2.基本不等式ppt课件教学实录

基本不等式（第一课时）

授课教师：许巧娇

授课班级：高三（4）班

授课时间：2019年3月25日 星期一第4节

【教学目标】

1、知识与技能

掌握基本不等式及会应用基本不等式求最值，在使用基本不等式的过程中，要注意定理成立的条件，为能使用定理解题，要采取适当的解题技巧，配凑、拆项、构造等，创造条件应用基本不等式. 2、过程与方法 体会基本不等式的应用条件：一正二定三相等，体会应用基本不等式求最值问题的解题策略的构建过程，体会习题的变式过程. 3、情感态度与价值观. 使学生进一步了解从特殊到一般，一般到特殊的辨证思想方法.通过解题后的反思，逐步培养学生养成解题反思的习惯，通过变式练习，逐步培养学生的探索研究精神. 【教学重、难点】

1、重点：基本不等式在解决最值问题中的应用. 2、难点：应用不等式求最值的解题技巧，要注意等号失效的情况. 【学情分析与学法指导】

基本不等式是求最值的一种很重要的方法，但学生在应用过程中的“一正二定三相等”的应用条件一方面容易被忽视，另一方面某些问题看似不符合前面的三个条件但经过适当的变形又可以转化成运用基本不等式的类型，本节课力求在学生的“最近发展区”设计问题逐步启发学生，引导学生解决问题. 【教学方法】

启发式教学法，积极引导学生思考、解决问题. 【教具准备】

多媒体课件

【教学过程设计与分析】

一、

复习引入

1.基本不等式abab

2(1)基本不等式成立的条件：a0,b0

(2)等号成立的条件：当且仅当ab时取等号. 2．算术平均数与几何平均数

ab设a＞0，b＞0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为ab，基本不等式可叙述为：2两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．

3．几个重要的不等式

1a2b22aba,bR，当且仅当a=b时取等号

ab(2)aba,bR，当且仅当a=b时取等号

22

1

a2b2ab3a,bR，当且仅当a=b时取等号

22ba2(a,b同号)，当且仅当a=b时取等号

ab4．利用基本不等式求最值问题

已知x＞0，y＞0，则

24(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x=y时，x＋y有最小值是2p.(简记：积定和最小) p2(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x=y时，xy有最大值是.(简记：和定积最大)

4二、考点讲解

考点一 利用基本不等式求最值

考点二 基本不等式的实际应用

1、

一个技巧

运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a2＋b2≥2ab逆用就是ab≤a2＋b2a＋b2；a＋b2(a，b＞0)等．还要注意“添、拆≥ab(a，b＞0)逆用就是ab≤22项”技巧和公式等号成立的条件等．

2、

两个变形

a2＋b2a＋b2≥ab(a，b∈R，当且仅当a＝b时取等号)；

(1)≥22(2) a2＋b2a＋b2≥2≥ab≥21ab这两个不等式的链用处很大，注意掌握. 3、三点注意

(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是其存在前提“一正、二定、三相等”的忽视，要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．

(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．

(3)连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致. ＋1(a＞0，b＞0，当且仅当a＝b时取等号)．

三、范例讲解

1、考点一 利用基本不等式求最值

（一）积为定值，和有最值

ab2aba,b0，当且仅当a=b时取等号;

技巧一：凑项

2

例1 （1）当x>1时，fxx1的最小值为x1

1（2）当x<0时，fxx-2的最大值为x

变式训练：

51当x<时，fx4x2的最大值为44x5（二）和为定值，积有最值



ababa,bR，当且仅当a=b时取等号;

2aba,b0，当且仅当a=b时取等号;

2技巧二：凑系数

例2 ab（1）0x1,求x(1x)的最大值；

24（2）0x,求x(43x)的最大值.3

变式训练：

若正实数a,b满足2a2b23,则ab21的最大值为

（三）能力提升

技巧三：分离

例3

x2当x1时,求f(x)=的最小值.x1

变式训练：

x27x10当x1时,求f(x)=的最小值.x1

技巧四：“常数1的替换”

例4

221x0,y0,则xy的最小值为xy变式训练: 

若正数x,y满足x+3y=5xy,则3x+4y的最小值为（）

3

（四）拓展训练

例5 已知a,b>0,a+b=ab（1）求ab的最小值；（2）求a+b的最小值.

变式训练：

12若实数a,b满足,ab,则ab的最小值为（）

ab2、考点二 基本不等式的实际应用

例6为响应国家扩大内需的政策，某厂家拟在2016年举行促销活动，经调查，该产品的k年销量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用t(t0)万元满足x=4-(k为常数).2t1如果不搞促销，该产品的年销量只能是1万件.已知2016年生产该产品的固定投入为6万元，每生产1万件该产品需要在投入12万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分）（1）将该厂家2016年该产品的利润y万元表示为年促销费用t万元的函数；（2）该厂家2016年的年促销费用投入多少万元时，厂家利润最大?

方法点睛

解实际应用题要注意以下几点：①设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数；②根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值；③在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解．

四、巩固练习

1、当x0时，求f(x)=2x的最大值；2x1

2、设a,b0,ab5,则a1b3的最大值为（）3、设正实数x,y,z满足x23xy4y2z0,则当xy212

取得最大值时，的最大值为（）zxyz五、课堂小结六、作业

利用基本不等式求最值的方法

配套练习第三讲P12相应练习

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