3.1.2 复数的几何意义第二课时教案

选修2-2

3.1.2 复数的几何意义

一、选择题

1．如果复数a＋bi(a，b∈R)在复平面内的对应点在第二象限，则(

) A．a>0，b<0

B．a>0，b>0

C．a<0，b<0

D．a<0，b>0 2．(2010·北京文，2)在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是(

) A．4＋8i

B．8＋2i

C．2＋4i

D．4＋i 23．当

) 3A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

4．复数z＝－2(sin100°－icos100°)在复平面内所对应的点Z位于(

) A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

5．若a、b∈R，则复数(a2－6a＋10)＋(－b2＋4b－5)i对应的点在(

) A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

6．设z＝(2t2＋5t－3)＋(t2＋2t＋2)i，t∈R，则以下结论中正确的是(

) A．z对应的点在第一象限

B．z一定不是纯虚数

C．z对应的点在实轴上方

D．z一定是实数

7．下列命题中假命题是(

) A．复数的模是非负实数

B．复数等于零的充要条件是它的模等于零

C．两个复数模相等是这两个复数相等的必要条件

D．复数z1>z2的充要条件是|z1|＞|z2| 8．已知复数z＝(x－1)＋(2x－1)i的模小于10，则实数x的取值范围是(

) 444A．－

B．x<2

C．x>－

D．x＝－或x＝2 5559．已知复数z1＝a＋bi(a，b∈R)，z2＝－1＋ai，若|z1|<|z2|，则实数b适合的条件是(

) A．b<－1或b>1

B．－1

C．b>1

D．b>0 →→→10．复平面内向量OA表示的复数为1＋i，将OA向右平移一个单位后得到向量O′A′，→则向量O′A′与点A′对应的复数分别为(

) A．1＋i,1＋i

B．2＋i,2＋I

C．1＋i,2＋i

D．2＋i,1＋i 二、填空题

11．如果复数z＝(m2＋m－1)＋(4m2－8m＋3)i(m∈R)对应的点在第一象限，则实数m的取值范围为________________．

12．设复数z的模为17，虚部为－8，则复数z＝________.

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13．已知z＝(1＋i)m2－(8＋i)m＋15－6i(m∈R)，若复数z对应点位于复平面上的第二象限，则m的取值范围是________．

1＋tt14．若t∈R，t≠－1，t≠0，复数z＝＋i的模的取值范围是________．

t1＋t三、解答题

15．实数m取什么值时，复平面内表示复数z＝2m＋(4－m2)i的点

(1)位于虚轴上；

(2)位于一、三象限；

(3)位于以原点为圆心，以4为半径的圆上．

16．已知z1＝x2＋x2＋1i，z2＝(x2＋a)i，对于任意的x∈R，均有|z1|>|z2|成立，试求实数a的取值范围．

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17．已知z1＝cosθ＋isin2θ，z2＝3sinθ＋icosθ，当θ为何值时

(1)z1＝z2；

(2)z1，z2对应点关于x轴对称；

(3)|z2|<2.

1318．已知复数z1＝3－i及z2＝－＋i. 22(1)求|z1|及|z2|的值并比较大小；

(2)设z∈C，满足条件|z2|≤|z|≤|z1|的点Z的轨迹是什么图形？

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1.[答案]

D[解析]

复数z＝a＋bi在复平面内的对应点坐标为(a，b)，该点在第二象限，需a<0且b>0，故应选D. 6－22.[答案]

C[解析]

由题意知A(6,5)，B(－2,3)，AB中点C(x，y)，则x＝＝2，

25＋3y＝＝4，∴点C对应的复数为2＋4i，故选C. 223.[答案]

D[解析]

∵＜m＜1，∴3m－2>0，m－1＜0，∴点(3m－2，m－1)在第四象限．

34.[答案]

C [解析]

z＝－2sin100°＋2icos100°.∵－2sin100°<0,2cos100°<0，

∴Z点在第三象限．故应选C. 5.[答案]

D[解析]

a2－6a＋10＝(a－3)2＋1>0，－b2＋4b－5＝－(b－2)2－1<0.所以对应点在第四象限，故应选D. 6.[答案]

C[解析]

∵2t2＋5t－3＝(t＋3)(2t－1)的值可正、可负、可为0，t2＋2t＋2＝(t＋1)2＋1≥1，∴排除A、B、D，选C. 7.[答案]

D[解析]

①任意复数z＝a＋bi(a、b∈R)的模|z|＝a2＋b2≥0总成立．∴A正确；

a＝0②由复数相等的条件z＝0⇔.⇔|z|＝0，故B正确；

b＝0

③若z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i(a1、b1、a2、b2∈R) 若z1＝z2，则有a1＝a2，b1＝b2，∴|z1|＝|z2| 反之由|z1|＝|z2|，推不出z1＝z2，

如z1＝1＋3i，z2＝1－3i时|z1|＝|z2|，故C正确；

④不全为零的两个复数不能比较大小，但任意两个复数的模总能比较大小，∴D错．

48.[答案]

A[解析]

由题意知(x－1)2＋(2x－1)2<10，解之得－

B[解析]

由|z1|<|z2|得a2＋b2

C[解析]

由题意O′A′＝OA，对应复数为1＋i，点A′对应复数为1＋(1＋i)＝2＋i. －1－5311.[答案]

－∞，∪2，＋∞[解析]

复数z对应的点在第一象限

22m＋m－1>0－1－53需2解得：m<或m>. 224m－8m＋3>0

12.[答案]

±15－8i[解析]

设复数z＝a－8i，由a2＋82＝17，

∴a2＝225，a＝±15，z＝±15－8i. 13.[答案]

3

将复数z变形为z＝(m2－8m＋15)＋(m2－m－6)i ∵复数z对应点位于复平面上的第二象限

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2m－8m＋15<0∴2解得30

t1＋t2t1＋t14.[答案]

[2，＋∞)[解析]

|z|2＝1＋t2＋t≥21＋t·t＝2.∴|z|≥2. 15.[解析]

(1)若复平面内对应点位于虚轴上，则2m＝0，即m＝0. (2)若复平面内对应点位于一、三象限，则2m(4－m2)>0，解得m<－2或0

则4m2＋(4－m2)2＝4 即m4－4m2＝0，解得m＝0或m＝±2. 16.[解析]

|z1|＝x4＋x2＋1，|z2|＝|x2＋a| 因为|z1|>|z2|，所以x4＋x2＋1>|x2＋a|⇔x4＋x2＋1>(x2＋a)2⇔(1－2a)x2＋(1－a2)>0恒成1－2a>01立．不等式等价于1－2a＝0或解得－1

22Δ＝－4(1－2a)(1－a)<0

tanθ＝3cosθ＝3sinθπ317.所以[解析]

(1)z1＝z2⇔⇒⇒θ＝2kπ＋(k∈Z)．

6sin2θ＝cosθ2sinθcosθ＝cosθ

πθ＝kπ＋6(k∈Z)cosθ＝3sinθ(2)z1与z2对应点关于x轴对称⇒⇒

sin2θ＝－cosθ2sinθcosθ＝－cosθ

7⇒θ＝2kπ＋π(k∈Z)．

61(3)|z2|<2⇒(3sinθ)2＋cos2θ<2⇒3sin2θ＋cos2θ<2⇒sin2θ<

21ππ－1，. ⇒kπ－<θ

(1)|z1|＝|3＋i|＝(3)2＋12＝2

|z2|＝－－i＝1.∴|z1|＞|z2|. 22(2)由|z2|≤|z|≤|z1|，得1≤|z|≤2.因为|z|≥1表示圆|z|＝1外部所有点组成的集合．

|z|≤2表示圆|z|＝2内部所有点组成的集合，

∴1≤|z|≤2表示如图所示的圆环．

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