复习参考题设计意图

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(时间：120分钟

满分：150分) 一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分) 1.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若c＝4，a＝42，A＝45°，则sin C等于(

) 1A.2

1C.4

2B.2

2D.4

22sin A1解析

由正弦定理得sin C＝c·a＝4×＝2.

42答案

A 2.函数y＝ln（x＋1）的定义域为(

) －x2－3x＋4B.(－4，1) D.(－1，1] A.(－4，－1)

C.(－1，1)

x＋1＞0，解析

由题2⇒－1＜x＜1.

－x－3x＋4＞0答案

C S4S63.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S1＝1，S＝4，则S的值为(

) 243A.2

9C.4

S69∴S4＝16，S6＝36，∴S＝4.

45B.4

D.4 解析

设公差为d，则S4＝4a1＋6d，S2＝2a1＋d，结合S4＝4S2得d＝2，

答案

C 4.已知在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝3∶2∶4，那么cos C的值为(

) 1A.－4

1B.4

C.－23

D.23

解析

由题意知，sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c＝3∶2∶4，

设a＝3k，b＝2k，c＝4k，

∴cos C＝a2＋b2－c2（3k）2＋（2k）2－（4k）212ab＝2·3k·2k＝－4.

答案

A 5.已知等差数列{an}的前n项和为18，若S3＝1，an＋an－1＋an－2＝3，则n等于(A.9

B.21 C.27

D.36 解析

S3＋an＋an－1＋an－2＝4＝3(a1＋an)，

∴a＋a41n＝3，

又Sn（a1＋an）n43n＝2＝2＝18，

∴n＝27.

答案

C 6.已知点P(x，y)满足条件y≥0，y≤x，则z＝x－3y的最小值为(

) 2x＋y－9≤0，A.9

B.－6

C.－9

D.6 解析

作出可行域如图所示的阴影部分.

由目标函数z＝x－3y得：y＝1z3x－3，

∴－z3为直线在y轴上的截距.

)

1∴平移直线l0：y＝3x，当直线经过点A时，z取得最小值.

x－y＝0，x＝3，∵∴∴A(3，3).

2x＋y－9＝0，y＝3，∴zmin＝3－3×3＝－6.

答案

B 7.如图，一轮船从A点沿北偏东70°的方向行驶10海里至海岛B，又从B沿北偏东10°的方向行驶10海里至海岛C，若此轮船从A点直接沿直线行驶至海岛C，则此船沿________方向行驶________海里至海岛C(

)

A.北偏东60°；102 B.北偏东40°；103 C.北偏东30°；103 D.北偏东20°；102 解析

由已知得在△ABC中，∠ABC＝180°－70°＋10°＝120°，

AB＝BC＝10，故∠BAC＝30°，

所以从A到C的航向为北偏东70°－30°＝40°，

1由余弦定理得AC＝AB＋BC－2AB·BCcos∠ABC＝10＋10－2×10×10－2＝22222300，

所以AC＝103.

答案

B 3x＋2y－6≤0，8.设x，y满足约束条件x≥0，则z＝x－y的取值范围是(

y≥0，A.[－3，0]

B.[－3，2]

)

C.[0，2]

D.[0，3] 解析

画出不等式组表示的可行域(如图阴影部分所示)，结合目标函数的几何意义可得函数在点A(0，3)处取得最小值z＝0－3＝－3，在点B(2，0)处取得最大值z＝2－0＝2.

答案

B 9.当x＞0时，不等式x2－mx＋9＞0恒成立，则实数m的取值范围是(

) A.(－∞，6)

C.[6，＋∞)

B.(－∞，6] D.(6，＋∞) 9x·x99解析

由题意得：当x＞0时，mx＜x2＋9，即m＜x＋x恒成立.又有x＋x≥2 9＝6，当且仅当x＝x，即x＝3时，等号成立.则实数m的取值范围是(－∞，6).

答案

A 2x－y＋2≥0，10.设x，y满足约束条件8x－y－4≤0，若目标函数z＝abx＋y(a，b＞0)的最大值x≥0，y≥0，为8，则a＋b的最小值为(

) A.2

C.6

B.4 D.8 解析

原不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，当直线z＝abx＋y(a＞0，b＞0)过直线2x－y＋2＝0与直线8x－y－4＝0的交点(1，4)时，目标函数z＝abx＋y(a＞0，b＞0)取得最大值8，即8＝ab＋4，即ab＝4，所以a＋b≥2ab＝4，当且仅当a＝b＝2时，等号成立.所以a＋b的最小值为4.

答案

B 211.等差数列{an}满足a24＋a7＋2a4a7＝9，则其前10项之和为(

) A.－9

C.15

22解析

a24＋a7＋2a4a7＝(a4＋a7)＝9，

B.－15 D.±15 ∴a4＋a7＝±3，∴a1＋a10＝±3，

10（a1＋a10）∴S10＝＝±15.

2答案

D 12.在各项均为正数的等比数列{an}中，公比q∈(0，1).若a3＋a5＝5，a2·a6＝4，S1S2Snbn＝log2an，数列{bn}的前n项和为Sn，则当1＋2＋…＋n取最大值时，n的值为(

) A.8

C.8或9

B.9 D.17 解析

∵a2·a6＝a3·a5＝4，且a3＋a5＝5，

∴a3，a5是方程x2－5x＋4＝0的两个根.

又∵等比数列{an}各项均为正数且q∈(0，1)，

∴a3＝4，a5＝1.

a511∴q2＝a＝4，∴q＝2.

3

1n－31n－52∴an＝4·＝2，∴bn＝log2an＝5－n.

（9－n）·nSn9－n∴Sn＝，∴2n＝2.

S1S2Sn1Tn＝1＋2＋…＋n＝4(－n2＋17n)

1172289＝4－n－＋.

24∴当n＝8或9时，Tn取得最大值.

答案

C 二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分) 13.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知a，b，c成等比数列，c且a2－c2＝ac－bc，则bsin B的值为________. 解析

∵a，b，c成等比数列，∴b2＝ac.

又∵c2－a2＝bc－ac，∴b2＋c2－a2＝bc.

b2＋c2－a2bc在△ABC中，由余弦定理得cos A＝2bc＝2bc

1＝2，∴A＝60°.

ab3b由正弦定理得sin A＝sin B，∴sin B＝2a.

c2ac2∴bsin B＝＝3.

3b2323答案

3

14.若关于x的不等式x2－ax－a≤－3有解，则实数a的取值范围为____________________. 解析

由题意知，只需y＝x2－ax－a的最小值不大于－3即可.

－4a－a2即≤－3，

4解得a≤－6或a≥2.

答案

(－∞，－6]∪[2，＋∞) 15.已知数列{an}满足：a1＝1，an＋1－an＝1，则使an＜25成立的n的最大值为________.

解析

易知{an}为等差数列，

首项为a1＝1，公差为1，

∴an＝1＋(n－1)＝n，

∴an＝n2，

令n2＜25，∴n＜5，∴n≤4.

答案

4 16.已知△ABC的一个内角为120°，且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC的面积为________. 解析

不妨设A＝120°，c＜b，则a为最长边，故a＝b＋4，c＝b－4，由余弦定理，得

a2＝b2＋c2－2bccos A，即

(b＋4)2＝b2＋(b－4)2－2b(b－4)cos 120°，

化简得b2－10b＝0，

∴b＝10或b＝0(舍去)，

∴c＝6，

1S△ABC＝2bcsin A＝153.

答案

153 三、解答题(本大题共6个小题，共70分) 17.(10分)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(2a－c)cos B＝bcos C. (1)求内角B的大小；

(2)设m＝(sin A，cos 2A)，n＝(4k，1)(k＞1)，m·n的最大值为5，求k的值. 解

(1)由正弦定理及(2a－c)cos B＝bcos C，

得(2sin A－sin C)cos B＝sin Bcos C，

整理得2sin Acos B＝sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin(B＋C)＝sin A，

因为A∈(0，π)，所以sin A≠0，

π1故cos B＝2，所以B＝3.

(2)m·n＝4ksin A＋cos 2A＝－2sin2A＋4ksin A＋1，

2π其中A∈0，，设sin A＝t，t∈(0，1]，则

3m·n＝－2t2＋4kt＋1＝－2(t－k)2＋1＋2k2.

又k＞1，故当t＝1时，m·n取得最大值.

3由题意得－2＋4k＋1＝5，解得k＝2. 18.(12分)已知数列{an}的前n项和为Sn＝2n＋2－4. (1)求数列{an}的通项公式；

(2)设bn＝an·log2an，求数列{bn}的前n项和Tn. 解

(1)因为Sn＝2n＋2－4，所以a1＝S1＝4，

n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋2－4－(2n＋1－4)＝2n＋1，显然a1也符合该表达式.所以an＝2n＋1.

(2)因为bn＝an·log2an＝(n＋1)·2n＋1，

所以Tn＝2·22＋3·23＋4·24＋…＋n·2n＋(n＋1)·2n＋1，①

2Tn＝2·23＋3·24＋4·25＋…＋n·2n＋1＋(n＋1)·2n＋2，②

②－①得，

Tn＝－2·22－23－24－…－2n＋1＋(n＋1)·2n＋2

23（1－2n－1）＝－2－＋(n＋1)·2n＋2

1－23＝－23－23(2n－1－1)＋(n＋1)·2n＋2

＝(n＋1)·2n＋2－23·2n－1＝n·2n＋2. 19.(12分)甲乙两地生产某种产品，他们可以调出的数量分别为300吨、750吨.A，B，C三地需要该产品数量分别为200吨，450吨，400吨，甲地运往A，B，C三地的费用分别为6元/吨、3元/吨，5元/吨，乙地运往A，B，C三地的费用分别为5元/吨，9元/吨，6元/吨，问怎样调运，才能使总运费最小？

解

设从甲到A调运x吨，从甲到B调运y吨，从甲到C调运(300－x－y)吨，则从乙到A调运(200－x)吨，从乙到B调运(450－y)吨，从乙到C调运(100＋x＋y)吨，

设调运的总费用为z元，则z＝6x＋3y＋5(300－x－y)＋5(200－x)＋9(450－y)＋6(100＋x＋y)＝2x－5y＋7 150.

300－x－y≥0，由已知得约束条件为200－x≥0，

450－y≥0，100＋x＋y≥0，0≤x≤200，整理得0≤y≤450，

x＋y≤300，画可行域并平移直线2x－5y＝0可得最优解为x＝0，y＝300.

即从甲到B调运300吨，从乙到A调运200吨，从乙到B调运150吨，从乙到C调运400吨，总运费最小. 20.(12分)某厂家拟举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m万元(m≥0)满足x＝3－k(k为常数)，如果不搞促销m＋1x≥0，y≥0，活动，则该产品的年销售量只能是1万件.已知年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金). (1)将该产品的年利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；

(2)该厂家年促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？

解

(1)由题意可知，当m＝0时，x＝1(万件)，

所以1＝3－k，所以k＝2，所以x＝3－2，

m＋18＋16x每件产品的销售价格为1.5×x(万元)，

所以年利润

8＋16x1.5×－(8＋16x＋m)＝4＋8x－m

y＝x·x216＝4＋83－m＋1－m＝－m＋1＋（m＋1）＋29(m≥0).

16(2)因为m≥0时，＋(m＋1)≥216＝8，

m＋116所以y≤－8＋29＝21，当且仅当＝m＋1，

m＋1即m＝3(万元)时，ymax＝21(万元).

所以厂家年促销费用投入3万元时，厂家的利润最大. 21.(12分)在△ABC中，A，B，C成等差数列，a，b，c分别为A，B，C的对边，并且sin A·sin C＝cos2B，S△ABC＝43，求a，b，c. 解

∵A，B，C成等差数列，∴A＋C＝2B，

又A＋B＋C＝180°，∴B＝60°，

1∴sin A·sin C＝cos60°＝4.①

1又S△ABC＝43＝2acsin B，∴ac＝16.②

2aca2c2＝sin C＝64，

由①②，得＝sin A·sin Csin Aac∴sin A＝sin C＝8.

asin B∴b＝sin A＝8sin B＝8sin 60°＝43，

a2＋c2－b21∵cos B＝2ac＝2，

∴a2＋c2－b2＝ac，

∴(a＋c)2－b2＝3ac，

∴(a＋c)2＝48＋48＝96，∴a＋c＝46.③

联立③与②解得，a＝2(6＋2)，c＝2(6－2)或a＝2(6－2)，c＝2(6＋2). 22.(12分)已知函数f(x)＝(x－1)2，g(x)＝4(x－1)，数列{an}满足a1＝2，an≠1，(an＋1－an)g(an)＋f(an)＝0. 31(1)求证an＋1＝4an＋4；

(2)求数列{an－1}的通项公式；

(3)若bn＝3f(an)－g(an＋1)，求{bn}中的最大项. (1)证明

由(an＋1－an)g(an)＋f(an)＝0，

g(an)＝4(an－1)，f(an)＝(an－1)2，

得(an－1)·(4an＋1－3an－1)＝0.

31又an≠1，∴an＋1＝4an＋4.

(2)解

∵an≠1，

313a＋－14（an－1）an＋1－14n43∴＝＝＝4(n≥1)，

an－1an－1an－13∴{an－1}是公比为4的等比数列.

3n－1又a1－1＝1，∴an－1＝4.

3n－1(3)解

由(2)知an＝4＋1，

31由(1)知an＋1＝4an＋4，

则bn＝3f(an)－g(an＋1)＝3(an－1)2－4(an＋1－1)

132＝3(an－1)2－44an＋4－1＝3an－9an＋6

3n－123n－1＝3＋1－94＋1＋6

432n－23n－1＝34－34.

3n－1设u＝4，y＝bn，

123则y＝3u－3u＝3u－2－4，

23n－1∵当n≥1时，0＜u＝4≤1，

∴当u＝1时，ymax＝0，此时n＝1，

则{bn}的最大项为b1＝0.