2.2.1 综合法和分析法特级教师教学实录

人教版高中数学选修1—2 2.2.1直接证明--综合法与分析法教案

三维目标：

知识与技能：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。

过程与方法: 多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力；

情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。

教学重点：会用综合法和分析法证明问题；了解综合法和分析法的思考过程. 教学难点：根据问题的特点，结合综合法的思考过程、特点，选择适当的证明方法. 教学过程：

一、问题情境：

如图，四边形ABCD是平行四边形

求证：AB=CD，BC=DA 证明：

连接AC，因为四边形ABCD是平行形四边形，

所以 AB//CD，BC//DA

故因为12，34.ACCA

所以ABCCDA

故 AB=CD,BC=DA.

1

二、讲授新课：

1 概念

直接从原命题的条件逐步推得命题成立

2 直接证明的一般形式：

本题条件已知定义本题结论已知公理已知定理

直接证明（学生活动）思考：在《数学（必修）》中，我们如何证明5ab基本不等式ab(a0,b0)?2证法1

对于正数a,b, 有

（a2b）0

ab2ab2ab2ab0abab

ab2证法2

要证

只要证

2ab

abab

只要证

0a2abb

只要证

0(ab)2

因为最后一个不等式成立，故结论成立。

讨论上述两种证法有什么异同？

相同：都是直接证明

不同：证法1 从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止 综合法

2

证法2 从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件吻合为止 分析法

综合法(顺推证法、由因导果法) 利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论或所要解决的问题的结果。

条件

定义

定理

公理

条件

结论

推理论证

框图表示：分析法(逆推证法、执果索因法) 一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）。

用Q表示要证明的结论，则分析法可用框图表示为：

分析法格式：

要证

只需证

只需证

所以

结论成立

3.典例精讲

例1、已知SA平面ABC,ABBC,过A作SB的垂线，垂足为E,过E作SC的垂线，垂足为F.求证：AFSC

3

S

F

E

A

B

例2如图，已知AB，CD交于点O，ACOBDO，AEBF，求证：CEDF.

证

（综合法）

因为ACOBDO

所以

CODOAOBO

因为

AEBF（已知）

EOFO所以 又因为

所以

EOCFOD（对顶角相等）EOCFOD

所以

ECFD

FOD证（分析法）要证明CE=DF，只需证明

EOC

4

CODOEOCFODEOFO为此只需证明



为了证明



ACO

BDO（已知）CODO

只需

为了证明

AOBO（因为已知AEBF）EOFOEOC与FOD只需证明

ACO



EOC

FODBDO也只需

因为 是对顶角，所以它们相等，从而

成立，因成立，因此命题成立.

a,b,c4.

课堂练习

B90ab1.若a1,b1,求证：1.1ab

2.△ABC三边长 的倒数成等差数列，求证：

5.小结：分析法 解题方向比较明确，利于寻找解题思路；

综合法 条理清晰，易于表述。

通常以分析法寻求思路，再用综合法有条理地表述解题过程

三、课后巩固练习：

5

1. 求证：对于任意角θ，cos4sin4cos2. 2. ABC的三个内角A,B,C成等差数列，求证：113. 板书设计

课题

例题

知识点

小结

教学反思

abbcabc练习

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