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§3.3.1二元一次不等式（组）与平面区域

（一）

南县一中 邓超辉

【授课类型】

新授课

【教学目标】

1．知识与技能：了解二元一次不等式（组）产生的实际背景，会用平面区域表示二元一次不等式组的解集；

2．过程与方法：初步经历从实际情境中抽象出二元一次不等式组的过程，提高数学建模的能力，体验类比、归纳等推理方式探究新知识，强化数形结合的意识；

3．情感态度与价值观：体会数学源于生活、用于生活的特点，激发学生的探索欲望，采用问题引导的探究模式，让学生体验思考并解决问题的愉快。

【教学重点】

用二元一次不等式（组）表示平面区域。

【教学难点】

取测试点确定直线哪一侧是要求的平面区域。

【教学过程】

一、课题导入：

1．从实际问题中抽象出二元一次不等式（组）的数学模型

课本第82页的“银行信贷资金分配问题”

教师引导学生思考、探究，让学生经历建立线性规划模型的过程。

在获得探究体验的基础上，通过交流形成共识：

2.讲授新课

1．从实际问题中抽象出二元一次不等式（组）的数学模型。

把实际问题 转化 数学问题：

设用于企业贷款的资金为x元，用于个人贷款的资金为y元。

（把文字语言 转化 符号语言）

（资金总数为25 000 000元）xy25000000 （1）

（预计企业贷款创收12%，个人贷款创收10%，共创收30 000元以上）(12%)x+(10%)y30000 即12x10y3000000 （2）

（用于企业和个人贷款的资金数额都不能是负值）x0,y0 （3）

将（1）（2）（3）合在一起，得到分配资金应满足的条件：

xy2500000012x10y3000000

x0,y02．二元一次不等式和二元一次不等式组的定义。

（1）二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的最高次数是1的不等式叫做二元一次不等式。

（2）二元一次不等式组：由几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组。

（3）二元一次不等式（组）的解集：满足二元一次不等式（组）的有序实数对（x,y）构成的集合称为二元一次不等式（组）的解集。

3．从实际问题中抽象出了二元一次不等式（组）后，展示一组与线性规划相关的图片，让学生体验数学来源于生活，又用于生活的特点，激发学生的探索欲望。

二、新课讲授：

问题1：二元一次不等式（组）的解集可以用什么图形表示？

运用类比推理的方式，要求学生回忆初中学过的一元一次不等式（组）的情况得出结论. 一元一次不等式（组）的解集是由实数组成的集合，而实数集与数轴上的点是一一对应的，所以一元一次不等式（组）的解集可以用数轴上的一个区间来表示；二元一次不等式（组）的解集是由有序实数对组成的集合，而有序实数对是与平面直角坐标系内的点是一一对应的，所以二元一次不等式（组）的解集可以用平面直角坐标系内的一个区域来表示。

问题2：二元一次不等式x-y<6的解集表示怎样的平面区域？

在平面直角坐标系内，x-y-6=0表示一条直线。平面内所有的点被直线分成三类：

第一类：在直线x-y-6=0上的点；第二类：在直线x-y-6=0左上方的区域内的点；第三类：在直线x-y-6=0右下方的区域内的点。

用几何画板演示课本第83页的表格。在直线上任取点P，过点P作x轴的垂线，在垂线上选取点A引导学生发现当点A满足不等式时与点P的纵坐标有什么关系，进而发现点A在点P的上方。移动点P，重复刚才的过程两到三次，使学生加深印象，同时，强调点P的任意性，演示动画，引导学生发现结论：

在平面直角坐标系中，二元一次不等式x-y<6表示直线x-y=6左上方的平面区域；

二元一次不等式x-y>6表示直线x-y=6右下方的区域；

直线x-y=6叫做这两个区域的边界，因为直线上的点不满足不等式，所以边界应画成虚线。

由特殊例子推广到一般情况，可得结论：二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域（虚线表示区域不包括边界直线）。

问题3：怎样快速判断二元一次不等式表示直线哪一侧平面区域？

例1．

画出不等式x+4y<4表示的平面区域。

解：先画直线x+4y-4=0，因为直线上的点不满足不等式所以要画成虚线.(教师板演，展示规范作图步骤) 取原点（0,0），代入代数式x+4y-4所得符号小于零，满足不等式，所以原点在不等式表示的平面区域内，如阴影部分所示。

根据学生分析的情况可以选择使用几何画板演示：对于直线x+4y-4=0同一侧的所有点(x,y)，把它的坐标（x,y)代入代数式x+4y-4，所得到数值的符号都相同。引导学生发现所以只需在此直线外任取一点代入代数式x+4y-4，从它的正负即可判断要找的平面区域是含该点的区域还是不含该点的区域。

完成例一后，让学生讨论总结画二元一次不等式表示的平面区域的一般方法和注意事项：

(1)直线定界，注意虚实；

(2)特殊点定域，当C≠0时，取原点作测试点，当C=0时，取（1,0）或（0,1）作测试点。

例题讲解与练习

学生在坐标纸上完成练习1、（1）y<-3x+12;

(2)x<2y 教师展示正确答案之后，采用多媒体技术将两个图形叠加到同一个坐标系中，引导学生发现不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分，引出例2。

y3x12例2．

用平面区域表示不等式组的解集。

x2y解：不等式y3x12表示直线y3x12右下方的区域，x2y表示直线x2y右上方的区域，取两区域重叠的部分，如图的阴影部分就表示原不等式组的解集。

2x2y0,x2y10,练习2、（学生板演）（1） （2）xy0,

xy40.x3.3、（提问，由学生分析）用不等式组表示如图所示阴影部分的区域。

y3-31O x-1

三、课时小结：

1．结论：二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域。

2．画二元一次不等式表示的平面区域的一般方法和注意事项：

（1）直线定界，注意虚实；

（2）特殊点定域，当C≠0时，取原点作测试点，当C=0时，取（1,0）或（0,1）作测试点。

3．二元一次不等式（组）的解集表示的平面区域是各个不等式表示的平面区域的公共部分。

四、作业布置

课本第93页A组2，B组1。

学案第一、二课时。

【板书设计】

学生板演2（1）

课题

例1

例2

学生板演2（2）