3.1.2 复数的几何意义PPT专用课堂实录内容

第3章

数系的扩充与复数的引入

§3.1.1数系的扩充和复数的概念

【教学目标】

1．了解解方程等实际需要也是数系发展的一个主要原因，数集的扩展过程以及复数的分类表；

2．理解复数的有关概念以及符号表示；

3．掌握复数的代数表示形式及其有关概念；

4.在问题情境中了解数系得扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程求根）在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系．

【教学重点】引进虚数单位i的必要性、对i的规定以及复数的有关概念．

【教学难点】复数概念的理解．

【教学过程】

1．对数集因生产和科学发展的需要而逐步扩充的过程进行概括（教师引导学生进行简明扼要的概括和总结）

自然数

整数

有理数

无理数

实数

2．提出问题

2

我们知道，对于实系数一元二次方程x10，没有实数根．我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？

3．组织讨论，研究问题

2x

我们说，实系数一元二次方程10没有实数根．实际上，就是在实数范围内，没有一个实数的平方会等于负数．解决这一问题，其本质就是解决一个什么问题呢？

组织学生讨论，引导学生研究，最后得出结论：最根本的问题是要解决－1的开平方问题．即一个什么样的数，它的平方会等于－1．

4．引入新数i，并给出它的两条性质

根据前面讨论结果，我们引入一个新数i，i叫做虚数单位，并规定：

（1）i1；

1

2

（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、乘运算律仍然成立．

有了前面的讨论，引入新数i，可以说是水到渠成的事．这样，就可以解决前面提出的问题（－1可以开平方，而且－1的平方根是i）．

5．提出复数的概念

根据虚数单位i的第（2）条性质，i可以与实数b相乘，再与实数a相加．由于满足乘法交换律及加法交换律，从而可以把结果写成abi这样，数的范围又扩充了，出现了形如

abi(a,bR)的数，我们把它们叫做复数．

全体复数所形成的集合叫做复数集，一般用字母C表示，显然有：

N*NZQRC．

【巩固练习】

下列数中，哪些是复数，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数？并分别指出这些复数的实部与虚部各是什么？

1例1.实数m分别取什么值时，复数z＝m+1＋(m-1)i是

(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？

2i,i2,0,i2,sinicos766分析：因为m∈R，所以m+1，m-1都是实数，由复数z＝a＋bi是实、虚数、纯虚数与零的条件可以确定实数m的值．

解（1）当m10，即m1时，z为实数；

（2）当m10,即m1时，z为虚数；

m10（3）当,即m1时，z为纯虚数.m10

练习：已知复数zm2(1i)(mi)且mR,当m为何值时，复数z是（1）虚数；（2）纯虚数

6．提出两个复数相等的定义，即两个复数相等的充要条件是它们的实部与虚部分别对应相等．也就是

由此容易得出：2

例2

已知(2x1)iy(3y)i,其中，x,yR，求x与y．

分析：因为x，y∈R，所以由两个复数相等的定义，可列出关于x，y的方程组，解这个方程组，可求出x，y的值．

解：由复数相等可知

2x1y

5解得x,y421(3y)练习：已知x2(12i)x3mi2i0(mR),求实数m的值.

【课堂游戏】

【想一想】两个复数是否可以比较大小. 【归纳总结】

一、数系的扩充；

二、复数有关的概念：

1、复数的代数形式；

2、复数的实部、虚部。

3、虚数、纯虚数；

4、复数的相等. 【布置作业】

习题3.1A组

1

2

3

3

3.1.2 复数的几何意义

教学要求：理解复数与复平面内的点、平面向量是一一对应的，能根据复数的代数形式描出其对应的点及向量。

教学重点：理解复数的几何意义，根据复数的代数形式描出其对应的点及向量。

教学难点: 根据复数的代数形式描出其对应的点及向量。

教学过程：

一、复习准备：

1. 说出下列复数的实部和虚部，哪些是实数，哪些是虚数。

14i,72i,83i,6,i,20i,7i,0,03i,3

2．复数z(x4)(y3)i，当x,y取何值时为实数、虚数、纯虚数？

3. 若(x4)(y3)i2i，试求x,y的值，（(x4)(y3)i2呢？）

二、讲授新课：

1. 复数的几何意义：

①

讨论：实数可以与数轴上的点一一对应，类比实数，复数能与什么一一对应呢？

（分析复数的代数形式，因为它是由实部a和虚部同时确定，即有顺序的两实数，不难想到有序实数对或点的坐标） 结论：复数与平面内的点或序实数一一对应。

②复平面：以x轴为实轴，

y轴为虚轴建立直角坐标系，得到的平面叫复平面。

复数与复平面内的点一一对应。 ③例1：在复平面内描出复数14i,72i,83i,6,i,20i,7i,0,03i,3分别对应的点。

（先建立直角坐标系，标注点时注意纵坐标是b而不是bi）

观察例1中我们所描出的点，从中我们可以得出什么结论？

④实数都落在实轴上，纯虚数落在虚轴上，除原点外，虚轴表示纯虚数。

思考：我们所学过的知识当中，与平面内的点一一对应的东西还有哪些？

⑤一一对应复数Zabi复平面内的点(a,b)一一对应，一一对应复数Zabi平面向量OZ，复平面内的点(a,b)平面向量OZ

注意：人们常将复数zabi说成点Z或向量OZ，规定相等的向量表示同一复数。

2．应用

例2，在我们刚才例1中，分别画出各复数所对应的向量。

练***面内画出23i,42i,13i,4i,30i所对应的向量。

小结：复数与复平面内的点及平面向量一一对应，复数的几何意义。

4

三、巩固与提高：

1．分别写出下列各复数所对应的点的坐标。

23i,84i,80i,6,i,29i321,7i,0

2．若复数Z(m23m4)(m25m6)i表示的点在虚轴上，求实数a的取值。

变式：若z表示的点在复平面的左（右）半平面，试求实数a的取值。

3、作业：课本64题2、3题.

5

§3.2.1复数代数形式的加减运算及几何意义

教学目标：

知识与技能：掌握复数的加法运算及意义

过程与方法：理解并掌握实数进行四则运算的规律，了解复数加减法运算的几何意义

情感、态度与价值观：理解并掌握复数的有关概念(复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部)

理解并掌握复数相等的有关概念；画图得到的结论，不能代替论证，然而通过对图形的观察，往往能起到启迪解题思路的作用

教学重点：复数加法运算，复数与从原点出发的向量的对应关系．

教学难点：复数加法运算的运算率，复数加减法运算的几何意义。

教学过程：

一．学生探究过程：

1. 与复数一一对应的有？

2. 试判断下列复数14i,72i,6,i,20i,7i,0,03i在复平面中落在哪象限？并画出其对应的向量。

3. 同时用坐标和几何形式表示复数z114i与Z272i所对应的向量，并计算OZ1OZ2。向量的加减运算满足何种法则？

4. 类比向量坐标形式的加减运算，复数的加减运算如何？

二、讲授新课：

1.复数的加法运算及几何意义

①.复数的加法法则：z1abi与Z2cdi，则Z1Z2(ac)(bd)i。

例1．计算（1）(14i)+(72i) （2）(72i)+(14i) （3）[(32i)+(43i)](5i)

（4）(32i)+[(43i)(5i)]

②．观察上述计算，复数的加法运算是否满足交换、结合律，试给予验证。

例2．例1中的（1）、（3）两小题，分别标出(14i),(72i)，(32i),(43i),(5i)所对应的向量，再画出求和后所对应的向量，看有所发现。

③复数加法的几何意义：复数的加法可以按照向量的加法来进行（满足平行四边形、三角形法则）

2．复数的减法及几何意义：类比实数，规定复数的减法运算是加法运算的逆运算,即若Z1ZZ2，则Z叫做Z2减去Z1的差,记作ZZ2Z1。

④讨论：若Z1ab,Z2cdi，试确定ZZ1Z2是否是一个确定的值？

（引导学生用待定系数法，结合复数的加法运算进行推导，师生一起板演）

⑤复数的加法法则及几何意义：(abi)(cdi)(ac)(bd)i，复数的减法运算也可以按向量的减法来进行。

例3．计算（1）(14i)-(72i) （2）(52i)+(14i)(23i) （3）(32i)-[(43i)(5i)]

练习：已知复数，试画出Z2i，Z3，Z(54i)2i

6

（三）小结：两复数相加减，结果是实部、虚部分别相加减，复数的加减运算都可以按照向量的加减法进行。

（四）巩固练习：

1．计算

（1）84i5

（2）54i3i

（3）23i29i32i



[来源:学§科§网Z§X§X§K]

2．若(310i)y(2i)x19i，求实数x,y的取值。

变式：若(310i)y(2i)x表示的点在复平面的左（右）半平面，试求实数a的取值。

[来源:学科网]

[来源:Z§xx§k.Com]

3．三个复数Z1,Z2,Z3，其中Z13i，Z2是纯虚数，若这三个复数所对应的向量能构成等边三角形，试确定Z2,Z3的值。

7

3.2.2 复数代数形式的乘除运算

教学目标：

1．知识与技能

理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则，了解共轭复数的概念．

2．过程与方法

理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化问题，通过运算过程体会这一变形本质意图．

3．情感、态度与价值观

利用多项式除法和复数除法类比，知道事物之间是普遍联系的．通过复数除法运算，培养学生探索问题、分析问题、解决问题的能力．

重点难点：

重点：复数代数形式的乘除法运算．

难点：复数除法法则的运用．

●教学建议 建议本节教学采用自学指导法，在学生自主学习的基础上可利用一下教学方法及手段完成本节教学：(1)类比分析法，通过对比多项式的乘法法则推出复数乘法法则．(2)归纳推理法，运用已有的多项式乘法法则和分母有理化及复数加减法的知识，通过归纳类比，推导复数除法法则．(3)合理、恰当地运用多媒体教学手段，将静态事物动态化，将抽象事物直观化，以突破教学难点．

●教学流程

创设问题情境，引出问题，引导学生思考两个复数如何进行代数形式的乘法与除法运算．让学生自主完成填一填，使学生进一步熟悉复数代数形式的乘法、除法运算的法则，及其满足的运算律．

引导学生分析例题1的运算方法并求解，教师只需指导完善，解答疑惑并要求学生独立完成变式训练．

由学生分组探究例题2解法，引导学生去发现in运算的周期性，及其应用方法．完成互动探究．

完成当堂双基达标，巩固所学知识及应用方法．并进行反馈矫正．归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节所学知识，强调重点内容和规律方法．

8

让学生自主分析例题3，老师适当点拨解题思路，学生分组讨论给出解法．

学生自主完成例题3变式训练，老师抽查完成情况，对出现问题及时指导．通过易错辨析纠正运算中出现的错误．老师组织解法展示，引导学生总结解题规律．

【问题导思】

1．如何规定两个复数相乘？

【提示】

两个复数相乘类似于多项式相乘，只要在所得结果中把i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并即可．

2．复数乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律吗？

【提示】

满足．

(1)设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则

z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i. (2)对于任意z1，z2，z3∈C，有

交换律

结合律

乘法对加法的分配律

【问题导思】

如何规定两个复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R，c＋di≠0)相除？

z1·z2＝z2·z1

(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3) z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3

z1a＋bia＋b【提示】

＝＝z2c＋dic＋dc－dc－dac＋bd＋bc－ad＝c2＋d2.

(1)z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d为实数，c＋di≠0)，z1，z2进行除法运算时，通常先把(a＋bi)÷(c＋di)写成a＋bi的形式再把分子与分母都乘以c＋dic－di化简后可得结果：

9 ac＋bdbc－ad＋i. c2＋d2c2＋d2

(2)共轭复数

如果两个复数满足实部相等，虚部互为相反数时，称这两个复数为共轭复数，z的共轭复数用z表示．即z＝a＋bi，则z＝a－bi.虚部不等于0的两个共轭复数也叫共轭虚数. 例1 (1)(2013·课标全国卷Ⅱ)设复数z满足(1－i)·z＝2i，则z＝(

) A．－1＋i

B．－1－i

C．1＋i

D．1－i (2)(2013·大纲全国卷)(1＋3i)3＝(

) A．－8 B．8 C．－8i D．8i 1＋i62＋3i(3)计算()＋＝________. 1－i3－2i【思路探究】

(1)先设出复数z＝a＋bi，然后运用复数相等的充要条件求出a，b的值．

(2)直接利用复数的乘法运算法则计算．

(3)先计算规律和方法：

1．复数的乘法类比多项式相乘进行运算，复数除法要先写成分式形式后，再将分母实数化，注意最后结果要写成a＋bi(a，b∈R)的形式．

2．记住以下结论可以提高运算速度

(1)(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i；

(2)1－i1＋i＝－i，＝i；

1＋i1－i1＋i2＋3i再乘方，且将的分母实数化后再合并．

1－i3－2i1(3)＝－i. i变式计算：

计算：

(1)(1－i)2；

13312i(2)(－＋i)(＋i)(1＋i)；(3). 22222＋i10