3.1.2 复数的几何意义教案设计

数系的扩充和复数及几何意义

一．教学目标

（一）知识与技能

(1) 了解数系扩充的过程；

(2) 理解复数的基本概念与复数相等的充要条件. （二）过程与方法

(1) 通过数系扩充历史的剖析，让学生体会数系扩充的必要性及一般方法；

(2)类比前几次数系的扩充，让学生了解数系扩充后，新数与原数、新数与新数可以进行四则运算，且进行四则运算时，原有的加法、乘法运算律仍然成立.在此基础上，理解复数的基本概念，复数相等的条件并能进行简单的运用. （三）情感态度与价值观

(1) 虚数单位i的引入，产生了复数集，让学生体验在这个过程中蕴含的创新精神和实践能力，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系；

(2) 初步学会运用矛盾转化，分与合，实与虚等辩证唯物主义观点看待和处理问题；

(3) 让学生在问题生成和解决的过程中体验类比、化归等思想方法，提高数学素养，培养创新意识. 二、教学重点、难点：

（1）重点：体会数的概念的发展和数系扩充的过程，从中感受实

际需求与数学内部的矛盾在数系扩充过程中的作用，并认识数系扩充的原则；

（2）难点：认识到实数系向复数系扩充的必要性，并掌握如何将实数系扩充到复数系，从而掌握复数的相关概念。

三、教学方法与教学手段：

创设情境、启发引导

[来源学科网]四、教学过程设计：

（一）人类对数的认识过程的回顾

先回顾数的发展史（到实数为止），即教材中的“为了计数的需要产生了自然数，为了测量等需要产生了分数，不了刻画具有相反意义的量产生了负数，为了解决度量正方形对角线的长的问题产生了无理数，等等”。

紧接着介绍数学史上16世纪意大利数学家卡尔丹在其著作《大术》一书中提出的这样一个问题“将10分为两部分，使得两部分之积为40”。他将其中一部分设为x,另一部分则为10-x，于是得到方程x(10-x)=40，

请学生解一下这个方程（学生：无解）。为什么无解？（△<0）

1545年，意大利数学家卡尔丹讨论了这样的问题：“将10分成两部分，使两者的乘积等于40”。他认为把答案写成“515”和“515”就可以满足要求. [来源:Zxxk.Com]

但15表示什么意义呢？在很长时间内，数学家都认为这样的式子没有意义，是虚构的，想象的.

可是，在实数集中，我们的确面临着负数不能开平方，一些二次方程无解的问题.人类总是想使自己遇到的一切都能有合理的解释，不想得到“无解”的答案.于是，数的概念需要进一步发展，数系需要进一步扩充. 怎样进行数系的扩充？

(通过上述过程是为了让学生体验到人类的认识过程是一个从简单到复杂、从低级到高级的过程，数的发展是为了满足人们生产生活的需要，也是为了解决因研究探索而形成的认知冲突。在数学文化背景下设计的问题串，是为了让学生充分地感受到实数集扩充的必要性，并感受在面对用理性思维进行研究探索而形成的认知冲突时，要有科学精神，要以理性精神、发展的观点认识新问题，发展新观念。) （二）数学学科内部数的扩充过程的回顾

再回顾数学学科中数的扩充过程，即教材中“在自然数集中，加法和乘法总可以实施，但是由于小数不能减大数，方程x+1=0无解，为此引入负数，数集扩大到整数集。在整数集中，加法、减法、乘法总可以实施，但由于除法只能解决整除的问题，方程3x-2=0无解，为此引入分数，数集扩大到有理数集。在有理数集中，加法、减法、乘法和除法（除数不为0）总可以实施，但是开方的结果可能不是有理数，方程x2-2=0无解，为此引入无理数，数集扩大到实数集。在实数集中。加、减、乘、除（除数不为0）总可以实施，并解决了正数开平方的问题”。

（其中重点以有理数集向实数集扩充为例，让学生感受数集扩充的过

程和数集扩充遵循的原则，从而为实数集向复数集扩充做好铺垫。）

（三）实数系向复数系扩充

1．引入一个新数i ，叫作虚数单位，并规定：

2（1）i1； （2）实数可以与i进行四则运算，进行四则运算时，原有的加法、乘法运算律仍然成立．显然这样能构造出全新的数，让学生构造这类新数．[来源:Zxxk.Com]

[来源:学,科,网]2. 总结出：把形如a+bi（a,b∈R ）的数叫作复数．全体复数所组成的集合叫作复数集，记作C．

复数通常用字母z表示，即z = a+bi (a,b∈R），

其中a与b分别叫作复数z的实部与虚部．

当b = 0时, z就是实数

；当b≠0时, z就是虚数

；

当a = 0且b≠0时，z = bi叫作纯虚数．

（四）复数的分类

思考: 复数集与实数集、虚数集、纯虚数集之间有什么关系？复数集比实数集多了哪种类型的数？

引出复数的分类，并用文氏图直观地表示出几个数集之间的关系。（在例题1几个复数直观展示下，提出问题9、问题10，很容易让学生对复数进行分类，并进一步感知了几个数集之间的关系。用例1进行巩固。）

虚数集复数集纯虚数集实数集



i

,

5

例1：指出复数4，2-3i, 0,

2

i

,

6i中的实数、虚1243数及纯虚数。

14i,2352i,解：4，0是实数；2-3i，

6i是虚数其中6i是纯虚数。

（五）概念的巩固



2

i

,

5

例1：写出复数4，2-3i, 0,

i,

6i的实部与虚部。

1243解：上述复数的实部分别是4，2，0，，5，0；虚部分别是0，-3，0，，2，6。指出：a+bi(a∈R,b∈R)的虚部是b,而不是bi

例2：实数m取什么值时，复数Z=m(m-1)+(m-1)i是：

（1）实数？

（2）虚数？

（3）纯虚数？

分析：由m∈R可知(m-1)，m(m-1)都是实数，根据复数a+bi是实数、虚数和纯虚数的条件可以分别确定m的值。

解：（1）当m-1=0,即m=1时，复数z是实数。（2）当m-1≠0,即m≠1时，复数z是虚数。

（3）当m(m-1)=0，且m-1≠0，即m=0时，复数z是纯虚数。

（六）两个复数相等的条件

例3：已知(x+y)+(x-2y)i=(2x-5)+(3x+y)i，求实数x,y的值。

解：根据两个复数相等的充要条件，可得

[来源:Zxxk.Com]1243

x+y=2x-5，x-2y=3x+y；

解得：x=3,y=-2。

变式：求适合方程中的x与y(x,yR)的值.求适合方程

2x25x3(y2y6)i0中的x与y（x，yR）的值

六、小结

（回到实数集需要扩充的起点，说明了实数集扩充成复数集后，解决了认知上的冲突，证实了扩充的合理性，并为下一结课研究复数的运算埋下了伏笔）

七、作业：

（1）阅读材料

（2）P59：练习：1、2、3、4

（阅读材料旨在让学生进一步了解复数的历史、价值和意义，并再次感受要以科学的精神、理性的思维以及发展的观点来认识新问题、发展新观念。习题是为了让学生巩固本节课所学）

教学设计说明：

1．

这是一节新概念“复数”的引入课．学生在过去的学习中虽已经历了三次数系的扩充，但对数系的发展基本上是只知结果，不知过程的．故本节课首先要让学生知道数系扩充的必要性，然后明白引入新数的合理性．因此本节课的教学重点是数系扩充的过程和复数的相关概念．难点是怎么让学生从回顾前三次的数系扩充中总结出虚数引入的必要性和引入新数的合理性．

2．教学方法上，我准备通过展示情景,运用问题引导学生观察、思考、讨论、交流，发现问题，提出问题．学生从已掌握的数学知识出发，自然而然的去类比如何解决遇到的新问题．让学生自己发现“虚数”引入的必要性，及引入的新数应该满足什么规则．构造新数这一环节，

目的是锻炼学生的归纳总结的能力，同时也让学生感受数学中无处不在的统一和谐的美．

3．这节课是渗透数学史的一个大好良机．课前我会让学生通过互联网去了解这段数系的发展历史，感受数学发展和生活发展的互相促进和统一，感受数学发展的美，提高学生的数学素养．

4．最后的反思升华有两个用意．一让学生巩固本节课的概念，总结四十分钟的收获；二让学生对后面即将开始学习的内容有一定的认识和激起他们学习的欲望．