二 综合法与分析法教学目标

不等式的证明

综合法证明不等式

111[例2]

已知a，b，c>0且互不相等，abc＝1.试证明：a＋b＋c＜a＋b＋c. [证明]

因为a，b，c＞0，且互不相等，abc＝1，

所以a＋b＋c＝

111111＋＋＋bcacab＜＋＋

222111＝a＋b＋c，

111即a＋b＋c＜a＋b＋c. [方法技巧]

综合法证明时常用的不等式

(1)a2≥0；|a|≥0. (2)a2＋b2≥2ab. a＋babab1(3)≥ab，它的变形形式有：a＋a≥2(a>0)；b＋a≥2(ab>0)；b＋a≤－2(ab<0)．

2

[例3]

(2018·福建毕业班质量检测)已知函数f(x)＝|x＋1|. (1)求不等式f(x)＜|2x＋1|－1的解集M；

(2)设a，b∈M，证明：f(ab)＞f(a)－f(－b)．

[解]

(1)由题意，|x＋1|<|2x＋1|－1，

①当x≤－1时，不等式可化为－x－1＜－2x－2，

解得x＜－1；

1②当－1＜x＜－时，

2不等式可化为x＋1＜－2x－2，

解得x＜－1，此时不等式无解；

1③当x≥－时，

2分析法证明不等式

1＋

bc1＋

ac1

ab

不等式可化为x＋1＜2x，解得x＞1. 综上，M＝{x|x＜－1或x＞1}．

(2)因为f(a)－f(－b)＝|a＋1|－|－b＋1|≤|a＋1－(－b＋1)|＝|a＋b|，

所以，要证f(ab)＞f(a)－f(－b)，

只需证|ab＋1|＞|a＋b|，

即证|ab＋1|2＞|a＋b|2，

即证a2b2＋2ab＋1＞a2＋2ab＋b2，

即证a2b2－a2－b2＋1＞0，

即证(a2－1)(b2－1)＞0. 因为a，b∈M，

所以a2＞1，b2＞1，

所以(a2－1)(b2－1)＞0成立，所以原不等式成立．

[方法技巧]

分析法的应用

当所证明的不等式不能使用比较法，且和重要不等式(a2＋b2≥2ab)、基本不等式ab≤a＋b，a>0，b>0没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来2寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆．

[全练题点]

1111.[考点三]设x≥1，y≥1，求证x＋y＋≤＋＋xy. xyxy证明：由于x≥1，y≥1，

111要证x＋y＋xy≤x＋y＋xy，

只需证xy(x＋y)＋1≤y＋x＋(xy)2. 因为[y＋x＋(xy)2]－[xy(x＋y)＋1]

＝[(xy)2－1]－[xy(x＋y)－(x＋y)]

＝(xy＋1)(xy－1)－(x＋y)(xy－1) ＝(xy－1)(xy－x－y＋1) ＝(xy－1)(x－1)(y－1)，

因为x≥1，y≥1，所以(xy－1)(x－1)(y－1)≥0，

从而所要证明的不等式成立．

2.[考点一]设不等式|2x－1|＜1的解集为M. (1)求集合M.

(2)若a，b∈M，试比较ab＋1与a＋b的大小．

解：(1)由|2x－1|＜1得－1＜2x－1＜1，

解得0＜x＜1.所以M＝{x|0＜x＜1}．

(2)由(1)和a，b∈M可知0＜a＜1,0＜b＜1，

所以(ab＋1)－(a＋b)＝(a－1)(b－1)＞0. 故ab＋1＞a＋b. 3.[考点二]已知a，b，c，d均为正数，且ad＝bc. (1)证明：若a＋d>b＋c，则|a－d|>|b－c|；

(2)t·a2＋b2c2＋d2＝a4＋c4＋b4＋d4，求实数t的取值范围．

解：(1)证明：由a＋d>b＋c，且a，b，c，d均为正数，得(a＋d)2>(b＋c)2，又ad＝bc，

所以(a－d)2>(b－c)2，即|a－d|>|b－c|. (2)因为(a2＋b2)(c2＋d2)＝a2c2＋a2d2＋b2c2＋b2d2＝a2c2＋2abcd＋b2d2＝(ac＋bd)2，所以t·a2＋b2c2＋d2＝t(ac＋bd)．

由于a4＋c4≥2ac，b4＋d4≥2bd，

又已知t·a2＋b2c2＋d2＝a4＋c4＋b4＋d4，

则t(ac＋bd)≥2(ac＋bd)，故t≥2，当且仅当a＝c，b＝d时取等号.

[全国卷5年真题集中演练——明规律]

1．(2017·全国卷Ⅱ)已知a>0，b>0，a3＋b3＝2.证明：

(1)(a＋b)(a5＋b5)≥4；

(2)a＋b≤2. 证明：(1)(a＋b)(a5＋b5)＝a6＋ab5＋a5b＋b6

＝(a3＋b3)2－2a3b3＋ab(a4＋b4) ＝4＋ab(a2－b2)2≥4. (2)因为(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3

3a＋b2＝2＋3ab(a＋b)≤2＋(a＋b) 43a＋b3＝2＋，

4所以(a＋b)3≤8，因此a＋b≤2. 11x－＋x＋，M为不等式f(x)<2的解集．

2．(2016·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝22(1)求M；

(2)证明：当a，b∈M时，|a＋b|<|1＋ab|.

11解：(1)f(x)＝1，－2

21－2x，x≤－，2

1当x≤－时，由f(x)<2得－2x<2，解得x>－1，

211当－

221当x≥时，由f(x)<2得2x<2，解得x<1，

21所以≤x<1.所以f(x)<2的解集M＝{x|－1

2(2)证明：由(1)知，当a，b∈M时，－1