1.3 二项式定理（通用）教学设计模板

二项式定理公开课教案

1、重点：二项式定理的发现、理解和初步应用。

2、难点：二项式定理的发现。

三、教学过程

1、情景设置

问题1：若今天是星期一，再过30天后是星期几？怎么算？

预期回答：星期三，将问题转化为求“30被7除后算余数”是多少。

问题2：若今天是星期一，再过8n(nN)天后是星期几？怎么算？

预期回答：将问题转化为求“8n(71)n被7除后算余数”是多少，也就是研究(ab)n(nN)的展开式是什么？这就是本节课要学的内容，学完本课后，此题就不难求解了。

2、新授

第一步：让学生展开

(ab)1ab

(ab)2a22abb2；

(ab)3(ab)2(ab)a33a2b3ab2b3；

(ab)4(ab)3(ab)a44a3b6a2b24ab3b4

(ab)5(ab)5(ab)a55a4b10a3b210a2b35ab4b5

教师将以上各展开式的系数整理成如下模型

1

1

1

2

1

1

3

3

1

1

4

6

4

1

1

5

10

10

5

1 问题1：请你找出以上数据上下行之间的规律。

预期回答：下一行中间的各个数分别等于上一行对应位置的相邻两数之和。

问题2：以(ab)的展开式为例，说出各项字母排列的规律；项数与乘方指数的关系；展开式第二项的系数与乘方指数的关系。

预期回答：①展开式每一项的次数按某一字母降幂排列、另一字母升幂排列，且两个字母的和等于乘方指数；②展开式的项数比乘方指数多1项；③展开式中第二项的系数等于乘方指数。

- 1 - 5

初步归纳出下式：

(ab)nanan1ban2b2an3b3bn

（※）

（设计意图：以上呈现给学生的由系数排成的“三角形”，起到了“先行组织者”的作用，虽然，教师将此“三角形”模型以定论的形式呈现给学生，但是，它毕竟不是最后的结果，而是一种寻找系数规律的有效工具，便于学生将新的学习材料同自己原有的认知结构联系起来，并纳入到原有认知结构中而出现意义。这样的学习是有意义的而不是机械的，是主动建构的而不是被动死记的心理过程。）

练习：展开(ab)7

教师作阶段性评价，告诉学生以上的系数表是我国宋代数学家杨辉的杰作，称为杨辉三角形，这项发明比欧洲人帕斯卡三角早400多年。你们今天做了与杨辉同样的探索，以鼓励学生探究的热情，并激发作为一名文明古国的后代的民族自豪感和爱国热情。

第二步：继续设疑

如何展开(ab)的方法的欲望。）

继续新授

师：为了寻找规律，我们将(ab)4(ab)(ab)(ab)(ab)中第一个括号中的字母分别记成a1,b1；第二个括号中的字母分别记成a2,b2；依次类推。请再次用多项式乘法运算法则计算：

100以及(ab)(nN)呢？

n（设计意图：让学生感到仅掌握杨辉三角形是不够的，激发学生继续学习新的更简捷(ab)4(a1b1)(a2b2)(a3b3)(a4b4)

a1a2a3a4

………a4

a1a2a3b4a1a2a4b3a1a3a4b2a2a3a4b1

………a3b

a1a2b3b4a1a3b2b4a1a4b2b3a2a3b1b4a2a4b1b3a3a4b1b2

………a2b2

a1b2b3b4a2b1b3b4a3b1b2b4a4b1b2b3

………ab3

b1b2b3b4

………b4

（设计意图：上述呈现内容是为了搭建“认知桥梁”，用以激活学生认知结构中已有的知识与经验，便于学生进行类比学习，用已有的知识与经验同化当前学习的新知识，并迁移到陌生的情境之中。）

问题1：以ab项为例，有几种情况相乘均可得到ab项？这里的字母a,b各来自哪个括号？

问题2：既然以上的字母a,b分别来自4个不同的括号，ab项的系数你能用组合数来表示吗？

- 2 - 222222

问题3：你能将问题2所述的意思改编成一个排列组合的命题吗？

（预期答案：

有4个括号，每个括号中有两个字母，一个是a、一个是b。每个括号只能取一个字母，任取两个a、两个b，然后相乘，问不同的取法有几种？）

问题4：请用类比的方法，求出二项展开式中的其它各项系数，并将式子：

(ab)4(ab)(ab)(ab)(ab)a4a3ba2b2ab3b4

括号中的系数全部用组合数的形式进行填写。

呈现二项式定理——板书课题：

0n1n12n22rnrrnn(ab)nCnaCnabCnabCnabCnb(nN)。

3、深化认识

请学生总结：

①二项式定理展开式的系数、指数、项数的特点是什么？

②二项式定理展开式的结构特征是什么？哪一项最具有代表性？

由此，学生得出二项式定理、二项展开式、二项式系数、项的系数、二项展开式的通项等概念，这是本课的重点。

（设计意图：教师用边讲边问的形式，通过让学生自己总结、发现规律，挖掘学习材料潜在的意义，从而使学习成为有意义的学习。）

4、巩固应用

【例1】展开①(11416)

②(2x)

xx7【例2】①求(12x)的展开式的第4项的系数及第4项的二项式系数。

②求(x19)的展开式中含x3项的系数。

x变式：在二项式定理中，令a1,bx，得到怎样的公式？

122rrnn(1x)n1CnxCnxCnxCnx

012rn思考：CnCnCnCnCn?为什么？

- 3 -

12rn

CnCnCnCn?

0n1n1n1n【例3】解决起始问题：8n(71)nCn，

7Cn7Cn7Cnn前面是7的倍数，因此余数为Cn1，故应该为星期二。

说明：解决某些整除性问题是二项式定理又一方面应用。

四、课堂小结

①本节课我们主要学习了二项式的展开，有两种方法，一是杨辉三角形，二是二项式定理，两种方法各有千秋。

②二项式定理的表达式以及展开式的通项，

③要正确区别“项的系数”和“二项式系数”，

④将二项式定理中的字母赋上适当的值，就可以求一些特殊的组合多项式的值。

二项式定理

由多项式乘法法则得(a+b)2的展开式：

(a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+2ab+b2；

从上述过程中可以发现，(a+b)n是n个(a+b)相乘，根据多项式乘法法则，每个(a+b)相乘时有两个选择，选a或选b，而且每个(a+b)中的a或b选定后，才能得到展开式的一项，由分步乘法计数原理，可以得到这样的项的项数，然后合并同类项。

探索(a+b)4的展开式的形式。

4个括号中取a和取b的个数和为4，即每一项的形式是a4-kbk，

（1）k=0时，a4-kbk=a4，四个括号中全都取a，相当于取0个b，有C40项a4，即a4的系数为得：C40；

（2）k=1时，四个括号中有1个取b，剩下的3个取a，得：C41a3·C33b

（3）k=1时，四个括号中有2个取b，剩下的2个取a，得：C42a2·C22b2

（4）k=3时，四个括号中有3个取b，剩下的1个取a，得：C43a·C11b3

（5）k=4时，四个括号中全都取b，得：C44b4

(a+b)4= C40a4+C41a3b+C42a2b2+C43ab3+C44b4

(a+b)n的展开式又是什么呢？

0n1n1knkknn猜想：(ab)nCnaCnabCnabCnb(nN*)

证明：对（a+b）n分类，按b可以分n+1类，

⑴不取b：Cn0an；

⑵取1个b：Cn1an-1b；

⑶取2个b：Cn1an-2b2；

………………

(k+1)取k个b：Cnkan-kbk；

- 4 -

………………

nn(n+1)取n个b：Cnb；

然后将上述过程合起来，就得到二项展开式，

0n1n-1kn-kknn(a+b)n=Cna+Cnab+…+Cnab+…+Cnb(n∈N+) 这就是二项式定理。

r它有n+1项，各项的系数Cn(r0,1,rnrrn)叫二项式系数，Cnab叫二项展开式的通项，用Tr1表示，即通项为展开式的第k+1项：

rnrrTr1Cnab．

1二项式定理中，设a1,bx，则(1x)n1CnxrrCnxxn

你怎么记忆这个公式？

①项数:共n+1项,是关于a与b的n次齐次多项式；

②指数:a的指数从n逐项递减到0，是降幂排列；

b的指数从0逐项递增到n，是升幂排列。

例1 求(2x16161)的展开式． 解：(2x)3(2x1)6

xxx16152433221[(2x)C(2x)C(2x)C(2x)C(2x)C(2x)1]

666663x6012164x3192x2240x16023．

xxx

例2 （1）求(12x)7的展开式的第4项的系数；

1（2）求(x)9的展开式中x3的系数及二项式系数

x3解：(1+2x)7的展开式的第四项是T31C7(2x)3280x3，

∴(1+2x)的展开式的第四项的系数是280．

11（2）∵(x)9的展开式的通项是Tr1C9rx9r()r(1)rC9rx92r，∴xx9-2r=3,r=3，

333∴x3的系数(1)3C984，x的二项式系数C984．

7

- 5 -

x39例3．⑴求(xa)12的展开式中的倒数第4项；⑵求()的展开式常数3x项；

解：⑴(xa)12的展开式中共13项，它的倒数第4项是第10项，

91299339T91C12xaC12xa220x3a9．

39rx9r3rr2r9⑵∵Tr1C()()C93x2，

3xr936∴当9r0,r6时展开式是常数项，即常数项为T7C9332268；

2“杨辉三角”

(ab)1…………………………………1

1 (ab)2………………………………1

2

1 (ab)3……………………………1

3

3

1 (ab)4…………………………1

4

6

4

1 (ab)5………………………1

5

10

10

5

1 (ab)6……………………1

6

15

20

15

6

1 这个表叫做二项式系数表，也称“杨辉三角”。

“杨辉三角”的特征：

⑴表中每行两端都是1，而且除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和。当n不大时，可以根据这个表来求二项式系数。

⑵设表中不为1的数Crn+1,那么它肩上的两个数分别为Cnn-1，Cnr，所以

Crn+1= Cnn-1+ Cnr。

⑶《详解九章算术》中的“杨辉三角”如右图。

二项式系数的性质

12n(ab)n展开式的二项式系数依次是

C0n,Cn,Cn,,Cn

- 6 -

从函数角度看，Crn可看成是以r为自变量的函数f(x)，其定义域

是0,1,2,,n，对于确定的n，还可以画出它的图象；例如，当n=6 时，其图象是7个孤立的点（如图）

mnm⑴对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵Cn）．直Cn线rn是图象的对称轴．

2n(n1)(n2)(nk1)k1nk1Cn，

k!knk1nk1n1kk11k∴Cn相对于Cn的增减情况由决定，，

kk2n1当k时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小2的，且在中间取得最大值；

k⑵增减性与最大值．∵Cn当n是偶数时，中间一项C取得最大值；当n是奇数时，中间两项C取得最大值．

⑶各二项式系数和：

∵1(1x)n1CnxrrCnxn2nn12n，Cn12nxn，令x1，则0122nCnCnCnrCnn

Cn

- 7 -