三 反证法与放缩法教学设计第二课时

三

反证法与放缩法

1．掌握用反证法证明不等式的方法．(重点) 2．了解放缩法证明不等式的原理，并会用其证明不等式．(难点、易错易混点)

[基础·初探] 教材整理1

反证法

阅读教材P26～P27“例2”及以上部分，完成下列问题．

先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，我们把这种证明问题的方法称为反证法．

如果两个正整数之积为偶数，则这两个数(

) A．两个都是偶数

B．一个是奇数，一个是偶数

C．至少一个是偶数

D．恰有一个是偶数

【解析】

假设这两个数都是奇数，则这两个数的积也是奇数，这与已知矛盾，所以这两个数至少有一个为偶数．

【答案】

C 教材整理2

放缩法

阅读教材P28～P29“习题”以上部分，完成下列问题．

证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，

从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法．

若|a－c|＜h，|b－c|＜h，则下列不等式一定成立的是(

)

【导学号：32750039】

A．|a－b|＜2h

C．|a－b|＜h

B．|a－b|＞2h

D.|a－b|＞h

【解析】

|a－b|＝|(a－c)－(b－c)|≤|a－c|＋|b－c|＜2h.

【答案】

A [质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：

疑问1：

解惑：

疑问2：

解惑：

疑问3：

解惑：

[小组合作型] 利用反证法证“至多”“至少”型命题

已知f(x)＝x2＋px＋q，求证：

(1)f(1)＋f(3)－2f(2)＝2；

1(2)|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于2. 【精彩点拨】

(1)把f(1)，f(2)，f(3)代入函数f(x)求值推算可得结论．

(2)假设结论不成立，推出矛盾，得结论．

【自主解答】

(1)由于f(x)＝x2＋px＋q，

∴f(1)＋f(3)－2f(2)

＝(1＋p＋q)＋(9＋3p＋q)－2(4＋2p＋q)＝2.

1(2)假设|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|都小于2，则有|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|＜2.(*)

又|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|

≥f(1)＋f(3)－2f(2)

＝(1＋p＋q)＋(9＋3p＋q)－(8＋4p＋2q)＝2，

∴|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|≥2与(*)矛盾，∴假设不成立．

1故|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于2.

1．在证明中含有“至多”“至少”等字眼时，常使用反证法证明．在证明中出现自相矛盾，说明假设不成立．

2．在用反证法证明的过程中，由于作出了与结论相反的假设，相当于增加了题设条件，因此在证明过程中必须使用这个增加的条件，否则将无法推出矛盾．

[再练一题] 1．已知实数a，b，c，d满足a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd＞1.求证：a，b，c，d中至多有三个是非负数．

【证明】

a，b，c，d中至多有三个是非负数，即至少有一个是负数，故有假设a，b，c，d都是非负数．

即a≥0，b≥0，c≥0，d≥0，

则1＝(a＋b)(c＋d)＝(ac＋bd)＋(ad＋bc)≥ac＋bd.

这与已知中ac＋bd＞1矛盾，

∴原假设错误，

故a，b，c，d中至少有一个是负数．

即a，b，c，d中至多有三个是非负数. 利用放缩法证明不等式

1113

已知an＝2n2，n∈N*，求证：对一切正整数n，有a＋a＋…＋a＜2. 12n【精彩点拨】

针对不等式的特点，对其通项进行放缩、列项．

【自主解答】

∵当n≥2时，an＝2n2＞2n(n－1)，

11∴a＝2n2＜n111＝2·

2nn－1nn－1111－＝2n－1n，

1111111∴a＋a＋…＋a＜1＋2＋＋…＋

1×22×3nn－112n111111＝1＋21－2＋2－3＋…＋n－1－n

13131＝1＋21－n＝2－2n＜2，

1113即a＋a＋…＋a＜2. 12n

1．放缩法在不等式的证明中无处不在，主要是根据不等式的传递性进行变换．

2．放缩法技巧性较强，放大或缩小时注意要适当，必须目标明确，合情合理，恰到好处，且不可放缩过大或过小，否则，会出现错误结论，达不到预期目的，谨慎地添或减是放缩法的基本策略．

[再练一题] 11112．求证：1＋22＋32＋…＋n2＜2－n(n≥2，n∈N＋)．

【证明】

∵k2＞k(k－1)，

1∴k2＜111＝－k(k∈N＋，且k≥2)．

kk－1k－1分别令k＝2,3，…，n得

1111111＝1－，2＜2＜21·2232·3＝2－3，…，

1111＝－2＜nnn－1n－1n.

111因此1＋22＋32＋…＋n2

11111＜1＋1－2＋2－3＋…＋n－1－n



11＝1＋1－n＝2－n.

1111故不等式1＋22＋32＋…＋n2＜2－n(n≥2，n∈N＋)．

[探究共研型] 利用反证法证明不等式

探究1

反证法的一般步骤是什么？

【提示】

证明的步骤是：(1)作出否定结论的假设；(2)从否定结论进行推理，导出矛盾；(3)否定假设，肯定结论．

探究2

反证法证题时常见数学语言的否定形式是怎样的？

【提示】

常见的涉及反证法的文字语言及其相对应的否定假设有：

常见词语

否定假设

至少有一个

一个也没有

至多有一个

有两个或两个以上

唯一一个

没有或有两个或两个以上

是

不是

有或存在

不存在

全

不全

都是

不都是

已知△ABC的三边长a，b，c的倒数成等差数列，求证：∠B＜90°. 211【精彩点拨】

本题中的条件是三边间的关系b＝a＋c，而要证明的是∠B与90°的大小关系．结论与条件之间的关系不明显，考虑用反证法证明．

211【自主解答】

∵a，b，c的倒数成等差数列，∴b＝a＋c.假设∠B＜90°不成立，即∠B≥90°，则∠B是三角形的最大内角，在三角形中，有大角对大边，

∴b＞a＞0，b＞c＞0，

1111211∴b＜a，b＜c，∴b＜a＋c，

211这与b＝a＋c相矛盾．

∴假设不成立，故∠B＜90°成立．

1．本题中从否定结论进行推理，即把结论的反面“∠B≥90°”作为条件进行推证是关键．要注意否定方法，“＞”否定为“≤”，“＜”否定为“≥”等．

2．利用反证法证题的关键是利用假设和条件通过正确推理，推出和已知条件或定理事实或假设相矛盾的结论．

[再练一题] 3．若a3＋b3＝2，求证：a＋b≤2.

【导学号：32750040】

【证明】

法一

假设a＋b>2，

1232a－ab＋b＝a－2b＋4b≥0，

22故取等号的条件为a＝b＝0，显然不成立，

∴a2－ab＋b2>0.

则a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)>2(a2－ab＋b2)，

而a3＋b3＝2，故a2－ab＋b2<1，

∴1＋ab>a2＋b2≥2ab，从而ab<1，

∴a2＋b2<1＋ab<2，

∴(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab<2＋2ab<4，

∴a＋b<2.

这与假设矛盾，故a＋b≤2.

法二

假设a＋b>2，则a>2－b，

故2＝a3＋b3>(2－b)3＋b3，

即2>8－12b＋6b2，即(b－1)2<0，

这显然不成立，从而a＋b≤2.

法三

假设a＋b>2，则(a＋b)3＝a3＋b3＋3ab(a＋b)>8.

由a3＋b3＝2，得3ab(a＋b)>6，故ab(a＋b)>2.

又a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)＝2，

∴ab(a＋b)>(a＋b)(a2－ab＋b2)，

∴a2－ab＋b2

这显然不成立，故a＋b≤2. [构建·体系]

—反证法与放缩法的定义—反证法的一般步骤反证法与放缩法——证明不等式—放缩的技巧

1．实数a，b，c不全为0的等价条件为(

) A．a，b，c均不为0 B．a，b，c中至多有一个为0 C．a，b，c中至少有一个为0 D．a，b，c中至少有一个不为0 【解析】

实数a，b，c不全为0的含义即a，b，c中至少有一个不为0，其否定则是a，b，c全为0，故选D.

【答案】

D 2．已知a＋b＋c＞0，ab＋bc＋ac＞0，abc＞0，用反证法求证a＞0，b＞0，c＞0时的假设为(

) A．a＜0，b＜0，c＜0 C．a，b，c不全是正数

B．a≤0，b＞0，c＞0 D.abc＜0 【解析】

a＞0，b＞0，c＞0的反面是a，b，c不全是正数，故选C.

【答案】

C 3．要证明3＋7＜25，下列证明方法中，最为合理的是(

) A．综合法

C．分析法

B．放缩法

D.反证法

【解析】

由分析法的证明过程可知选C.

【答案】

C 4．A＝1＋111＋＋…＋与n(n∈N＋)的大小关系是________.

23n【导学号：32750041】

1111【解析】

A＝1＋2＋3＋…＋n≥n＝n＝n.

【答案】

A≥n

1＋x1＋y5．若x，y都是正实数，且x＋y>2.求证：y<2和x<2中至少有一个成立．

【证明】

假设1＋x1＋y<2和<2都不成立，

yx1＋x1＋y则有y≥2和x≥2同时成立，因为x>0且y>0，所以1＋x≥2y，且1＋y≥2x，

两式相加，

得2＋x＋y≥2x＋2y，

所以x＋y≤2，

1＋x1＋y这与已知条件x＋y>2矛盾，因此y<2和x<2中至少有一个成立．

我还有这些不足：

(1)

(2)

我的课下提升方案：

(1)

(2)