2.基本不等式优秀教案案例

基本不等式

太原市第五十三中学

郭蓉

教学目标：

1、通过两个探究实例，引导学生从几何情景中得出不等式，了解基本不等式的几何背景，体会数形结合思想。

2、从代数角度给出不等式的证明，组织学生分析证明方法，加深基本不等式的认识，提高逻辑推理论证能力。

3、利用基本不等式解决简单的最值问题，从中体会基本不等式的三个限制条件; 4、培养学生生活问题数学化，并注重运用数学方法解决生活中的实际问题的意识。

教学重点：多角度理解基本不等式

教学难点:1、基本不等式几何意义的探索；2、灵活应用基本不等式求最值。

教学设计：

一、探究引入：

1、已知两个正数a，b，x是它们的等差中项，y是它们的等比中项，则：

（1）x=__________,y=____________; （2）填写下面表格，发现并证明x与y的大小关系：

a 14

2 b 1 3 4 3 2 x

y

x与y的大小

3 3 2

x与y的大小关系是____________,请尝试证明你的结论。

2、如图是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标，会标是根据我国古代数学家赵爽的“弦图”设计的，该图给出了迄今为止对勾股定理最早、最简洁的证明，体现了以形证数、形数统一、代数和几何是紧密结合、互不可分的．（介绍大会，感受祖国国力提升，引出会标，介绍赵爽，感受中国古代数学成就）请同学们探究会标中的

不等关系，比较4个直角三角形的面积和大正方形的面积，你会得到怎样的不等式？a=b时会出现什么情况？

二、重要不等式

1、根据上述两个几何背景，得到重要不等式(定理1)：如果a, b∈R, 那么a²+b²≥2ab.当且仅当a=b时等号成立。

2、证明结论

证法一（作差法）：

a2b22ab(ab)20a2b22ab当ab时等号成立。(a,b可以取任意实数)

证法二（分析法）：

要证a2b22ab只需证明a2b22ab0只需证（a-b）0显然成立。2

证法三（几何法）

分析：a²与b²的几何意义是正方形面积，ab的几何意义是矩形面积，可考虑从图形的面积角度解释定理。

如图把实数a，b作为线段长度，以a≥b为例，在正方形ABCD中，

AB=a；在正方形CEFG中，EF=b.则

S正方形ABCD+S正方形CEFG=a²+b².

S矩形CEFG2ab

S矩形BCGH，其值等a b b A H I K D G F 于图中有阴影部分的面积，它不大于正方形ABCD与正方形CEFG的面积和。即a²+b²≥2ab.当且仅当a=b时，B J a C b E

两个矩形成为正方形，此时有

a²+b²=2ab。

三、基本不等式

1、思考：如果用a,b分别替换重要公式中的a,b会得到什么结论？

abab定理2：如果a,b>0，那么2，当且仅当a=b时，等号成立. 证明：因为

abab222ab2ab

abab

所以2，

上式当且仅当ab，即a=b时，等号成立。

ab2、深化认识：

其中2为正数a,b的算术平均数，ab

为正数a,b的几何平均数，于是基本不等式可以表述为: 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

3、几何意义: 如图在直角三角形中，CO、CD分别是斜边上的中线和高，设AD=a，ab,CDab，所以基本不等式的几何解释为：DB=b，则由图形可得到CO2(1)直角三角形斜边上的中线不小于斜边上的高。

(2)圆内半弦不大于半径。

C

A O D B

4、

数列意义：

abab是a,b的等比中项，是a,b的等差中项，2基本不等式的数列意义就成为：正数a,b的等

比中项不大于正数a,b的等差中项.四、应用举例，巩固提高

例1.（1）用篱笆围一个面积为100平方米的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？

变式：若矮篱笆长度只有100米，如何施工，花园面积能最大？

例2 求证：（1）在所有周长相同的矩形中，正方形的面积最大；

（2）在所有面积相同的矩形中，正方形的周长最短。

结论：已知x, y都是正数。（1）如果积xy是定值p，那么当x=y时，和x+y有12S2p最小值；（2）如果和x+y是定值s，那么当x=y时，积xy有最大值4

例3

某居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图（右图）是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200平方米的十字型地域，计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为每平方米4200元，在四个相同的矩形上（图中阴影部分）铺花岗岩地坪，造价为每平方米210元，再在四个空角（图中四个直角三角形）上铺上草坪，造价为每平方米80元。

（1）设总造价为S元，AD长为x米，试建立S关于x的函数关系式。

（2）当x为何值时S最小，并求出这个最小值。

五、小结：理解并熟练掌握基本不等式及其应用，特别要注意利用基本不等式求最值时，

一定要满足“一正二定三相等”的条件。

.六、课后作业