3.三个正数的算术-几何平均不等式ppt配用优秀教学设计

1．1.3 三个正数的算术—几何平均不等式

东莞市厚街中学罗佑纯

学习目标

1．会用三项的平均值不等式证明一些简单问题．

2．能够利用三项的平均值不等式求一些特定函数的最值，从而学会解决简单的应用问题．

预习导学

1．三个正数的算术—几何平均不等式．

(1)如果a1，a2，a3∈R，则个正数的________．

答案: 几何平均数

(2)三个正数基本不等式：＋a1＋a2＋a333叫做这3个正数的算术平均数，a1a2a3叫做这三a1＋a2＋a333≥a1a2a3.当且仅当a1＝a2＝a3时，等号成立．

语言表述：三个正数的________平均数不小于它们的________平均数．

答案: 算术

几何

思考1 若已知a1＝3，a2＝9，a3＝27，则a1＋a2＋a333＝________，a1a2a3＝________．

则有：a1＋a2＋a333________a1a2a3. 答案: 13 9 >

2．n个正数的算术—几何平均不等式．

(1)如果a1，a2，…，an∈R，n＞1且n∈N，则平均数，a1a2…an叫做这n个正数的________．

答案: 几何平均数

(2)基本不等式：＋*a1＋a2＋…＋an叫做这n个正数的算术nna1＋a2＋…＋ann*＋≥a1a2…an(n∈N，ai∈R，1≤i≤n)．当且仅当a1＝na2＝…＝an时等号成立．

语言表述：n个正数的________平均数不小于它们的________平均数．

答案: 算术

几何

xxx27思考2 若x＞0，则＋＋＋3______4. 333x答案: ≥

"

分层演练

一层练习

121．函数y＝x(1－5x)0≤x≤的最大值是(

) 5245A．4 B. C. D.

156752答案: C

92．若x>0，则4x＋2的最小值是(

) x3A．9 B．336 C．13 D．不存在

答案: B

＋3．已知a.b.c∈R，则＋＋＋＋≥________．

bcaabc答案: 9

＋24．设a，b∈R，且a＋b＝3，则ab的最大值是________．

答案: 4

abcbca

二层练习

5．若实数x，y满足xy＞0，且xy＝2，则xy＋x的最小值是(

) A．1 B．2 C．3 D．4 答案: C

126．设a＞b＞0，则a＋＋A．1 B．2 C．3 D．4 12解析：把a＋＋111变形为ab＋＋a(a－b)＋，即可利用三个正数aba（a－b）aba（a－b）1的最小值是(

) aba（a－b）2212的算术—几何平均不等式求其最小值．∵a＞b＞0，∴a＋＋ab112＝a－ab＋ab＋＋a（a－b）ab111＝ab＋＋a(a＋b)＋≥2＋2＝4，当且仅当

a（a－b）aba（a＋b）ab＝1，2即a＝2，b－时，取“＝”号．故选D. 2a（a－b）＝1，

"

7．若数列{an}的通项公式是an＝A．第4项 B．第6项

C．第7项 D．第8项

解析：an＝＝n＋1283n3n＋128，则该数列中的最大项是(

) n11＝

1286464n2＋n2＋＋nnn36464646464∵n＋＋≥3n2××＝48，当且仅当n2＝，即n＝4时，等号成立，∴an2nnnnn1≤，该数列的最大项是第4项．故选A. 48答案：A

48．求函数y＝3x＋2(x>0)的最值是________．

x解析：∵x>0，

333x3x43x3x43x3x4293∴y＝3x＋2＝＋＋2≥3××2＝39.当且仅当＝＝2，即x＝时x22x22x22x34取符号．

3293∴当x＝时，函数y的最小值为39. 3

29．已知正数a，b满足ab＝1，则a＋b的最小值是________．

2解析：因为a，b是正数，ab＝1，

3ab233所以a＋b＝a＋＋≥3＝2. 2242bb33故a＋b的最小值是2，

2ab＝1，a＝32，2当且仅当b即时取到最小值．

a＝，2321b＝2

10．已知a，b，c为正数，求证：

222(a＋b＋c)(a＋b＋c)≥9abc. 证明：∵a，b，c为正数，

33222222∴a＋b＋c≥3abc，a＋b＋c≥3abc

"

332223222222∴(a＋b＋c)(a＋b＋c)≥3abc×3abc＝9abc×abc. ∴(a＋b＋c)(a＋b＋c)≥9abc，

当且仅当a＝b＝c时等号成立．

三层练习

11．θ为锐角，则y＝sin θ·cosθ的最大值是________________________________________________________________________．

22分析：本题的目标函数为积结构，故应创设各因子和为定值，要特别注意sinθ＋cosθ＝1的应用．

2222解析：∵y＝sinθcosθcosθ 1222

＝×2sinθ(1－sinθ)·(1－sinθ) 21234

≤()＝. 2327当且仅当2sinθ＝1－sinθ，即sin θ＝23∴ymax＝. 9

14xx4＋12．已知x∈R，有不等式x＋≥2，x＋2＝＋＋2≥3，…，受此启发，可以推广为xx22x2222223时取等号．

3ax

＋n≥n＋1，则a＝________．

xn＋1xnaaxxxan解析：∵x＋n＝＋…＋,\s\do4(n个))＋n≥(n＋1)×n×n＝n＋1，∴a＝n. xnnnxnx答案：n

n11113．已知a，b，c均为正数，证明：a＋b＋c＋＋＋≥63，并确定a，b，cabc2222为何值时，等号成立．

证明：因为a，b，c均为正数，由均值不等式得

2a＋b＋c≥3(abc)3，①

2221111＋＋≥3(abc)－，

abc32111所以＋＋≥9(abc)－.②

3abc2"

2111故a＋b＋c＋＋＋≥3(abc)3＋9(abc)－. 3abc2222222又3(abc)3＋9(abc)－≥227＝63，③

3所以原不等式成立．

当且仅当a＝b＝c时，①式和②式等号成立．

22当且仅当3(abc)3＝9(abc)－时，③式等号成立．

31故当且仅当a＝b＝c＝34时，原不等式等号成立．

14．请你设计一个帐篷，它下部的形状是高为1 m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3 m的正六棱锥(如下图所示)．试问当帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为多少时，帐篷的体积最大为多少？

分析：利用正六棱锥的体积公式列关系式，然后利用算术－几何平均不等式求最值，也可求导求最值．

解析：设OO1为x m，则1＜x＜4.由题设可得正六棱锥底面边长为3－（x－1）＝8＋2x－x，于是底面正六边形的面积为6×的体积为

222333222×(8＋2x－x)＝(8＋2x－x)，帐篷42V(x)＝333312(8＋2x－x)·（x－1）＋1

＝(4－x)(x＋2)(x＋2) ＝(8－2x)(x22433（8－2x）＋（x＋2）＋（x＋2）33＋2)(x＋2) ≤

＝×64 ＝163. 344当且仅当8－2x＝x＋2，即x＝2时取等号．

故当帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为2 m时帐篷的体积最大，其值为163 m.

2"

方法小结

1．三个正数或三个以上正数的不等式的应用条件．

(1)“一正”：不论是三个数的或者n个数的算术—几何平均不等式，都要求是正数，3否则不等式是不成立的，如a＋b＋c≥3abc，取a＝b＝－2，c＝2时a＋b＋c＝－2，而33abc＝6，显然－2≥6不成立．

(2)“二定”：包含两类求最值问题：一是已知n个正数的和为定值(即a1＋a2＋…＋an为定值)，求其积a1·a2·…·an的最大值；二是已知积a1·a2·…·an为定值，求其和a1＋a2＋…＋an的最小值．

(3)“三相等”：取“＝”的条件是a1＝a2＝…＝an，不能只是一部分相等．

223332．重要不等式a＋b≥2ab与a＋b＋c≥3abc的运用条件不一样，前者a，b∈R，后＋者a，b，c∈R，要注意区别．

3．注意算术—几何平均不等式中的变形与拼凑方法．

"