本章小结教学设计一等奖

球的“内切”、“外切”的解题技巧

【方法技巧】

类型一 球的内切问题

使用情景：有关球的内切问题

解题模板：第一步 首先画出球及它的内切圆柱、圆锥等几何体，它们公共的轴截面；

第二步 然后寻找几何体与几何体之间元素的关系

第三步 得出结论. 类型二 球的外切问题

使用情景：有关球的外切问题

解题模板：第一步 首先画出球及它的外切圆柱、圆锥等几何体，它们公共的轴截面；

第二步 然后寻找几何体与几何体之间元素的关系

第三步 得出结论.

【应用举例】

【例题1】在底面半径为2，母线长为4的圆锥中内有一个高为3的圆柱．

（1）求：圆柱表面积的最大值；

（2）在（1）的条件下，求该圆柱外接球的表面积和体积．

【答案】（1）（（2）S213）；【解析】

试题分析：（1）我们可计算出圆柱的底面半径，代入圆柱表面积公式，即可得到答案；（2）求出圆柱的外接球半径，即可求该圆柱外接球的表面积和体积．

试题解析：（1）当圆柱内接与圆锥时，圆柱的表面积最大．设此时，圆柱的底面R半径为r，高为h′．圆锥的高h＝4222＝23，又∵h′＝3，∴h′＝7，V776．

1r233h．∴＝，∴r＝1．∴S2223表面积＝2S底＋S侧＝2πr＋2πrh′ ＝2π＋2π×3＝2（1＋3）π．

2（2）设圆柱的外接球半径为R，R777，S7， V 62考点：1、球内接多面体；2、球的表面积和体积．

【难度】较易

【例题2】求球与它的外切圆柱、外切等边圆锥的体积之比．

【答案】V球∶V柱∶V锥4∶6∶9．

【解析】试题分析：设球的半径为R，则外切圆柱的半径为R，高为2R；外切等边圆锥底面半径为3R,高为3R，

所以V球43R ,v柱2R3, V锥3R3

3V球：V柱：V锥4:6:9

考点：本题考查空间几何体的体积。

点评：本题的关键是由球的半径求出外切圆柱、外切等边圆锥的半径和高。考查了空间想象力。

首先画出球及它的外切圆柱、等边圆锥，它们公共的轴截面，然后寻找几何体与几何体之间元素的关系．

【难度】一般

【例题3】把四个半径都是1的球中的三个放在桌面上，使它两两外切，然后在它们上面放上第四个球，使它与前三个都相切，求第四个球的最高点与桌面的距离．

【答案】226．

3【解析】由题意，四球心组成棱长为2的正四面体的四个顶点，则正四面体的高h22(23226．而第四个球的最高点到第四个球的球心距离为求的半径1，且三个球心到桌)3326．

3面的距离都为1，故第四个球的最高点与桌面的距离为2【点评】关键在于能根据要求构造出相应的几何体，由于四个球半径相等，故四个球一定组成正四面体的四个顶点且正四面体的棱长为两球半径之和2．

考点：空间几何体的球体积和表面积. 【较易】

【例题4】正三棱锥PABC的侧棱长为l，两侧棱的夹角为2，求它的外接球的体积．

3l334sin2【答案】．

2(34sin2)【解析】解：如图，

作PD∵ OD底面ABC于D，则D为正△ABC的中心。

底面ABC，

∴P、O、D三点共线。

∵PA=PB=PC=l，∠ APB=2a ∴AB=2l22l2cos2a

=2lsina ∴AD=323AB=lsina 33设∠APD=β，作OE⊥PA于E，在Rt△APD中，

∵sinβ=AD23=sina PA3又OP=OA=R，

∴PE=11PA=l 22在Rt△POE中，

1PE2∵R=PO==

cos41sin2a3l3243l34sin2∴V球．

232(34sin)421sin33

【点评】解决与球有关的接、切问题时，一般作一个适当的截面，将问题转化为平面问题解决，这类截面通常指圆锥的轴截面、球的大圆、多面体的对角面等，在这个截面中应包括每个几何体的主要元素，且这个截面必须能反映出体和体之间的主要位置关系和数量关系．求球半径，是解本题的关键．

【难度】一般

【例题5】如图是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等．相传这个图形表达了阿基米德最引以自豪的发现．我们来重温这个伟大发现：

（1）求圆柱的体积与球的体积之比；

（2）求圆柱的表面积与球的表面积之比．

【答案】见解析

【解析】

试题分析：（1）本题关键是找出圆柱和球体中高和半径的数量关系：

即：h=2R,r=R可求出比．

（2）结合（1）中的数量关系，通过圆柱和球的表面积公式可得．

试题解析：

解：（1）设圆柱的高为h,底面半径为r,球的半径为R，由已知得h=2R,r=R.

QV圆柱V圆柱2R3343rh2R,V球R.43V球R323

23（2）QS圆柱S侧2S底2rh2r6r,S球4r.考点：球与圆柱的内切及体积和表面积的算法

【难度】一般

222S圆柱S球6r23

24r2【例题6】一个空间四边形ABCD的四条边及对角线AC的长均为2，二面角DACB的余弦值为则下列论断正确的是（ ）

A．空间四边形ABCD的四个顶点在同一球面上且此球的表面积为3 B．空间四边形ABCD的四个顶点在同一球面上且此球的表面积为4 C．空间四边形ABCD的四个顶点在同一球上且此球的表面积为33 D．不存在这样的球使得空间四边形ABCD的四个顶点在此球面上

【答案】A 【解析】

1，3

试题分析：如图，由题意，知ACABADBCCD2，cosDEB1，E为AC的中点，3EBED16222，所以BD2BE2BE2，所以BD2．因为ABCD为正四面体，所以32有外接球，且外接球的半径为323，所以球的表面积为S4()3，故选A．

22

考点：1、球的表面积；2、二面角．

【方法点睛】解决球与其他几何体的切、接问题，关键在于仔细观察、分析，弄清相关元素的关系和数量关系，选准最佳角度作出截面（要使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素之间的关系），达到空间问题平面化的目的．

【难度】较易