信息技术应用 μ，σ对正态分布的影响教案2

第十课时2.6正态分布

教学目标

（1）通过实际问题，借助直观（如实际问题的直方图），了解什么是正态分布曲线和正态分布；

（2）认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；

（3）会查标准正态分布表，求满足标准正态分布的随机变量X在某一个范围内的概率． 重点，难点

（1）

认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；

（2）

求满足标准正态分布的随机变量X在某一个范围内的概率．

教具准备：多媒体、实物投影仪

。

教学设想：在总体分布研究中我们选择正态分布作为研究的突破口，正态分布在统计学中是最基本、最重要的一种分布。

教学过程

一．问题情境

1．复习频率分布直方图、频率分布折线图的意义、作法；

回顾曲边梯形的面积Sbaf(x)dx的意义．

2．从某中学男生中随机地选出84名，测量其身高，数据如下（单位：cm）：

164

175 170 163 168 161 177 173 165 181 155 178 164

161 174 177 175 168 170 169 174 164 176 181 181

167 178 168 169 159 174 167 171 176 172 174 159

180 154 173 170 171 174 172 171 185 164 172 163

167 168 170 174 172 169 182 167 165 172 171 185

157 174 164 168 173 166 172 161 178 162 172

179

161 160 175 169 169 175 161 155 156 182 182 [来源:学#科#网]上述数据的分布有怎样的特点？

二．学生活动

为了研究身高的分布，可以先根据这些数据作出频率分布直方图．

第一步 对数据分组（取组距d4）；

第二步 列出频数（或频率）分布表；

第三步 作出频率分布直方图，如图 2-6-2．

由图2-6-2可以看出，上述数据的分

布呈“中间高，两边底，左、右大致

对称”的特点．

可以设想，若数据无限增多且组距

[来源:学_科_网]

无限缩小，那么频率直方图的顶边

无限缩小乃至形成一条光滑的曲线，

我们将此曲线称为概率密度曲线．

再观察此概率密度曲线的特征．

三、复习引入：

总体密度曲线:样本容量越大，所分组数越多，各组的频率就越接近于总体在相应各组取值的概率．设想样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线,这条曲线叫做总体密度曲线．

频率/组距总体密度曲线单位Oab

它反映了总体在各个范围内取值的概率．根据这条曲线，可求出总体在区间(a，b)内取值的概率等于总体密度曲线，直线x=a，x=b及x轴所围图形的面积．

观察总体密度曲线的形状，它具有“两头低，中间高，左右对称”的特征，具有这种特征的总体密度曲线一般可用下面函数的图象来表示或近似表示：

,(x)1e2(x)222,x(,)

式中的实数、(0)是参数，分别表示总体的平均数与标准差，象为正态分布密度曲线,简称正态曲线．

四、讲解新课：

1.正态分布

,(x)的图

一般地，如果对于任何实数ab，随机变量X满足

bP(aXb),(x)dx, a

则称 X 的分布为正态分布（normal distribution ) ．正态分布完全由参数和确定，因此正态分布常记作N(,2)．如果随机变量 X 服从正态分布，则记为X～N(,2). 经验表明，一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布．例如，高尔顿板试验中，小球在下落过程中要与众多小木块发生碰撞，每次碰撞的结果使得小球随机地向左或向右下落，因此小球第1次与高尔顿板底部接触时的坐标 X 是众多随机碰撞的结果，所以它近似服从正态分布．在现实生活中，很多随机变量都服从或近似地服从正态分布．例如长度测量误差；某一地区同年龄人群的身高、体重、肺活量等；一定条件下生长的小麦的株高、穗长、单位面积产量等；正常生产条件下各种产品的质量指标（如零件的尺寸、纤维的纤度、电容器的电容量、电子管的使用寿命等）；某地每年七月份的平均气温、平均湿度、降雨量等；一般都服从正态分布．因此，正态分布广泛存在于自然现象、生产和生活实际之中．正态分布在概率和统计中占有重要的地位．

说明:1)参数是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本均值去佑计；

是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本标准差去估计．

2).早在 1733 年，法国数学家棣莫弗就用n！的近似公式得到了正态分布．之后，德国数学家高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它，并研究了它的性质，因此，人们也称正态分布为高斯分布．

2．正态分布N(,2)）是由均值μ和标准差σ唯一决定的分布

通过固定其中一个值，讨论均值与标准差对于正态曲线的影响

3．通过对三组正态曲线分析，得出正态曲线具有的基本特征是两头底、中间高、左右对称正态曲线的作图，书中没有做要求，教师也不必补上讲课时教师可以应用几何画板，形象、美观地画出三条正态曲线的图形，结合前面均值与标准差对图形的影响，引导学生观察总结正态曲线的性质 4．正态曲线的性质：

（1）曲线在x轴的上方，与x轴不相交

在正态曲线下方和x轴上方范围内的区域面积为1．

（2）曲线关于直线x=μ对称 （3）当x=μ时，曲线位于最高点 （4）当x＜μ时，曲线上升（增函数）；当x＞μ时，曲线下降（减函数）并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，向它无限靠近 （5）μ一定时，曲线的形状由σ确定 σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；

σ越小．曲线越“瘦高”．总体分布越集中：

五条性质中前三条学生较易掌握，后两条较难理解，因此在讲授时应运用数形结合的原则，采用对比教学 5．标准正态曲线:当μ=0、σ=l时，正态总体称为标准正态总体，其相应的函数表示式是f(x)12ex22，（-∞＜x＜+∞）

其相应的曲线称为标准正态曲线 标准正态总体N（0，1）在正态总体的研究中占有重要的地位任何正态分布的概率问题均可转化成标准正态分布的概率问题

6．

正态总体在三个特殊区间内取得的概率值：

具体地，如图所示，随机变量X取值

（1）落在区间(,)上的概率约为

68.300，即P(X)0.683；

（2）落在区间(2,2)上的概率约为95.400，即

P(2X2)0.954；

（3）落在区间(3,3)上的概率约为99.700，即

(4).小概率事件的含义

发生概率一般不超过5％的事件，即事件在一次试验中几乎不可能发生 假设检验方法的基本思想:首先，假设总体应是或近似为正态总体，然后，

依照小概率事件几乎不可能在一次试验中发生的原理对试验结果进行分析 假设检验方法的操作程序，即“三步曲”

一是提出统计假设，教科书中的统计假设总体是正态总体；

二是确定一次试验中的a值是否落入(μ-3σ，μ+3σ)；

三是作出判断．

7．

3原则：

服从于正态分布N(,2)的随机变量X只取(3,3)之间的值，并简称为3原则．

8．标准正态分布：

就是随机变量X的方差，事实上，就是随机变量X的均值，它们分别反映X

取值的平均大小和稳定程度．我们将正态分布N(0,1)称为标准正态分布．通过查标准正态分布表（见附表1）可以确定服从标准正态分布的随机变量的有关概率．

1).标准正态总体的概率问题: y2x

对于标准正态总体N（0，1），(x0)是总体取值小于x0的概率，

即 (x0)P(xx0)，

其中x00，图中阴影部分的面积表示为概率P(xx0)只要有标准正态分布表即可查表解决.从图中不难发现:当x00时，(x0)1(x0)；而当x00时，Φ（0）=0.5 2).标准正态分布表

标准正态总体N(0,1)在正态总体的研究中有非常重要的地位，为此专门制作了“标准正态分布表”．在这个表中，对应于x0的值(x0)是指总体取值小

于x0的概率，即

(x0)P(xx0)，(x00)．

若x00，则(x0)1(x0)．

利用标准正态分布表，可以求出标准正态总体在任意区间(x1,x2)内取值的概率，即直线xx1，xx2与正态曲线、

x轴所围成的曲边梯形的面积P(x1xx．

2)(x2)(x1)

9．非标准正态分布转化为标准正态分布：

[来源:学_科_网Z_X_X_K]非标准正态分布XN(,2)可通过zxX转化为标准正态分布zN(0,1)．

可以通过F(x)()转化成标准正态总体，然后查标准正态分布表即可在这里重[来源:学科网]点掌握如何转化首先要掌握正态总体的均值和标准差，然后进行相应的转化

五、典例分析

例1．给出下列三个正态总体的函数表达式，请找出其均值μ和标准差σ （１）f(x)121ex22,x(,)

（２）f(x)22e(x1)28,x(,)

（３）f(x)22(x1)2e,x(,)

2答案：(1)0，1；(2)1，2；(3)-1，0.5 例2求标准正态总体在（-1，2）内取值的概率．

解：利用等式p(x2)(x1)有

p(2)(1)(2)11

=(2)(1)1=0.9772＋0.8413－1=0.8151．

例3. 若x～N(0,1),求(l)P(-2.322). 解：(1)P(-2.32

=(1.2)-[1-(2.32)]=0.8849-(1-0.9898)=0.8747. (2)P(x>2)=1-P(x<2)=1-(2)=l-0.9772=0.0228. 例4．利用标准正态分布表，求标准正态总体在下面区间取值的概率：

(1)在N(1,4)下，求F(3) （2）在N（μ，σ）下，求Ｆ（μ－σ，μ＋σ）；

Ｆ（μ－1.84σ，μ＋1.84σ）；Ｆ（μ－2σ，μ＋2σ）；

Ｆ（μ－3σ，μ＋3σ）

2

31)＝Φ（1）＝0.8413 2)＝Φ（1）＝0.8413 （２）Ｆ（μ＋σ）＝(解：（１）F(3)＝()＝Φ（－1）＝１－Φ（1）＝１－0.8413＝0.1587 Ｆ（μ－σ）＝(Ｆ（μＦ（μＦ（μＦ（μ－σ，μ＋σ）＝Ｆ（μ＋σ）－Ｆ（μ－σ）＝0.8413－0.1587＝0.6826 －1.84σ，μ＋1.84σ）＝Ｆ（μ＋1.84σ）－Ｆ（μ－1.84σ）＝0.9342 －2σ，μ＋2σ）＝Ｆ（μ＋2σ）－Ｆ（μ－2σ）＝0.954 －3σ，μ＋3σ）＝Ｆ（μ＋3σ）－Ｆ（μ－3σ）＝0.997 对于正态总体N(,2)取值的概率：

68.3%x95.4%x99.7%x2σ4σ6σ

在区间（μ-σ，μ+σ）、（μ-2σ，μ+2σ）、（μ-3σ，μ+3σ）内取值的概率分别为68.3%、95.4%、99.7%因此我们时常只在区间（μ-3σ，μ+3σ）内研究正态总体分布情况，而忽略其中很小的一部分 例5．某正态总体函数的概率密度函数是偶函数，而且该函数的最大值为体落入区间（－1.2，0.2）之间的概率 解：正态分布的概率密度函数是f(x)12，求总12e(x)222,x(,)，它是偶函数，说明μ＝0，f(x)的最大值为f()＝布 12，所以σ＝1，这个正态分布就是标准正态分P(1.2x0.2)(0.2)(1.2)(0.2)[1(1.2)](0.2)(1.2)1

例6．在某次数学考试中，考生的成绩X服从一个正态分布，即X试成绩X位于区间(70,110)上的概率是多少？

解：

法一（将非标准正态分布转化为标准正态分布）：

N(90,100)．试求考P(70X110)P( 7090X9011090)P(2Z2)P(Z2)P(Z2)101010P(Z2)1P(Z2)2P(Z2)120.977210.95440.954．

法二（3原则）：因为XN(90,100)，所以90,10010．

由于正态变量在区间(2,2)内取值的概率是0.954，而该正态分布

29021070，290210110，

所以考试成绩X位于区间(70,110)上的概率就是0.954．

六、

课堂练习

1．一台机床生产一种尺寸为10mm的零件，现在从中抽测10个，它们的尺寸分别如下（单位：mm）：10.2，10.1，10，9.8，9.9，10.3，9.7，10，9.9，10.1，如果机床生产零件的尺寸Y服从正态分布，求正态分布的概率密度函数式．

[来源:学科网ZXXK]解：由题意得1(10.210.1109.89.910.39.7109.910.1)10，

1021[(10.210)2(10.110)2(1010)2(9.810)2(9.910)2(10.310)2102 (9.710)2(1010)2(9.910)2(10.110)2]0.03，即10，0.03．

所以Y的概率密度函数为P(x)10e650(x10)23,xR．

2．若随机变量Z~N(0,1)，查标准正态分布表，求：

（1）P(Z1.52)；

（2）P(Z1.52)；

（3）P(0.57x2.3)；

（4）P(Z1.49)．

解：（1）P(Z1.52)0.9357．

（2）P(Z1.52)1P(Z1.52)10.93570.0643．

（3）P(0.57x2.3)P(Z2.3)P(Z0.57)0.98930.71570.2736；

（4）

P(Z1.49)P(Z1.49)

1P(Z1.49)10.93190.0681．