一 比较法教案教学设计

不等式的证明（比较法）

教学目标：

（1）以不等式的等价命题为依据，揭示不等式的常用证明方法之一——比较法，要求学生能教熟练地运用作差比较法证明不等式。

（2）了解作商比较法证明不等式；

能应用比较法解决一些不等式的证明问题，提高学生解题时应变能力

培养学生的发散思维及分析能力，逻辑推理能力；

借用哥德巴赫猜想，鼓励学生大胆猜想，培养学生“先猜后证”的研究意识和方法。

教学重点s:

比较法的应用

教学难点: 常见解题技巧

教学方式:

启发引导式

教学过程设计:

一、复习：

a2b2ab

1．ab2ab222abab2ab2a2b2ab2abab()ab且有ab()

2222例：x>0,求5x(5-x)的最大值.

(强调成立条件)

2．不等式的一个等价命题，a>b等价于a-b>0

二、新课：

1、证明不等式批证明所缎带不等式在给条件下恒成立，而前面所学的：不等式性质，5个定理3个推论，均值不等式，均可用来证明不等式

2、作差比较法的步骤：作差——变形——判断——结论

例1：求证：x2 + 3 > 3x

证：∵(x2 + 3)  3x = x3x()()3(x)

∴x2 + 3 > 3x

例2：已知a, b, m都是正数，并且a < b，求证：232232232230

4ama

bmb第

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证：amab(am)a(bm)m(ba)

bmbb(bm)b(bm)∵a,b,m都是正数，并且a 0 ,

b



a > 0 ∴amam(ba)

0

即：bmbb(bm)

变式：若a > b，结果会怎样？若没有“a < b”这个条件，应如何判断？

----------------------------------------------------------(鼓励学生大胆进行猜想)

例2

可得结论：

真分数分子分母增大，分数值增大

假分数分子分母增大，分数值减小



插入介绍哥德巴赫猜想：每个大于等于6的偶数，都可表示为两个奇素数之和；每个大于等于9的奇数，都可表示为三个奇素数之和。-见教案后材料。

当科学家们专心地进行某些研究时，往往会有一些奇异的想法出现，这些想法，也就是科学家们的猜想，正是这些奇怪的有趣的猜想，吸引着科学家们浓厚的兴趣，去探索科学，数学，宇宙和大自然的无数奥秘。许多的猜想在接下来得到了证明和证实，成为一个个的定理，成为一个个继续研究和继续探索科学的工具。而有的，却至今未能得到证明，成为科学家们想攻克的目标。

由此可见，1)猜想，往往比去证明它更重要。没有猜想，就没有探索的目标和攻克的方向；2)科学家们探索世界的方法，往往也就是“先猜后证”，那为什么大家就不能先大胆进行猜想呢？只要这个猜想是不能被否认的，是有价值的，他就会得到重视，并吸引着众多科学家的目光。

那时，说不准我们之间的很多同学，都会首先因此而有了著名的猜想。所以，大家再学习和研究数学的过程中，在掌握现有知识的基础上，可以大胆地进行联系和猜想，即便不对也没关系，因为，是猜想，就允许错误，只要接下来去证明就好了。

例3：已知a, b都是正数，并且a



b，求证：a5 + b5 > a2b3 + a3b2

证：(a5 + b5 )  (a2b3 + a3b2) = ( a5



a3b2) + (b5



a2b3 )

= a3 (a2



b2 ) 

b3 (a2



b2) = (a2



b2 ) (a3



b3) = (a + b)(a



b)2(a2 + ab + b2) ∵a, b都是正数，∴a + b, a2 + ab + b2 > 0 又∵a



b，∴(a



b)2 > 0

∴(a + b)(a



b)2(a2 + ab + b2) > 0 即：a5 + b5 > a2b3 + a3b2



受上题启发，同学们能不能猜想出下面的不等式：

．．第

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条件

ab>0

3、作商法

结论

a2 + b2 > 填空，以下

为答案

ab + ab

a3 + b3 >

ab2 + a2b

a4 + b4 >

ab3 + a3b

a5 + b5 >

a2b2 + a2b2

ab4 + a4b

a2b3 + a3b2 a2b4 + a4b2

a3b3 + a3b3

223322ab + ab> ab + ab

继续猜想得．．442332 ab + ab> ab + ab继续猜想得．．a6 + b6 >

ab5 + a5b

2455423333ab + ab> ab + ab> ab + ab

继续猜想得．．例：设a, b

 R+，求证：ab(ab)

证：作商：abab2ba2abba

aabb(ab)ab2aab2ba()bab2

a当a = b时，()bab21

aba0,()2bab2a

当a > b > 0时，1,b1

ab2a

当b > a > 0时，

01,b∴ab(ab)abab2aba0,()2b1

（其余部分布置作业）

作商法步骤与作差法同，不过前提是正数之间比较，且最后是与1比较。

三、1、书P14练习1-5

2、小结：作差比较中变形是关键，为利于判断符号，一般将变形为“含平方和，含平方式，分式，或积的形式。

3、作业：P16 习题1-3

四、板书设计(略) 第

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五、教学后记：

因进行规律提示及扩展，对大家进行数学思想“先猜后证”的方法意识培养，故本节课所余练习时间短，应注意考虑。

自我建议：必要时将作商法移至下一节课。

附：

哥德巴赫猜想

我们容易得出：

4=2+2， 6＝3+3,8＝5+3,

10=7+3,12=7+5,14=11+3,……

那么，是不是所有的大于2的偶数，都可以表示为两个素数的呢？

这个问题是德国数学家哥德巴赫（C Goldbach，1690-1764）于1742年6月7日在给大数学家欧拉的信中提出的，所以被称作哥德巴赫猜想。同年6月30日，欧拉在回信中认为这个猜想可能是真的，但他无法证明。现在，哥德巴赫猜想的一般提法是：每个大于等于6的偶数，都可表示为两个奇素数之和；每个大于等于9的奇数，都可表示为三个奇素数之和。其实，后一个命题就是前一个命题的推论。

哥德巴赫猜想貌似简单，要证明它却着实不易，成为数学中一个著名的难题。18、19世纪，所有的数论专家对这个猜想的证明都没有作出实质性的推进，直到20世纪才有所突破。1937年苏联数学家维诺格拉多夫（и

M Bиногралов,1891-1983），用他创造的"三角和"方法，证明了"任何大奇数都可表示为三个素数之和"。不过，维诺格拉多夫的所谓大奇数要求大得出奇，与哥德巴赫猜想的要求仍相距甚远。

直接证明哥德巴赫猜想不行，人们采取了迂回战术，就是先考虑把偶数表为两数之和，而每一个数又是若干素数之积。如果把命题"每一个大偶数可以表示成为一个素因子个数不超过a个的数与另一个素因子不超过b个的数之和"记作"a＋b"，那么哥氏猜想就是要证明"1＋1"成立。从20世纪20年代起，外国和中国的一些数学家先后证明了"9+9""2十3""1＋5""l＋4"等命题。

1966年，我国年轻的数学家陈景润，在经过多年潜心研究之后，成功地证明了"1＋2"，也就是"任何一个大偶数都可以表示成一个素数与另一个素因子不超过2个的数之和"。这是迄今为止，这一研究领域最佳的成果，距摘取这颗"数学王冠上的明珠"仅一步之遥，在世界数学界引起了轰动。"1＋2"也被誉为陈氏定理。

摘自《趣味数学辞典》

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