二 用数学归纳法证明不等式板书设计及意图

用数学归纳法证明不等式

1．利用数学归纳法证明不等式

在不等关系的证明中，方法多种多样，其中数学归纳法是常用的方法之一．在运用数学归纳法证明不等式时，由n＝k成立，推导n＝k＋1成立时，常常要与其他方法，如比较法、分析法、综合法、放缩法等结合进行．

2．归纳—猜想—证明的思想方法

数学归纳法作为一种重要的证明方法，常常体现在“归纳—猜想—证明”这一基本思想方法中．一方面可用数学归纳法证明已有的与自然数有关的结论；更重要的是，要用不完全归纳法去发现某些结论、规律并用数学归纳法证明其正确性，形成“观察—归纳—猜想—证明”的思想方法．

[例1]

证明：2n＋2>n2，n∈N＋. [思路点拨]

验证n＝1，2，3假设n＝k成立，n＝k＋1成―→―→

时，不等式成立推证n＝k＋1立，结论得证[证明]

(1)当n＝1时，左边＝21＋2＝4；右边＝1，

左边>右边；

当n＝2时，左＝22＋2＝6，右＝22＝4，所以左边>右边；

当n＝3时，左＝23＋2＝10，右＝32＝9，所以左边>右边．

因此当n＝1,2,3时，不等式成立．

(2)假设当n＝k(k≥3且k∈N＋)时，不等式成立．

当n＝k＋1时，

2k1＋2 ＋利用数学归纳法证明不等式

＝2·2k＋2 ＝2(2k＋2)－2>2k2－2 ＝k2＋2k＋1＋k2－2k－3 ＝(k2＋2k＋1)＋(k＋1)(k－3)(因k≥3，则k－3≥0，

k＋1>0)≥k2＋2k＋1＝(k＋1)2. 所以2k1＋2>(k＋1)2.故当n＝k＋1时，原不等式也成立．

＋根据(1)(2)，原不等式对于任何n∈N都成立．

数学归纳法证明不等式的技巧

(1)证明不等式时，由n＝k到n＝k＋1时的推证过程与证明等式有所不同，由于不等式中的不等关系，需要我们在证明时，对原式进行“放大”或者“缩小”才能使用到n＝k时的假设，所以需要认真分析，适当放缩，才能使问题简单化，这是利用数学归纳法证明不等式时常用的方法之一．

(2)数学归纳法的应用通常需要与数学的其他方法联系在一起，如比较法、放缩法、配凑法、分析法和综合法等，才能完成证明过程．

11151．用数学归纳法证明：＋＋…＋>(n≥2，n∈N＋)．

3n6n＋1n＋211115证明：(1)当n＝2时，左边＝＋＋＋>，不等式成立．

34566(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N＋)时，不等式成立．即

1115＋＋…＋>.当n＝k＋1时，

3k6k＋1k＋21111115＋＋…＋＋＋＋>＋3k6k＋1＋1k＋1＋23k＋13k＋23k＋11＋1＋1－1>5＋3×1－1＝5. 3k＋13k＋23k＋3k＋163k＋3k＋16∴当n＝k＋1时，不等式也成立．

由(1)(2)知，原不等式对一切n≥2，n∈N＋均成立．

2．用数学归纳法证明：

11111＋2＋2＋…＋2<2－(n≥2，n∈N＋)．

23nn1513证明：(1)当n＝2时，1＋2＝<2－＝，不等式成立．

24221111(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N＋)时不等式成立，即1＋2＋2＋…＋2<2－，

23kk1111111111当n＝k＋1时，1＋2＋2＋…＋2＋＝2－＋－2<2－＋2<2－＋23kk＋1kk＋1kkk＋1kk11＝2－，不等式成立．

k＋1k＋1由(1)(2)知原不等式在n≥2，n∈N＋时均成立．

nn－123．设Pn＝(1＋x)n，Qn＝1＋nx＋x，n∈N＋，x∈(－1，＋∞)，试比较Pn与Qn2的大小，并加以证明．

解：(1)当n＝1,2时，Pn＝Qn.

(2)当n≥3时，(以下再对x进行分类)．

①若x∈(0，＋∞)，显然有Pn>Qn. ②若x＝0，则Pn＝Qn. ③若x∈(－1,0)，

则P3－Q3＝x3<0，所以P3

则Pk＋1＝(1＋x)Pk<(1＋x)Qk＝Qk＋xQk

3kk－1x22kk－1x＝1＋kx＋＋x＋kx＋

22kk＋12kk－13＝1＋(k＋1)x＋x＋x

22kk－13＝Qk＋1＋x

2即当n＝k＋1时，不等式成立．

所以当n≥3，且x∈(－1,0)时，Pn

[例2]

设f(n)>0(n∈N＋)，对任意自然数n1和n2总有f(n1＋n2)＝f(n1)f(n2)，又f(2)＝4. (1)求f(1)，f(3)的值．

(2)猜想f(n)的表达式，并证明你的猜想．

[思路点拨]

利用f(n1＋n2)＝f(n1)f(n2)可求出f(1)，f(3)再猜想f(n)，利用数学归纳法给出证明．

[解]

(1)由于对任意自然数n1和n2，

总有f(n1＋n2)＝f(n1)·f(n2)．

取n1＝n2＝1，得f(2)＝f(1)·f(1)，即f2(1)＝4. ∵f(n)>0(n∈N＋)，

∴f(1)＝2. 取n1＝1，n2＝2，得f(3)＝23. (2)由f(1)＝21，f(2)＝4＝22，f(3)＝23，

猜想f(n)＝2n. 证明：①当n＝1时f(1)＝2成立；

②假设n＝k时，f(k)＝2k成立．

f(k＋1)＝f(k)·f(1)＝2k·2＝2k1，

＋归纳—猜想—证明

这就是说当n＝k＋1时，猜想也成立．

由①②知猜想正确，即f(n)＝2n.

利用数学归纳法解决探索型不等式的思路是：观察——归纳——猜想——证明．即先通过观察部分项的特点．进行归纳，判断并猜想出一般结论，然后用数学归纳法进行证明．

4．在数列{an}、{bn}中，a1＝2，b1＝4，且an，bn，an＋1成等差数列，bn，an＋1，bn＋1成等比数列(n∈N＋)．

(1)求a2，a3，a4及b2，b3，b4的值，由此猜测{an}，{bn}的通项公式；

(2)证明你的结论．

解：(1)由条件得2bn＝an＋an＋1，a2n＋1＝bnbn＋1. 由此可得a2＝6，b2＝9，a3＝12，b3＝16，a4＝20，b4＝25. 猜测an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2. (2)用数学归纳法证明：①当n＝1时，由上知结论成立．

②假设当n＝k时，结论成立．

即ak＝k(k＋1)，bk＝(k＋1)2，

那么当n＝k＋1时，ak＋1＝2bk－ak＝

2(k＋1)2－k(k＋1)＝(k＋1)(k＋2)．

a2k＋1bk＋1＝＝(k＋2)2. bk所以当n＝k＋1时，

结论也成立．

由①②，可知an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2对一切正整数都成立．

5．是否存在常数a，b，c使等式12＋22＋32＋…＋n2＋(n－1)2＋…＋22＋12＝an(bn2＋c)对于一切n∈N＋都成立，若存在，求出a，b，c并证明；若不存在，试说明理由．

解：假设存在a，b，c使12＋22＋32＋…＋n2＋(n－1)2＋…＋22＋12＝an(bn2＋c)，对于一切n∈N＋都成立．

当n＝1时，a(b＋c)＝1；

当n＝2时，2a(4b＋c)＝6；

当n＝3时，3a(9b＋c)＝19. ab＋c＝1，解方程组a4b＋c＝3，3a9b＋c＝19，证明如下：

解得b＝2，c＝1.1a＝，3

①当n＝1时，由以上知存在常数a，b，c使等式成立．

②假设n＝k(k∈N＋)时等式成立，

即12＋22＋32＋…＋k2＋(k－1)2＋…＋22＋12

1＝k(2k2＋1)；

3当n＝k＋1时，

12＋22＋32＋…＋k2＋(k＋1)2＋k2＋(k－1)2＋…＋22＋12

1＝k(2k2＋1)＋(k＋1)2＋k2

31＝k(2k2＋3k＋1)＋(k＋1)2

31＝k(2k＋1)(k＋1)＋(k＋1)2

31＝(k＋1)(2k2＋4k＋3) 31＝(k＋1)[2(k＋1)2＋1]．

3即n＝k＋1时，等式成立．

1因此存在a＝，b＝2，c＝1使等式对一切n∈N＋都成立．

3

11－－1．用数学归纳法证明“对于任意x>0和正整数n，都有xn＋xn2＋xn4＋…＋n－4＋n－2xx1＋n≥n＋1”时，需验证的使命题成立的最小正整数值n0应为(

) xA．n0＝1

C．n0＝1,2

B．n0＝2

D．以上答案均不正确

1解析：需验证：n0＝1时，x＋≥1＋1成立．

x答案：A 2．用数学归纳法证明“2n>n2＋1对于n≥n0的正整数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取(

) A．2 C．5

B．3

D．6 解析：n取1,2,3,4时不等式不成立，起始值为5. 答案：C 1113．用数学归纳法证明“1＋＋＋…＋n1)”时，由n＝k(k>1)不等式232－1成立，推证n＝k＋1时，左边应增加的项数是(

)

A．2k1

－

B．2k－1

D．2k＋1 ＋C．2k

解析：由n＝k到n＝k＋1，应增加的项数为(2k1－1)－(2k－1)＝2k项．

答案：C 111m4．若不等式＋＋…＋＞对大于1的一切自然数n都成立，则自然数m的2n24n＋1n＋2最大值为(

) A．12 C．14 解析：令f(n)＝以[f(n)]min＞

B．13

D．不存在

111＋＋…＋，取n＝2,3,4,5等值，发现f(n)是单调递增的，所2nn＋1n＋2mm，所以由f(2)＞，求得m的最大值为13. 2424答案：B n＋21115．证明<1＋＋＋…＋1)，当n＝2时．要证明的式子为________．

2232n解析：当n＝2时，要证明的式子为

1112<1＋＋＋<3. 234111答案：2<1＋＋＋<3 23412n＋1111＋1＋…1＋6．用数学归纳法证明“352n－1>2”时，n的最小取值n0为________．

解析：左边为(n－1)项的乘积，故n0＝2. 答案：2 7．设a，b均为正实数(n∈N＋)，已知M＝(a＋b)n，N＝an＋nan1b，则M，N的大小关－系为________ 解析：当n＝1时，M＝a＋b＝N. 当n＝2时，M＝(a＋b)2，N＝a2＋2ab

≥N. 答案：M

≥N

8．用数学归纳法证明，对任意n∈N＋，有

1111＋＋＋…＋≥n2. (1＋2＋…＋n)n23证明：(1)当n＝1时，左边＝右边，不等式成立．

191＋＝>22，不等式成立．

当n＝2时，左边＝(1＋2)22111＋＋…＋≥k2. (2)假设当n＝k(k≥2)时不等式成立，即(1＋2＋…＋k)k2则当n＝k＋1时，有

1＋1＋…＋1左边＝[(1＋2＋…＋k)＋(k＋1)]k2

1＋k＋1

1111＋1＋…＋1＋1≥k21＋＋…＋＋(1＋2＋…＋k)＝(1＋2＋…＋k)＋(k＋1)×kk22k＋111k1＋＋…＋. ＋＋1＋(k＋1)k221113∵当k≥2时，1＋＋…＋≥1＋＝，(*) 2k22k33∴左边≥k2＋＋1＋(k＋1)×＝k2＋2k＋1＋≥(k＋1)2. 222这就是说当n＝k＋1时，不等成立，由(1)、(2)可知当n≥1时，不等式成立．

9．设数列{an}满足an＋1＝a2n－nan＋1，n＝1,2,3…. (1)当a1＝2时，求a2，a3，a4，并由此猜想出an的一个通项公式；

(2)当a≥3时，证明对所有的n≥1，有an≥n＋2. 解：(1)由a1＝2，得a2＝a21－a1＋1＝3，

由a2＝3，得a3＝a22－2a2＋1＝4，

由a3＝4，得a4＝a23－3a3＋1＝5. 由此猜想an的一个通项公式：

an＝n＋1(n≥1)．

(2)证明：用数学归纳法证明．

①当n＝1，a1≥3＝1＋2，不等式成立．

②假设当n＝k时不等式成立，

即ak≥k＋2，那么，当n＝k＋1时．

ak＋1＝ak(ak－k)＋1≥(k＋2)(k＋2－k)＋1≥k＋3，

也就是说，当n＝k＋1时，

ak＋1≥(k＋1)＋2. 根据①和②，对于所有n≥1，有an≥n＋2. a·2x＋a－210．设a∈R，f(x)＝是奇函数，

2x＋1(1)求a的值；(2)如果g(n)＝n(n∈N＋)，试比较f(n)与g(n)的大小(n∈N＋)．

n＋1

解：(1)∵f(x)是定义在R上的奇函数，

∴f(0)＝0.故a＝1. 2n－12n－2n－1n(2)f(n)－g(n)＝n－＝. 2＋1n＋12n＋1n＋1只要比较2n与2n＋1的大小．

当n＝1,2时，f(n)

当n≥3时，2n>2n＋1，f(n)>g(n)．

下面证明，n≥3时，2n>2n＋1，即f(x)>g(x)．

①n＝3时，23>2×3＋1，显然成立，

②假设n＝k(k≥3，k∈N＋)时，2k>2k＋1，

那么n＝k＋1时，2k1＝2×2k>2(2k＋1)．

＋2(2k＋1)－[2(k＋1)＋1]＝4k＋2－2k－3＝2k－1>0(∵k≥3)，

有2k1>2(k＋1)＋1. ＋∴n＝k＋1时，不等式也成立，由①②可以判定，n≥3，n∈N＋时，2n>2n＋1. 所以n＝1,2时，f(n)g(n)．