探究与发现 子集的个数有多少教学设计和教学实录

人教A版选修2-3 第一章

计数原理教学设计

【背景分析】（1）学习任务分析：本节课是选修2-3的第一章第一节课，学生第一次接触规范的、数学语言化的计数问题。在本章里，学生讲学习两个计数原理、两种特殊的计数问题、计数原理的应用---二项式定理。本节课是章始课，学生要对计数问题有一个感性和理性认识，并体会通过数而计之不能解决所有计数问题，故需要学习计数原理。学生通过实际问题提炼出计数问题的共同点，明确计数问题是什么，同时通过解决实际问题归纳概括出加法计数原理，会用数学语言表述加法计数原理，并对推广的加法计数原理进行表述，能用加法计数原理解决简单的问题。

（2）学生情况分析：计数问题在学生的实际生活和之前的学习中都有接触，但并没有给出明确的计数概念和系统的方法，在以前的问题中，学生多是通过数而计之，不是通过算而计之。面对生活、学习中数据大而多时，数而计之不能解决的问题怎么办？通过设计问题，让学生体会、感受学习本章知识的必要，并明确本章将要学习的数学知识，可以用所学知识解决的问题。通过实际问题在归纳概括计数原理时，语言的规范是一难点，需要多加引导。学生用加法计数原理解决简单问题时，会感觉计数原理非常简单，但要养成用计数原理解决问题的习惯，因此学习时要让学生依据计数原理进行分析和解决问题。

【教学重难点】

（1）

重点：由具体问题归纳出计数问题的定义、分类加法计数和分步乘法计数原理；

（2）

难点：正确理解“完成一件事”的含义，根据实际问题特征，正确区分“分类”或“分步”. 【教学过程】

情景1.每组3人，每两个人握一次手，一共有多少种不同的握手方法？

情景2.从A、B、C中选一个字母，再从1、2中选一个数字组成座位编号，且字母在第一位，一共可以组成多少个不同的座位编号？

情景3.现有甲乙丙三名同学站成一排照相，一共有多少种不同排队方法？

思考：1.这三个情景分别求的是什么问题？

第1页，共4页

2.求解得三个问题有什么共同特点？

像这样计算完成一件事情的方法数我们称之为计数问题。

设计意图：通过三个实际问题，并思考问题，归纳三个问题的共同点，归纳吹计数问题的定义。

情景1.每组3人，每两个人握一次手，一共有多少种不同的握手方法？

情景2.从A、B、C、D中选一个字母，再从1、2、3中选一个数字组成座位编号，且字母在第一位，一共可以组成多少个不同的座位编号？ 情景3.现有甲乙丙三名同学排队照相，一共有多少种不同排队方法？

思考：1.你能求解这三个计数问题吗？若能，你是怎么求解的？若不能，困难是什么？

2.若将情景1中每组人数再增加，你还能求解吗？

变式：每组10人，每两个人握一次手，一共有多少种不同的握手方法？

1.核糖核酸（RNA)分子由碱基按一定的顺序排列而成.已知碱基有4种，由成百上千个碱基组成的RNA分子的种数非常巨大.你知道它是怎么算出来的吗？

2.计算机中的字符由二进制表示，英文字母和汉字所需要的字符数不一样.你知道为什么吗？

设计意图：通过这三个问题情境，让学生亲身感受原来的数而计之不能解决现在的问题，从而引发学生的求知欲，探寻解决计数问题的新方法.

第一章 计数原理

应用

两类特殊的计数

组合

二项式定理

分类加法

两个基本计数原理

分步乘法

排列

设计意图：给出本章所学知识结构图，让学生明确即将要学数学知识体系和内容. 问题与探究：

问题1:(1)如果你们一家人要去重庆。一天中，从长寿到重庆，汽车有10班，动车有22班，那么你们家从长寿到重庆共有多少种不同的走法？

(2)用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室的座位编号，总共能够编出第2页，共4页

多少种不同的号码？

(3)现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，从中任选一幅布置教室，共有多少种不同的选法？

思考：1. 这三个计数问题中完成的一件事分别是什么？

2.试说说完成这件事的方法有什么特点？

3.这三个问题在解法上有什么共同点？

4.试由这三个计数问题的解法归纳这一类问题的解法。

设计意图：通过解决三个具体的实际问题，让学生体会蕴含在解决问题中的计数方法.决问题后，通过思考问题串，寻找这三个问题的共同点、解决方法的共同点，从而推广到解决这一类问题的方法，引导学生归纳出分类加法原理（分两类）. 一、分类加法计数原理

完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2 类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法. 思考：1.两类不同方案中的方法有相同的吗？

2.除了这两类方案中的方法还有其它的方法吗？

分类时，既不重复，又不能漏掉。

设计意图：让学生辨析、体会分类的关键点. 原理应用

例1：在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，A,B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下：

如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择？

设计意图：让学生初步运用分类加法计数原理解决问题. 问题与探究

问题2: (1)如果你一家人要去重庆。一天中，从长寿到重庆，汽车有10班，动车有22班，火车有5班，那么你们从长寿到重庆有10班，动车有22班，火车第3页，共4页

有5班，那么你们从长寿到重庆共有多少种不同的走法？

(2)用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字或一个小写字母给教室编号，总共能够编出多少种不同的号码？

(3) 现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，4幅山水画，从中任选一幅布置教室，共有多少种不同的选法？

思考：由此我们可以归纳猜想什么结论？

推广：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，在第3类方案k中有种不同的方法，那么完成这件事共有m+n+k种不同的方法. 设计意图：通过对前面三个问题做改变即将方法种类增加，使学生在已解决问题的基础上思考不同之处，探寻解决问题的方法，体验当完成一件事的方法种类是三种时，该如何解决.并在此基础上进一步归纳出分类加法计数原理（分N类）. 原理的应用

例2.请根据以下背景材料按要求设计问题: 书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书. 只用分类加法原理求解的计数问题. 设计意图：辨析、运用计数原理. 小结：知识：

方法：

研究过程：观察现象 提出问题 探究原理 应用原理

设计意图：对本节课所学知识进行回顾，总结用到的方法，体会研究问题的过程. 【教学反思】在这一节课的学习中，通过实际问题情境，让学生在解决问题中不断思考、深入，归纳提炼，从而形成新的知识，使得整节课自然流畅，学生不断思考，思维不断深入，知识的生成水到渠成.同时，让学生自己对所解决问题的方法进行归纳提炼，培养了学生的抽象概括、逻辑思维数学核心素养.在教学中，教师的语言还需精炼、有些问题还需具体、明确. 第4页，共4页