A样本数据每个都加2后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是(

) A．众数

C．中位数

B．平均数

D．标准差

【解析】由题原来众数88变为90，中位数由86变为88，平均数增加2，所以每个数与平均数的差不变，即标准差不变．

【答案】D 5．(2014·益阳模拟)为了了解某校九年级1 600名学生的体能情况，随机抽查了部分学生，测试1分钟仰卧起坐的成绩(次数)，将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图，根据统计图的数据，下列结论错误的是(

)

A．该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数的中位数为2625次

B．该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数的众数为275次

C．该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数超过30次的人数约有320人

D．该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数少于20次的人数约有32人

【解析】由题图可知中位数是2625次，众数是275次，1分钟仰卧起坐的次数超过30次的频率为02，则估计该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数超过30次的人数约有320人；1分钟仰卧起坐的次数少于20次的频率为01，则该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数少于20次的人数约有160人．故D是错误的．

【答案】D 6．(2015·高考湖北卷)某电子商务公司对10 000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计，发现消费金额(单位：万元)都在区间[03,09]内，其频率分布直方图如图所示．

(1)直方图中的a＝________；

(2)在这些购物者中，消费金额在区间[05,09]内的购物者的人数为________．

【解析】(1)01×15＋01×25＋01×a＋01×2＋01×08＋01×02＝1，解得a＝3；

(2)区间[05,09]内的频率为1－01×15－01×25＝06，则该区间内购物者的人数为10 000×06＝6 000 【答案】(1)3

(2)6 000 7．(2014·吉林四校联考)某校高三年级进行了一次学业水平测试，用系统抽样的方法抽取了50名学生的数学成绩，准备进行分析和研究．经统计，成绩的分组及各组的频数如下：

[40,50)，2；[50,60)，3；[60,70)，10；[70,80)，15；[80,90)，12；[90,100]，8．

(1)完成样本的频率分布表，画出频率分布直方图；

(2)估计成绩在85分以下的学生比例；

(3)请你根据以上信息去估计样本的众数、中位数、平均数(精确到0.01)．

频率分布表

分组

[40,50)

[50,60)

[60,70)

[70,80)

[80,90)

[90,100]

频数

2 3 10 15 12 8 频率

50

合计

【解析】(1)频率分布表如下：

频率分布直方图如图所示：

2＋3＋10＋15＋6(2)因为×100%＝72%，所以估计成绩在85分以下的学生比例为50

72%. (3)由频率分布直方图，可知[70,80)这一组对应的小长方形最高，估计众数为75分．

设中位数为(70＋x)分，则0.04＋0.06＋0.2＋0.03x＝0.5，解得x≈6.67，估计中位数为76.67分．

45×0.04＋55×0.06＋65×0.2＋75×0.3＋85×0.24＋95×0.16＝76.2，估计平均数为76.2分．

8．某城市100户居民的月平均用电量(单位：度)，以[160,180)，[180,200)，[200,220)，[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]分组的频率分布直方图如图所示．

(1)求直方图中x的值；

(2)求月平均用电量的众数和中位数；

(3)在月平均用电量为[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取多少户？

【解析】(1)依题意，20×(0002＋00095＋0011＋00125＋x＋0005＋00025)＝1，解得x＝00075 (2)由题图可知，最高矩形的数据组为[220,240)，

220＋240∴众数为＝230 2∵[160,220)的频率之和为(0002＋00095＋0011)×20＝045，

∴依题意，设中位数为y，

∴045＋(y－220)×00125＝05解得y＝224，

∴中位数为224 (3)月平均用电量在[220,240)的用户在四组用户中占比例为0.01255＝，

0.0125＋0.0075＋0.005＋0.0025115∴月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取11×＝5(户)．

11

必记结论

一、各名称含义

样本、样本容量、极差、频数、频率、组距、平均数、中位数、众数、方差、标准差

二、分层抽样中的比例关系

样本容量各层样本容量(1)抽样比＝＝；

个体总量各层个体数量(2)层1的数量∶层2的数量∶层3的数量＝样本1的容量∶样本2的容量∶样本3的容量．

三、频率分布直方图中的结论

由频率分布直方图进行相关计算时，需掌握下列关系式：

频率(1)×组距＝频率．

组距频数频数(2)＝频率，此关系式的变形为＝样本容量，样本容量×频率＝频数．

样本容量频率(3)三个数字特征结论：

中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等，由此可以估计中位数值．

平均数：平均数的估计值等于每个小矩形的面积乘以矩形底边中点横坐标之和．

众数：最高的矩形的中点的横坐标．

四、两点注意

(1)频率分布直方图与条形统计图不同．

(2)①众数、中位数及平均数都是描述一组数据集中趋势的量，平均数是最重要的量，与每个样本数据有关，这是中位数、众数所不具有的性质．

②标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度就越大．

一、选择题

1．从30个个体中抽取10个样本，现给出某随机数表的第11行到第15行(见下表)，如果某人选取第12行的第6列和第7列中的数作为第一个数并且由此数向右读，则选取的前4个的号码分别为(

) 9264 4607 2021 3920 7766 3817 3256 1640 5858 7766 3170 0500 2593 0545 5370 7814 2889 6628 6757 8231 1589 0062 0047 3815 5131 8186 3709 4521 6665 5325 5383 2702 9055 7196 2172 3207 1114 1384 4359 4488 A．76,63,17,00

C．17,00,02,25

B．16,00,02,30 D．17,00,02,07 【解析】在随机数表中，将处于00～29的号码选出，第一个数76不合要求，第2个63不合要求，满足要求的前4个号码为17,00,02,07．

【答案】D 2．(2016·冀州中学期中)某市共有400所学校，现要用系统抽样的方法抽取20所学校作为样本，调查学生课外阅读的情况．把这400所学校编上1～400的号码，再从1～20中随机抽取一个号码，如果此时抽得的号码是6，则在编号为21到40的学校中，应抽取的学校的编号为(

) A．25

C．27

答案

B 【解析】系统抽样是把个体编号后，先抽取第一个，然后每次间隔相同的数依次抽取，本题中每次间隔20，第一个抽取的是6号，接下来应该抽取的是第26号．

【答案】B 3．(2014·青岛检测)如图是一容量为100的样本的质量的频率分布直方图，样本质量均在[5,20]内，其分组为[5,10)，[10,15)，[15,20]，则样本质量落在[15,20]内的频数为(

)

B．26 D．以上都不是

A．10 C．30

B．20 D．40 【解析】由题意得组距为5，故样本质量在[5,10)，[10,15)内的频率分别为0.3和0.5，

所以样本质量在[15,20]内的频率为1－0.3－0.5＝0.2，频数为100×0.2＝20．

【答案】B 4．(2015·西安检测)某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90，五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法中一定正确的是(

) A．这种抽样方法是一种分层抽样

B．这种抽样方法是一种系统抽样

C．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差

D．该班级男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数

【解析】依题意，显然不能确定题中的抽样方法是属于哪种抽样，因此选项A，B均不正确；选项D，仅有5名男生，5名女生的数学成绩，而不能得出该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数；对于C，注意到将这五个男生与女生的成绩均按由小到大排列，这五名男生的成绩相对较为分散，因此这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差．

【答案】C 5．(2014·临沂一模)某中学高三从甲、乙两个班中各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩(满分100分)的茎叶图如图，其中甲班学生成绩的众数是85，乙班学生成绩的中位数是83，则x＋y的值为(

)

A．7

C．9

B．8

D．10 【解析】由茎叶图可知，甲班学生成绩的众数是85，所以x＝5.乙班学生成绩的中位数是83，所以y＝3，所以x＋y＝5＋3＝8. 【答案】B 6．(2013·高考陕西卷)某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1,2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481,720]的人数为(

) A．11

C．13

B．12 D．14 840【解析】抽样间隔为＝20．设在1,2，…，20中抽取号码x0(x0∈[1,20])，在[481,720]421x0x0之间抽取的号码记为20k＋x0，则481≤20k＋x0≤720，k∈N*．∴24≤k＋≤36．∵∈202020

1，1，∴k＝24,25,26，…，35，∴k值共有35－24＋1＝12(个)，即所求人数为12．

20【答案】B 7．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9．抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A，编号落入区间[451,750]的人做问卷B，其余的人做问卷C，则抽到的人中，做问卷B的人数为(

) A．7

C．10

B．9 D．15 960＝30，抽取的号码依次为32【解析】由系统抽样的特点知：抽取号码的间隔为9,39,69，…939．落入区间[451,750]的有459,489，…，729，这些数构成首项为459，公差为30的等差数列，设有n项，显然有729＝459＋(n－1)×30，解得n＝10．所以做问卷B的有10人．

【答案】C 8．(2016·衡水中学热身)将参加夏令营的600名学生编号为：001，002，…，600.采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003.这600名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为(

) A．26,16,8

C．25,16,9

B．25,17,8 D．24,17,9 【解析】依题意及系统抽样可知，将这600名学生按编号依次分成50组，每一组各有10312名学生，第k(k∈N*)组抽中的号码是3＋12(k－1)．令3＋12(k－1)≤300得k≤，因此4103第Ⅰ营区被抽中的人数是25；令300<3＋12(k－1)≤495得

【答案】B 9．(2015·沈阳监测)某高校进行自主招生，先从报名者中筛选出400人参加笔试，再按笔试成绩择优选出100人参加面试．现随机调查了24名笔试者的成绩，如下表所示：

[60,65)

[65,70)

[70,75)

分数段

2

3

4

人数

据此估计允许参加面试的分数线大约是(

) A．75 C．85

B．80 D．90 [75,80)

9

[80,85)

5

[85,90] 1 100【解析】因为参加笔试的400人中择优选出100人，故每个人被择优选出的概率P＝40011＝，因为随机调查24名笔试者，则估计能够参加面试的人数为24×＝6，观察表格可知，44

分数在[80,85)有5人，分数在[85,90)的有1人，故面试的分数线大约为80分. 【答案】B 10．(2016·冀州中学一轮检测)为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分(十分制)如图所示，假设得分值的中位数为me，众数为mo，平均值为x，则(

)

A．me＝mo＝x

C．me＜mo＜x

B．me＝mo＜x

D．mo＜me＜x

【解析】由图可知，30名学生的得分情况依次为：2个人得3分，3个人得4分，10个人得5分，6个人得6分，3个人得7分，2个人得8分，2个人得9分，2个人得10分．中位数为第15个数和第16个数(分别为5,6)的平均数，即me＝5.5,5出现次数最多，故mo＝5，x＝

2×3＋3×4＋10×5＋6×6＋3×7＋2×8＋2×9＋2×10≈5.97．于是得mo＜me＜x．

30【答案】D 11．(2016·内江模拟)某公司10个销售店某月销售某产品数量(单位：台)的茎叶图如下：

分组成[11,20)，[20,30)，[30,40]时，所作的频率分布直方图是(

)

【解析】本题考查统计．利用排除法求解．由直方图的纵坐标是频率/组距，排除C和D；又第一组的频率是02，直方图中第一组的纵坐标是002，排除A，故选B．

【答案】B 二、填空题

12．已知某商场新进3 000袋奶粉，为检查其三聚氰胺是否达标，现采用系统抽样的方法从中抽取150袋检查，若第一组抽出的号码是11，则第六十一组抽出的号码为________．

3 000【解析】每组袋数：d＝＝20，由题意知这些号码是以11为首项，20为公差的等150差数列．a61＝11＋60×20＝1 211．

【答案】1 211 13．(2014·甘肃诊断)如图是根据某赛季甲、乙两名篮球运动员参加11场比赛的得分情况画出的茎叶图．若甲运动员的中位数为a，乙运动员的众数为b，则a－b＝________.

【解析】由茎叶图可知甲运动员的中位数为a＝19，乙运动员的众数为b＝11，所以a－b＝8. 【答案】8 14．(2015·银川检测)将容量为n的样本中的数据分成6组，绘制频率分布直方图，若第一组至第六组数据的频率之比为2∶3∶4∶6∶4∶1，且前三组数据的频数之和等于27，则n＝________. 【解析】∵第一组至第六组数据的频率之比为2∶3∶4∶6∶4∶1，∴前三组频数和为2＋3＋4·n＝27，故n＝60. 20【答案】60 15．(2016·武邑中学期末)甲、乙两名射击运动员参加某大型运动会的预选赛，他们分别射击了5次，成绩如下表(单位：环)：

甲

乙

10

10

8

10

9

7

9

9

9 9 如果甲、乙两人中只有1人入选，那么入选的最佳人选应是________．

122【解析】x甲＝x乙＝9环，s甲＝[(9－10)2＋(9－8)2＋(9－9)2＋(9－9)2＋(9－9)2]＝，55162222222s2乙＝[(9－10)＋(9－10)＋(9－7)＋(9－9)＋(9－9)]＝，s甲＜s乙．

55【答案】甲

三、解答题

16．某校高一某班的某次数学测试成绩(满分为100分)的茎叶图和频率分布直方图都受

了不同程度的破坏，但可见部分如图，据此解答下列问题：

(1)求分数在[50,60]的频率及全班人数；

(2)求分数在[80,90]之间的频数，并计算频率分布直方图中[80,90]间的矩形的高．

【解析】(1)分数在[50,60]的频率为0.008×10＝0.08. 2由茎叶图知，分数在[50,60]之间的频数为2，所以全班人数为＝25. 0.08(2)分数在[80,90]之间的频数为25－2－7－10－2＝4，

4频率分布直方图中[80,90]间的矩形的高为÷10＝0.016. 2517．(2014·高考北京卷)从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间(单位：小时)的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：

(1)从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率；

(2)求频率分布直方图中的a，b的值；

(3)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组(只需写出结论)．

【解析】(1)根据频数分布表知，100名学生中一周课外阅读时间不少于12小时的学生共有6＋2＋2＝10(名)，所以样本中的学生一周课外阅读时间少于12小时的频率是110－＝0.9.故从该校随机选取一名学生，估计其该周课外阅读时间少于12小时100的概率为0.9. 频率0.17(2)课外阅读时间落在组[4,6)内的有17人，频率为0.17，所以a＝＝＝0.085. 2组距频率0.25课外阅读时间落在组[8,10)内的有25人，频率为0.25，所以b＝＝＝0.125. 2组距

(3)样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第4组．

18．(2016·枣强中学月考)某市统计局就本地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图(每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示月收入在[1000,1500)(单位：元)．

(1)估计居民月收入在[1500,2000)的概率；

(2)根据频率分布直方图估计样本数据的中位数．

【解析】(1)由题意知，居民月收入在[1500,2000)的概率约为

1－(0.0002＋0.0001＋0.0003＋0.0005×2)×500＝1－0.0016×500 ＝1－0.8＝0.2. (2)由频率分布直方图知，中位数在[2000,2500)中，设中位数为x，

则0.0002×500＋0.2＋0.0005(x－2000)＝0.5，解得x＝2400. 19．某工厂36名工人的年龄数据如下表：

工人编号

年龄

1

2

3

4

5

6

7

8

9

40 44 40 41 33 40 45 42 43

工人编号

年龄

10

11

12

13

14

15

16

17

18

36 31 38 39 43 45 39 38 36

工人编号

年龄

19

20

21

22

23

24

25

26

27

27 43 41 37 34 42 37 44 42

工人编号

年龄

28

29

30

31

32

33

34

35

36

34 39 43 38 42 53 37 49 39 (1)用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；

(2)计算(1)中样本的均值x和方差s2；

(3)36名工人中年龄在x－s与x＋s之间有多少人？所占的百分比是多少(精确到0.01 %)? 【解析】(1)由系统抽样的知识可知，36人分成9组，每组4人，其中第一组的工人年龄为44，

所以其编号为2，故所有样本数据的编号为4n－2，n＝1,2，…，9. 其数据为：44,40,36,43,36,37,44,43,37. 44＋40＋…＋37(2)x＝＝40. 9

1100由方差公式知，s2＝[(44－40)2＋(40－40)2＋…＋(37－40)2]＝. 9910010(3)因为s2＝，所以s＝∈(3,4)，

93所以36名工人中年龄在x－s和x＋s之间的人数等于在区间[37,43]内的人数，

即40,40,41，…，39，共23人．

23所以36名工人中年龄在x－s和x＋s之间的人数所占的百分比为≈63.89%. 3620．(2016·唐山统考)为了调查某校学生体质健康达标情况，现采用随机抽样的方法从该校抽取了m名学生进行体育测试．根据体育测试得到了这m名学生的各项平均成绩(满足100分)，按照以下区间分为七组：[30,40)，[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，并得到频率分布直方图(如图)．已知测试平均成绩在区间[30,60)内有20人．

(1)求m的值及中位数n；

(2)若该校学生测试平均成绩小于n，则学校应适当增加体育活动时间．根据以上抽样调查数据，该校是否需要增加体育活动时间？

【解析】(1)由频率分布直方图知第1组，第2组和第3组的频率分别是0.02,0.02和0.06，

则m×(0.02＋0.02＋0.06)＝20，解得m＝200. 由直方图可知，中位数n位于[70,80)内，

则0.02＋0.02＋0.06＋0.22＋0.04(n－70)＝0.5，解得n＝74.5. (2)设第i(i＝1,2,3,4,5,6,7)组的频率和频数分别为pi和xi，

由图知，p1＝0.02，p2＝0.02，p3＝0.06，p4＝0.22，p5＝0.40，p6＝0.18，p7＝0.10，

则由xi＝200×pi，可得x1＝4，x2＝4，x3＝12，x4＝44，x5＝80，x6＝36，x7＝20，

故该校学生测试平均成绩是x＝74<74.5，

所以学校应该适当增加体育活动时间．

35x1＋45x2＋55x3＋65x4＋75x5＋85x6＋95x7＝200