三 排序不等式ppt配套教案板书设计

3.3

排序不等式

学习目标：

了解排序不等式的基本形式；

会运用排序不等式分析解决一些简单问题；

体会运用经典不等式的一般方法. 学习重点：应用排序不等式证明不等式. 学习难点：排序不等式的证明思路.一、复习引入：

1. 提问：

前面所学习的一些经典不等式？

（柯西不等式、三角不等式）

1.柯西不等式

设a1,a2,a3,…,an,b1,b2,b3,…,bn是实数，则(a12+a22+…+an2)·(b12+b22+…+bn2)≥③

(a1b1+a2b2+…+anbn)2, 当且仅当bi=0(i=1,2,3,…,n)或存在一个数k,使得④

ai=kbi(i=1,2,3,…,n)时等号成立. 2.二维形式的三角不等式：

设x1、y1、x2、y2∈R，那么:

当且仅当x1y2=y1x2时，等号成立.

3. 三维形式的三角不等式：

设x1、y1、z1、x2、y2、z2∈R，那么:

当且仅当x1=kx2,y1=ky2,z1=kz2

时，等号成立.

二、合作探究：

探究1. 看图回答：

设AOB，自点O沿OA边依次取n个点A1,A2,,An，

OB边依次取取n个点B1,B2,,Bn，在OA边取某个点Ai与OB边某个点Bj连接，得到AOBij，这样一一搭配，一共可得到n个三角形。显然，不同的搭配方法，得到的AOBij不同，

问：OA边上的点与OB边上的点如何搭配，才能使n个三角形的面积和最大（或最小）？

1

设OAiai,OBjbj(i,j1,2, a1a2a3,n)，由已知条件，得

an,b1b2b3bn

因为AOBij的面积是 ，而 是常数，于是，上面的几何问题就可以归结为

探究2.

举例探讨：

设c1,c2,,cn是数组b1,b2,,bn的任何一个排列,

则

Sa1c1a2c2ancn 何时取最大（或最小）值？

乱序和：Sa1c1a2c2ancn anb1

anbn 反序和：S1a1bna2bn1a3bn2顺序和：S2a1b1a2b2a3b3探究3. 比较三个和大小关系，并猜想结论：

设有两个有序实数组:a1a2···an;b1b2···bn，c1,c2,···cn是b1,b2，···,bn的任一排列,则有a1b1a2b2···+anbn

a1c1a2c2+···+ancn

a1bna2bn1+···+anb1 顺序和 乱序和 反序和

当且仅当a1a2···=an或b1b2···=bn时，反序和等于同序和. 探究4.你能证明猜想的结论吗？

证明：∵a1≤a2

≤ ••• ≤ an , b1≤b2

≤ ••• ≤ bn为两组实数，c1,c2

••• ,cn是b1,b2

, ••• , bn任一个排列,且b1,b2

, ••• , bn的全排列只有n!个，

∴S=a1c1+a2c2

+ ••• +ancn ①

的不同值只有有限个(个数≤ n!)，其中必有最大值和最小值.

考虑①式，若c1≠b1,则有某ck=b1(k>1), c1>ck.

将①式中，c1、ck 对换，得：

S′=a1ck+•••+akc1

+ ••• +ancn ②

②−①得：S′−S=a1ck+akc1

−

a1c1−akck=(ak

−

a1)(c1−ck)≥0.

这说明将①式中的第一项调换为a1b1后和式不减小. 若c1=b1,则转而考察c2，并进行类似讨论..

类似地，可以证明，将①式中的第一项调换为a1b1，第二项调换为a2b2后.和式不减小. 如此继续下去，经有限步调整，可知一切和数中，最大和数所对应的情况只能是数组{ci}由小到大排序的情况，即 S≤S2.

2

同样可以证明，最小和数是反序和，即S1≤S. ∴S1≤S ≤S2. 至此我们证明了前面的猜想是正确的. 结论：定理(排序不等式或称排序原理)

设a1≤a2

≤ ••• ≤ an , b1≤b2

≤ ••• ≤ bn为两组实数，c1,c2

••• ,cn是b1,b2

, ••• , bn任一个排列,则a1bn+a2bn-1

+ ••• +anb1≤ a1c1+a2c2

+ ••• +ancn ≤a1b1+a2b2

+ ••• +anbn ，当且仅当a1=a2

=••• = an 或

b1=b2

=••• = bn时，反序和=顺序和.

三、精讲点拨：

例1 有10人各拿一只水桶去接水,设水龙头注满第i

(i1,2,

例2、设a1,a2,,an是n个互不相同的正整数，求证：

a. aa31111a122n223n23n2,10)个人的水桶需要ti分,假定这些ti各不相同,问只有一个水龙头时,应如何安排10人的顺序,使他们等候的总时间最少?这个最少的总时间等于多少?

反思：应用排序不等式的技巧在于构造两个数组，而数组的构造应从需要入手来设计.这一点应从所要证的式子的结构观察分析，再给出适当的数组.

四、当堂检测：

1.设a,b,cR,试证

12ab12c12

a10b10c10

bccaab

3

2.在ABC中,试证:aAbBcC3abc2

五、小结提升：

1、排序不等式定理：

2、排序不等式的应用。

六、课后升华：

作业：教材P45 1、2题

3、对a,b,cR，比较a3b3c3与a2bb2cc2a的大小

a2b2b2c2c2a2a2b24、a,b,cR，求证abc2c2a2bbccac2ab.

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