小结教案范文

概率统计的教学研究

湖南省临澧一中数学组 林祖成

【命题趋向】概率与统计是高中数学的重要学习内容，它是一种处理或然问题的方法，在工农业生产和社会生活中有着广泛的应用，渗透到社会的方方面面，概率与统计的基础知识成为每个公民的必备常识．概率与统计的引入，拓广了应用问题取材的范围，概率的计算、离散型随机变量的分布列和数学期望的计算及应用都是考查应用意识的良好素材．在高考试卷中，概率与统计的内容每年都有所涉及，以解答题形式出现的试题常常设计成包含离散型随机变量的分布列与期望、统计图表的识别等知识为主的综合题，以考生比较熟悉的实际应用问题为载体，以排列组合和概率统计等基础知识为工具，考查对概率事件的识别及概率计算．解答概率统计试题时要注意分类与整合、化归与转化、或然与必然思想的运用．

由于中学数学中所学习的概率与统计内容是最基础的，高考对这一部分内容的考查注重考查基础知识和基本方法．该部分在高考试卷中，一般是2—3个小题和一个解答题．

【考点透析】概率统计的考点主要有：概率与统计包括随机事件，等可能性事件的概率，互斥事件有一个发生的概率，古典概型，几何概型，条件概率，独立重复试验与二项分布，超几何分布，离散型随机变量的分布列，离散型随机变量的期望和方差，抽样方法，总体分布的估计，正态分布，线性回归等．

一、为什么教（学）的问题（价值取向）

(一)社会发展的需要

现代社会，随着计算机的快速发展，各种信息量正在成倍地增长，面对大量纷繁复杂的信息，需要人们学会处理各种信息,做出恰当的选择和判断。

例如,日常生活中,我们经常会听到“重庆市2014年的预期目标是：全市生产总值增长12.5%。“这场足球赛,巴西队赢的可能性比较大”

、“这只股票的涨幅有很大的上升空间”

等语言。这实际上就是人们对客观世界中某些现象的一种描述，其中都涉及大量的数据，面对这些数据人们就要作出分析和判断。

由此可见，随着社会的不断发展，统计与概率知识对生产和生活的影响将越来越重要。

（二）学生自身发展的需要

为了认识世界、理解世界，形成正确的世界观和方法论，学生必须学会处理各种信息，尤其是数据信息，这其中涉及的正是大量与统计、概率有关的数学知识。对信息的收集、整理与分析的能力已经成为信息时代每一个公民的基本素养。特别是统计与概率所提供的“运用数据进行推理、预测和决策”的思考方法已经成为现代社会一种普遍适用并且强有力的思维方式。

（三）构建学科知识体系的需要

在新一轮课程改革中，《课程标准》将“统计与概率”作为一个独立的知识板块纳入数学课程，作为数学教育的四个领域之一，

在学习统计与概率的过程中，将会涉及解决问题、计算、推理以及整数、分

数、比值等知识，从而有利于培养学生综合运用已学的知识，提高解决数学问题的能力。

二、课程标准解读

1、课程设置

义务教育阶段《义务教育数学课程标准（实验）》将“统计与概率”分三个阶段学习

学段

第一学段（1～3年级）

第二学段（4～6年级）

第三学段（7～9年级）

统计与·数据统计活动初步

概率

·不确定现象

·简单数据统计过程

·可能性

·统计

·概率

《普通高中数学课程标准（实验）》将“统计与概率”分必修3和（文）选修1-2或（理）选修2-3学习

高中数学统计与概率，文科约34课时、25个知识点，理科约46课时、37个知识点

简单随机抽样、系统抽样、分层抽样、频率分布表、频率分布直方图、频率分布折线图、总体密度曲线、茎叶图、用样本的频率分布估计总体分布、样本的数字特征（众数、中位数、平均数、标准差、方差）、用样本的数字特征估计总体的数字特征、散点图、两个变量的线性相关、回归直线、最小二乘法、回归分析、独立性检验、随机事件、频率、概率、概率的基本性质（互斥事件、互为对立事件）、古典概型、（整数值）随机数的产生、几何概型、均匀随机数的产生、离散型随机变量、概率分布列、两点分布、超几何分布、条件概率、事件的相互独立性、独立重复试验、二项分布、离散型随机变量的均值（数学期望）、离散型随机变量的方差（标准差）、正态曲线（正态分布密度曲线）、正态分布。

2、内容标准（主要观点）

◆在知识与技能层面上，统计与概率内容属于“了解”和“理解”水平，不要求达到“掌握”水平；

◆在过程与方法层面上，统计与概率的学习强调操作和体验；

◆在情感、态度与价值观层面上，注重贴近生活，注重实际问题的解决。

◆统计教学必须通过案例来进行。 ◆不应把统计处理成数字运算和画图表，要引导学生根据实际问题的需求选择不同的方法合理地选取样本，并从样本数据中提取需要的数字特征。

◆注意统计结果具有随机性和统计推断有可能犯错误，体会统计思维与确定性思维的差异。

◆应尽量给学生提供一定实践活动的机会，可结合数学建模的活动，选择一个案例，要求学生亲自实践。

◆对于统计中的概念和统计案例内容，应结合具体问题进行描述性说明和初步了解，对其理论基础不作要求，不追求严格的形式化定义。

◆鼓励学生尽可能使用计算器、计算机等现代技术手段来处理数据，进行模拟活动。

◆概率教学的核心问题是让学生了解随机现象与概率的意义，正确理解随机事件发生的不确定性及其频率的稳定性，体会或然与必然的数学思想方法。

◆古典概型的教学应让学生通过实例理解古典概型的特征：实验结果的有限性和每一个实验结果出现的等可能性。教学中不要把重点和兴奋点放在“如何计算”上。

◆研究一个随机现象，就是要了解它所有可能出现的结果和每一个结果出现的概率，分布列正是描述了离散随机变量取值的概率规律，二项分布和超几何分布是两个应用广泛的概率模型，要求通过实例引入这两个概率模型，不追求形式化的描述。教学中，应引导学生能利用所学知识解决一些实际问题。

三、教材分析(人教A版)

（一）必修“统计”内容分析 总体思路：

通过实际问题情境，引导学生学习随机抽样、用样本估计总体、线性回归的基本方法，使他们了解用样本估计总体及其特征的思想，体会统计思维与确定性思维的差异；

通过实习作业，让学生较为系统地经历数据收集与处理的全过程，进一步体会统计思维与确定性思维的差异。

主线：从数据收集到数据分析整理。

统计的全过程：确定统计问题→数据收集→数据整理→数据描述→数据特征→用样本估计总体→解决

实际问题。 （二）选修“统计案例”内容分析

(1)教科书给出了两件模型拟合效果的分析工具：残差分析和指标R

(2)教科书从残差分析的角度解释了R的统计意义：R越大，模型的拟合效果越好

(3)教科书从残差分析和R的角度讨论了模型选择问题，引导学生初步体会模型诊断的思想

(4)教科书强调了用解释变量（自变量）估计预报变量（因变量）时需要注意的问题，总结建立回归模型的基本步骤

(5)独立性检验的基本思想和反证法类似，它们都是假设结论不成立，

反证法的原理是：在否定结论的假设下，如果推出一个矛盾，就证明了这个假设不成立，于是结论成立；

独立性检验的原理是：在否定结论的假设下，如果一个与该假设矛盾的小概率事件发生，就推断这个假设不可靠，于是认为结论在很大程度上是成立的。

（三）必修“概率”内容分析

（1）利用随机事件的频率给出概率的定义与性质。

（2）通过试验模拟等方法澄清日常生活中对概率的错误认识。给出应用概率解决实际问题的几个例子，包括用概率检验游戏的公平性，概率在决策中的应用，概率在天气预报中的应用等等。

（3）给出两个概率模型（古典概型和几何概型）下概率的计算公式。

（4）有两种产生随机数的方法，一种是由试验产生的随机数，另一种是利用计算器或计算机产生的（伪）随机数，通过模拟的方法估计随机事件发生的概率。

（5）通过阅读与思考等栏目加深对随机现象的理解，了解人类认识随机现象的过程是逐步深入的，了解概率这门学科在实际中有广泛的应用。

（四）选修“随机变量及其分布”内容分析

（1）通过简单的例子，介绍取有限值的离散型随机变量及其分布列的概念；

（2）通过具体实例，介绍超几何分布模型及其应用；

（3）通过具体实例，介绍条件概率和两个事件相互独立的概念，在此基础上介绍二项分布模型及其应用；

（4）通过具体实例，介绍离散型随机变量的均值和方差的含义及其计算公式，这里仅限于取有限值的离散型随机变量，并解决一些具体问题；

（5）通过高尔顿板试验，引入正态分布密度曲线，借助图象介绍正态分布曲线的特点及其所表示的意义。

2222

超几何分布与二项分布的区别和联系

①

超几何分布定义：一批产品共N件，其中有M件次品，随机取出的n件产品中，次

knkCMCNM品数x服从超几何分布，P(Xk)

nCN 超几何分布满足两个条件：一是抽取的产品不再放回，二是总产品数量N较小。

②二项分布定义：在n次独立重复试验中，每次试验A发生的概率均为p，那么在n次独立重复试验kk中，事件A恰好发生k次的概率，P(Xk)Cnp(1p)nk

则称X服从二项分布，记为X~B（n,p）

二项分布也满足两个条件：一是有放回、独立重复；二是恰好发生k次。

③当抽取的方式从无放回变为有放回或者总产品数量N很大时，超几何分布变为二项分布 . 例. 某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上40件产品作为样本算出他们的重量，结果重量不超过500克的产品有28件，重量超过500克的产品有12件,现从该流水线上任取5件产品，求恰有3件产品的重量超过500克的概率。下面给出该题的两种解法，请问哪种解法是正确的？为什么？

231232821323C28C122313PC()()

P55404010000C40703四、教学建议

（一）通过走进教材领会学习目标

章头图、章引言

以“走进统计”为例

1、三个主要问题：

①为什么要学统计？ ②统计将要学习什么？ ③怎样学习统计？

2、情景引入；问题展示。

3、归纳小结，搭建统计知识框架。

我国是世界上第13个

贫水国，人均淡水占有量

排列世界第109位。

研究的对象：数据随机抽样

统计研究的内容：用样本估计总体

变量间的相关关系

主要思想方法：从样本数据中提取基本信息估计总体情况。

4、思维与知识

思维与知识，好比植物的根茎与枝叶，离开根茎，枝叶无所依托；好比动物的皮与毛，皮之不存，毛将焉附？相对于知识学习来说，在课堂教学中培养学生的思维品质更重要、更基本、更长远。

（二）通过方法比较提高思维能力

例.甲乙两选手比赛，假设每局比赛甲胜的概率为0.6，乙胜的概率为0.4，那么采用3局2胜制还是采用5局3胜制对甲更有利？你对局制长短的设置有何认识？

---人教A版《高中数学选修2-3》P59B组第1题

（三）通过问题解决突破重点难点

1、问题驱动 2、模型归纳 3、思维训练 4、反思小结

例.“古典概型”教学过程设计及其意图

1、问题驱动 问题1 概率是随机事件发生的可能性 大小的度量，由频率的稳定性，我们可以用频率估计事件的概率。但这种方法耗时多，而且得到的仅是概率的近似值。那么满足什么条件的随机试验可以直接计算事件的概率呢？请举例说明。

问题2

在掷硬币和掷骰子的实验中，为什么要求硬币和骰子的质地均匀？

2、模型归纳 问题3 在“掷一枚质地均匀的硬币的试验”中，结果只有两个，即“正面朝上”或“正面朝下”，他们都是随机事件；在“掷一枚质地均匀的骰子的试验”中，所有可能的结果有6种，即出现“1点”、“2点”、“3点”、“4点”、“5点”、“6点”，他们也都是随机事件。我们把这类随机事件称为基本事件。请思考①一个随机试验中各个基本事件之间是什么关系？②一个随机试验中的随机事件与基本事件是什么关系？

问题4 掷一枚质地均匀的骰子的试验，请回答①A=﹛向上的一面的点数大于3﹜是基本事件吗？若不是基本事件，那么事件A包含哪些基本事件？②B=﹛向上的一面的点数是偶数﹜包含哪些基本事件？

基本事件真的是试验中不能再分的最简单的随机事件吗？

对于“A=﹛向上的一面的点数大于3﹜”：

如果试验有六种情况，那么事件A就不是基本事件。

如果试验只有两种情况（比如可以想象把骰子面上显示1，2，3点的面涂成黑色，把点数大于3点的面涂成红色），那么事件A就是基本事件。 问题5

同时掷两枚质地均匀的骰子，观察两枚骰子向上的面上的点数，请回答①如何表示这个试验的所有可能结果？②所有可能结果一共有多少个？③所有可能结果是否都等可能发生？④事件A=﹛向上的点数之和是5﹜发生的概率是多少？

问题6

小强认为既然两个骰子是相同的，类似于（1,2）和（2,1）的结果应该没有区别。试验的所有可能结果是 （1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），（4，4），（4，5），（4，6），（5，5），（5，6），（6，6）共 21种，事件“点数之和是5”包含2个结果，所以问题5中P(A)=2/21。

你认为小强的解法正确吗？如果错误，错在哪里？

3、思维训练 问题7 单项选择题型，一般是从A,B,C,D四个选项中选择一个正确答案。如果考生掌握了考查的内容，他可以选择唯一正确的答案。现假定某考生不会做，他随机地选择一个答案，问他答对的概率是多少？

问题8 不定项选择题型，一般是从A,B,C,D四个选项中选择一个或多个正确答案。如果考生掌握了考查的内容，他可以选择正确的答案。现假定某考生不会做，在随机地选择任何答案都是等可能的情况下，问他答对的概率是多少？

问题9

设袋子中有3个红球，2个黄球，除颜色外无其他区别，从袋子中不放回地随机摸出两个球，求两个球都是红球的概率。

问题10 设袋子中有3个红球，2个黄球，除颜色外无其他区别，若从袋子中随机摸出一个球记下颜色后放回袋子中，再随机摸出一个球，求两个球都是红球的概率。

4、反思小结

问题11 通过前面的学习，请思考对于一个随机试验，如何判断它是不是古典概型问题？如何求一个古典概型问题中事件发生的概率？

(二)坚持四个重视

（1）重视重点内容

（2）重视基本题型、解题方法的归纳和总结

（3）重视分类讨论等数学思想的渗透

（4）重视“收集数据，整理数据，分析数据，应用数据”统计思想的渗透

(三)纠正六种错误

（1）混淆“互斥”与“对立”、“互斥”与“独立”而致误

（2）混淆“条件概率”与“相互独立事件的概率”而致误

（3）混淆“二项分布”与“超几何分布”而致误

（4）忽视正态分布的图像而致误 （5）线性回归方程的性质不熟练而致误

（6）不理解独立性检验的思想而致误 (四)注重四项能力

（1）注重培养学生阅读理解能力； （2）注重提升学生数学建模能力；

（3）注重培养学生处理数据能力； （4）注重提高学生准确运算能力。

2016年普通高等学校招生全国统一考试(理科数学)

（4）某公司的班车在7:00，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是

（A）1123

（B）

（C）

（D）

3234答案B

（19）（本小题满分12分）

某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：

以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数. （I）求X的分布列；

（II）若要求P(Xn)0.5，确定n的最小值；

（III）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n19与n20之中选其一，应选用哪个？

解：（Ⅰ）由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8，9，10，11的概率分别为0.2，0.4，0.2，0.2，从而

P(X16)0.20.20.04；

P(X17)20.20.40.16；

P(X18)20.20.20.40.40.24；

P(X19)20.20.220.40.20.24；

P(X20)20.20.40.20.20.2；

P(X21)20.20.20.08；

P(X22)0.20.20.04.

所以X的分布列为

X

16 17 18 19 20 21 22 P

0.04

0.16

0.24

0.24

0.2

0.08

0.04

（Ⅱ）由（Ⅰ）知P(X18)0.44，P(X19)0.68，故n的最小值为19. （Ⅲ）记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元）. 当n19时，EY192000.68(19200500)0.2(192002500)0.08

(192003500)0.044040. 当n20时，

EY202000.88(20200500)0.08(202002500)0.044080. 可知当n19时所需费用的期望值小于n20时所需费用的期望值，故应选n19.

2015年普通高等学校招生全国统一考试 (理科数学) （4）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为

（A）0.648 （B）0.432

（C）0.36

（D）0.312 答案 A

（19）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i1,2,...,8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值。

x

y

w

(xx)ii182

(ww)ii182

(xx)(yy)

(ww)(yy)

iiiii1i18846.6 563 6.8 289.8 表中wi1.6 1469 108.8 xi，wwi

i18（Ⅰ）根据散点图判断，yabx与ycdx哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）

（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；

（Ⅲ）已知这种产品的年利率z与x、y的关系为z0.2yx。根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：

（i）

年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？

（ⅱ）年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？

附：对于一组数据(u1,v1),(u2,v2),...,(un,vn),其回归直线vu的斜率和截距的最小二乘估计分别为：^(uu)(vv)iii1n(uu)ii1n,vu

^^2解：（Ⅰ）由散点图可以判断，ycdx适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型………………2分

（Ⅱ）令w8x，先建立y关于w的线性回归方程，由于

d^(ww)(yy)iii1(ww)ii182^^108.868 cydw563686.8100.6

1.6所以y关于w的线性回归方程为y100.668w，因此y关于x的线性回归方程^y100.668x…………………………………………6分

（Ⅲ）（ⅰ）由（Ⅱ）知，当x49时，年销售量y的预报值y100.66849576.6

年利润z的预报值z576.60.24966.32…………………………………9分

（ⅱ）根据（Ⅱ）的结果知，年利润z的预报值

^^^z0.2(100.668x)xx13.6x20.12

^

^13.66.8，即x46.24时，z取得最大值，

所以，当x2故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大……………12分

2014年普通高等学校招生全国统一考试

全国课标1理科数学

5. 4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率

A.

B.

C.

D.答案

D 1838587

818. （本小题满分12分）从某企业的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：

（Ⅰ）求这500件产品质量指标值的样本平均数x和样本方差s（同一组数据用该区间的中点值作代表）；

（Ⅱ）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(,2)，其中近似为样本平均数x，近似为样本方差s2. （i）利用该正态分布，求P(187.8Z212.2)；

（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值为于区间（187.8,212.2）的产品件数，利用（i）的结果，求EX. 附：150≈12.2. 2若Z～N(,)，则P(Z)=0.6826，P(2Z2)=0.9544. 22

解：（Ⅰ）抽取产品的质量指标值的样本平均数x和样本方差s分别为

2x1700.02+1800.09+1900.22+2000.33+2100.24+2200.08+2300.02

200

………………………………………………6分

（Ⅱ）（ⅰ）由（Ⅰ）知，Z~N(200,150)，从而

P(187.8Z212.2)P(20012.2Z20012.2)0.6826……………………9分

（ⅱ）由（ⅰ）知，一件产品的质量指标值位于区间（187.8，212.2）的赶驴为0.6826，依题意知X~B（100，0.6826），所以EX1000.682668.26……………………………12分