二 用数学归纳法证明不等式设计意图

用数学归纳法证明不等式（一）

重庆三十中学 徐洁

教学目标：

1、了解数学归纳法的原理，并能以递推思想作指导，

2、理解数学归纳法的操作步骤，

3、能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写.[来源:学科网]

[来源:学科网]教学重点：能用数学归纳法证明几个经典不等式.教学难点：理解经典不等式的证明思路. 教学过程：

一、复习准备：

12221. 求证：13352. 求证：1n2n(n1),nN*. (2n1)(2n1)2(2n1)1112341n,nN*. n21二、讲授新课：

1、用数学归纳法证明不等式的方法：作差比较法、作商比较法、综合法、分析法和放缩法，以及类比与猜想、抽象与概括、从特殊到一般等数学思想方法。

2、数学归纳法是用于证明某些与自然数有关的命题的一种方法．设要证命题为P（n）．

（1）证明当n取第一个值n0时，结论正确，即验证P（n0）正确；

（2）假设n=k（k∈N且k≥n0）时结论正确，证明当n=k+1时，结论也正确，即由P（k）正确推出P（k+1）正确，

根据（1），（2），就可以判定命题P（n）对于从n0开始的所有自然数n都正确．

在用数学归纳法证明不等式的具体过程中，要注意以下几点：

（1）在从n=k到n=k+1的过程中，应分析清楚不等式两端（一般是左端）项数的变化，也就是要认清不等式的结构特征；

（2）瞄准当n=k+1时的递推目标，有目的地进行放缩、分析；

（3）活用起点的位置；

1

（4）有的试题需要先作等价变换。

三、应用举例：

例1：比较n2与2n的大小，试证明你的结论. 分析：试值n1,2,3,4,5,6

→

猜想结论

→

用数学归纳法证明

要点：(k1)2k22k1k22kkk23kk2k2…. 证明：（略）

四、小结反思：试值→猜想→证明

巩固练习1 11例1：已知数列an的各项为正数，Sn为前n项和，且Sn(an)，归纳出an的公式2an并证明你的结论. 解题要点提示：试值n=1,2,3, 4，

→

猜想an

→

数学归纳法证明

例2：证明不等式|sinn|n|sin|(nN). 要点：|sin(k1)||sinkcoscosksin||sinkcos||cosksin|

|sink||sin|k|sin||sin|(k1)|sin|

证明：（略）

例3：证明贝努利不等式. (1x)n1nx(x1,x0,nN,n1)

分析：贝努力不等式中涉及到两个字母，

x表示大于-1且不等于0的任意实数，n是大于1的自然数，用数学归纳法只能对n进行归纳

巩固练习2：

试证明：不论正数a、b、c是等差数列还是等比数列，当n＞1,n∈N且a、b、c互不相等时，均有a+c＞2b. 解答要点：当a、b、c为等比数列时，设a=nnn*[来源:学#科#网Z#X#X#K]

bnn, c=bq (q＞0且q≠1). ∴

a+c=…. q网]

ancnacn *当a、b、c为等差数列时，有2b=a+c，则需证＞()(n≥2且n∈N).22ak1ck11k+1k+1k+1k+11(a+c+a+c)＞(ak+1+ck+1+ak·c+ck·a)…. 当n=k+1时，244[来源:学。科。[来源:学.科.网]

2

=1kkackacack+1(a+c)(a+c)＞()·()=() . 42223. 小结反思：应用数学归纳法证明与正整数n有关的不等式；技巧：凑配、放缩.

四、巩固练习：

111tan(2n))(1)....(1)1. 用数学归纳法证明：

(1. cos2cos4cos2ntan2. 已知nN,n2,证明：

五、课堂小结：

六、布置作业：

教材P53 3、5、8题.

3 1211n1n211. 2n

§4.1.1数学归纳法证明不等式

学习目标：1. 理解数学归纳法的定义、数学归纳法证明基本步骤;

2. 会运用数学归纳法证明不等式

重点：应用数学归纳法证明不等式. 知识情景：

关于正整数n的命题(相当于多米诺骨牌),我们可以采用下面方法来证明其正确性：

10.

验证n取 时命题 ( 即n＝n时命题成立)

(归纳奠基）

；

20.

假设当 时命题成立，证明当n=k＋1时命题

(归纳递推）.

30. 由10、20知，对于一切n≥n的自然数n命题

！(结论）

要诀: 递推基础

, 归纳假设

, 结论写明

.

数学归纳法的应用：

例1. 用数学归纳法证明不等式sinn≤nsin.

例2已知x> 1，且x0，nN*，n≥2．求证：(1+x)n>1+nx

4 .

例3 证明: 如果n(n为正整数)个正数a1,a2,

那么它们的和a1a2

例4

证明:1,an的乘积a1a2an1, an≥n.

11112(nN,n≥2).

22223nn

例5.当n≥2时,求证:1

12131nn

5

练习

1、已知f(n)=(2n+7)·3n+9,存在自然数m,使得对任意n∈N,都能使m整除f(n)，则最大的m的值为(

)

A.30

B.26

C.36

D.6 2、.观察下列式子：113,221115,2232311117

2232424

…则可归纳出____

_____. 3、已知a113an, an1,

则a2,a3,a4,a5的值分别为_____

____，由此猜想

2an3

an_________. 4、用数学归纳法证明: An5n23n11(nN*)能被8整除.

5、用数学归纳法证明

1111111112342n12nn1n22n

2n6、.用数学归纳法证明41+3n+2能被13整除，其中n∈N

6

7、求证：

11n1n215(n2,nN)

3n6

118、已知，Sn123

1,nN，

用数学归纳法证明：

nnS2n1(n2,nN

)2

n2*22n(nN)．

9、.求证：用数学归纳法证明

7

答案

1. 关于正整数n的命题(相当于多米诺骨牌),我们可以采用下面方法来证明其正确性：

10.

验证n取第一个值时命题成立( 即n＝n时命题成立)

(归纳奠基）

；

20. 假设当n=k时命题成立，证明当n=k＋1时命题也成立(归纳递推）.

30. 由10、20知，对于一切n≥n的自然数n命题都成立！(结论）

要诀: 递推基础不可少,归纳假设要用到,结论写明莫忘掉.

例1 ⑴当n1时,上式左边sin右边,不等式成立. ⑵设当nk(k≥1)时,不等式成立,即有sink≤ksin. 那么,当nk1时, sin(k1)= 例2 证明:(1)当n=2时，左＝(1＋x)2=1+2x+x2 2

∵

x0，∴

1+2x+x>1+2x=右,∴n=2时不等式成立

k（2）假设n=k(k≥2)时，不等式成立，即

(1+x)>1+kx

当n=k+1时，因为x> 1 ，所以1+x>0，于是

k+1

左边=(1+x)右边=1+(k+1)x．

2k+1

因为kx＞0，所以左边＞右边，即(1+x)>1+(k+1)x．

这就是说，原不等式当n=k+1时也成立．

根据(1)和(2)，原不等式对任何不小于2的自然数n都成立.

ak1, 例3 证明:⑴当n1时,有a11，命题成立. ⑵设当nk(k≥1)时，命题成立，即若k个正数a1,a2,,ak的乘积a1a2 那么它们的和a1a2ak≥k. ,ak,ak1满足a1a2 那么当nk1时,已知k1个正数a1,a2,若k1个正数a1,a2, 若这k1个正数a1,a2, (否则与a1a2akak11. ,ak,ak1都相等,则它们都是1.其和为k1,命题成立. ,ak,ak1不全相等,则其中必有大于1的数,也有小于1的数

akak11矛盾).不妨设a11,a21.

8

例4证:(1)当n=1时,左边=11513532 故不等式成立. ,右边= ,由于224224211112.

22223kk

(2)假设n=k( kN,k≥2)时命题成立,即1

则当n=k+1时, 1111111

22222223k(k1)k(k1)

21111111122()2.

k(k1)2kk(k1)kkk1k1 即当n=k+1时,命题成立.

由(1)、(2)原不等式对一切nN,n≥2都成立.

12217.2右式 当n2时，不等式成立

2当n2时，左式1例5（1）1 （2）假设当nk(2)时，不等式成立，即112131k1k11kk

1k1 则当nk1时，左式11213k

k(k1)1k1kk1k1k1k1k1右式

当nk1时，不等式成立。

由（1）（2）可知，对一切nN，且n2，不等式都成立。

练习 1．解析：∵f(1)=36,f(2)=108=3×36,f(3)=360=10×36 ∴f(1),f(2),f(3)能被36整除，猜想f(n)能被36整除. 证明：n=1,2时，由上得证，设n=k(k≥2)时，

f(k)=(2k+7)·3k+9能被36整除，则n=k+1时，

f(k+1)－f(k)=(2k+9)·3k+1－(2k+7)·3k

=(6k+27)·3k－(2k+7)·3k

－=(4k+20)·3k=36(k+5)·3k2(k≥2)

f(k+1)能被36整除

∵f(1)不能被大于36的数整除，∴所求最大的m值等于36. 答案：C 12、解析：131211即111222(11)2

9

111511221,即12122323(11)2(21)2

归纳为11112n1n12232(n1)2(n∈N*) 答案:11112n1n12232(n1)2(n∈N*)

13a1233同理,3.解析:a2a1313725

23a23333333a3,a4,a5,猜想ana238359451055n53

答案:33333、、、

78910n54、证:(1)当n=1时,A1=5+2+1=8,命题显然成立.

(2)假设当n=k时,Ak能被8整除,即Ak5k23k11是8的倍数.

那么: Ak15k123k15(5k23k11)4(3k11)5Ak4(3k11)

因为Ak是8的倍数,3k-1+1是偶数即4(3k-1+1)也是8的倍数,所以Ak+1也是8的倍数,

即当n=k+1时,命题成立.

由(1)、(2)知对一切正整数n, An能被8整除.

11115．证明：

1当n=1时，左边=1-2=2，右边=11=2，所以等式成立。

2假设当n=k时，等式成立，

1

即111111112342k12kk1k22k。

那么，当n=k+1时，

11111112342k12k2k12k2

111112k2k12k2

k1k21

1111111111()234k2k32k2k1k12k2



11111k2k32k2k12(k1)

这就是说，当n=k+1时等式也成立。

综上所述，等式对任何自然数n都成立。

10

6．证明：(1)当n=1时，42×1+1+31+2=91能被13整除

(2)假设当n=k时，42k+1+3k+2能被13整除，则当n=k+1时，

42(k+1)+1+3k+3=42k+1·42+3k+2·3－42k+1·3+42k+1·3

=42k+1·13+3·(42k+1+3k+2)

∵42k+1·13能被13整除，42k+1+3k+2能被13整除

∴当n=k+1时也成立.

由①②知，当n∈N*时，42n+1+3n+2能被13整除.

1111534566，不等式成立．

7．证明：（1）当n=2时，右边=11nk(k2,kN)k1k2

（2）假设当时命题成立，即*153k6．

则当nk1时，

111111(k1)1(k1)23k3k13k23(k1)1111111()k1k23k3k13k23k3k151111()63k13k23k3k151111()63k33k33k3k15115(3).63k3k16

所以则当nk1时，不等式也成立．

*n2,nN

由（1），（2）可知，原不等式对一切均成立．

8. 证明：

（1）当n=2时，S22111113211234122，∴命题成立．

*nk(k2,kN)时命题成立，（2）假设当即

S2k111231k12k2．

则当nk1时，

S2k111123111kkk2212212k1

11

k111k11kkk11k1k1221222222k1k1k112kk111.22222

1

所以则当nk1时，不等式也成立．

*n2,nN

由（1），（2）可知，原不等式对一切均成立．

12k1

9、证明：（1）

当n=1时，

221，不等式成立；

当n=2时，

222，不等式成立；

当n=3时，

223，不等式成立．

*nk(k3,kN)时不等式成立，即

2k2k2．

（2）假设当k1k222222(22)22k2(k1)k2k3，

nk1

则当时，

3222122kk3

∵，∴2k3(k3)(k1)0，（*）

k122222(k1)k2k3(k1)

从而，

k1222(k1)

∴．

即当nk1时，不等式也成立．

n2*

由（1），（2）可知，22n对一切nN都成立．

12