小结课堂实录

第3讲

基本不等式

,

)

1．基本不等式ab≤a＋b2

(1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0．

(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．

2．算术平均数与几何平均数

设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为a＋b2，几何平均数为ab，基本不等式可叙述为：两个正实数的算术平均数不小于它们的几何平均数．

3．利用基本不等式求最值问题

已知x>0，y>0，则

(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2p．(简记：积定和最小) (2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是．(简记：和定积最4大)

1．辨明两个易误点

(1)使用基本不等式求最值，“一正，二定，三相等”三个条件缺一不可；

(2)连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致．

2．活用几个重要的不等式

p2baa2＋b2≥2ab(a，b∈R)；＋≥2(a，b同号且都不为0)；

aba＋b(a，b∈R)；a＋b≤a＋b(a，b∈R)．

ab≤2223．巧用“拆”“拼”“凑”

在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．

2222

1.教材习题改编

将正数m分成两个正数a与b之和，则ab的范围为(

) A．(0，]

2C．[，＋∞)

2

B

a＋b＝m≥2ab，

所以ab≤，故选B. 412.教材习题改编

函数f(x)＝x＋的值域为(

) m2B．(0，] 4D．[，＋∞)

4m2m2m2m2xA． 1B．∪ 当x>0时，x＋≥2xx·＝2. x1当x<0时，－x>0. 1－x＋≥2－x1（－x）·＝2. （－x）1所以x＋≤－2. x1所以f(x)＝x＋的值域为(－∞，－2]∪ 设折成的矩形的两边分别为x，y(x>0，y>0)．

x则x＋y＝. 2因为x＋y≥2xy，

1a2所以xy≤(x＋y)＝，

416即S矩形≤. 16当且仅当x＝y＝时，(S矩形)max＝.故选D. 4164．若x>1，则x＋

x＋4的最小值为________．

x－12aa2aa244＝x－1＋＋1≥4＋1＝5. x－1x－14，

x－1当且仅当x－1＝即x＝3时等号成立．

5 5．若实数x，y满足xy＝1，则x＋2y的最小值为______．

22

1

因为xy＝1，所以y＝，

x2222所以x＋2y＝x＋2≥2 xx2·2＝22. x2即x＋2y的最小值为22. 22

利用基本不等式求最值(高频考点)

利用基本不等式求最值是高考的常考内容，题型主要为选择题、填空题．

高考对利用基本不等式求最值的考查主要有以下三个命题角度：

(1)知和求积的最值；

(2)知积求和的最值；

(3)求参数的值或范围．

22b4a

(1)(2017·安徽合肥二模)若a，b都是正数，则1＋1＋的最小值为(

) abA．7

C．9 B．8 D．10 1112(2)(2017·安徽安庆二模)已知a>0，b>0，a＋b＝＋，则＋的最小值为(

) ababA．4 C．8 B．22 D．16 b4ab4a【解析】

(1)因为a，b都是正数，所以1＋1＋＝5＋＋≥5＋2ababb4a·＝9，ab当且仅当b＝2a>0时取等号．故选C. 11a＋b12(2)由a>0，b>0，a＋b＝＋＝，得ab＝1，则＋≥2ababab121·＝22.当且仅当＝aba2b，即a＝2，b＝2时等号成立．故选B. 2【答案】

(1)C (2)B

角度一

知和求积的最值

121．若实数a，b满足＋＝ab，则ab的最小值为(

) abA．2

C．22 B．2 D．4 21212

C

由＋＝ab知a>0，b>0，所以ab＝＋≥2ababab，

即ab≥22，

12a＝b，当且仅当12a＋b＝

ab，44即a＝2，b＝22时取“＝”，

所以ab的最小值为22.

角度二

知积求和的最值

2．已知函数y＝ax＋3－2(a>0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线＋＝－1上，xymn且m，n>0，则3m＋n的最小值为________．

易知函数y＝ax＋3－2(a>0，a≠1)恒过定点(－3，－1)，

所以A(－3，－1)．

又因为点A在直线＋＝－1上，

31所以＋＝1. xymnmn313m3n所以3m＋n＝(3m＋n)·＋＝10＋＋≥10＋2 nmmn当且仅当m＝n时，等号成立，

所以3m＋n的最小值为16. 16 3m3n·＝16，

nm

角度三

求参数的值或范围

1a3．已知不等式(x＋y)＋≥9对任意的正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为xy________．

yax1a2 (x＋y)＋＝1＋a＋＋≥1＋a＋2a＝(a＋1)(x，y，a>0)，

xyxy当且仅当y＝ax时取等号，

1a2所以(x＋y)·＋的最小值为(a＋1)，

xy于是(a＋1)≥9恒成立．

所以a≥4.

4

利用基本不等式解决实际问题

小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产x万件，需另投入流动成本为W(x)万元，1100在年产量不足8万件时，W(x)＝x2＋x(万元)．在年产量不小于8万件时，W(x)＝6x＋－3x38(万元)．每件产品售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品能当年全部售完．

(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本) (2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？

【解】

(1)因为每件商品售价为5元，则x万件商品销售收入为5x万元，

依题意得，当0

22L(x)＝5x－x＋x－3＝－x2＋4x－3；

100100当x≥8时，L(x)＝5x－6x＋－38－3＝35－x＋. 1313xx12－x＋4x－3，0

10035－x＋，x≥8.x12(2)当0

此时，当x＝6时，

L(x)取得最大值L(6)＝9万元，

100当x≥8时，L(x)＝35－x＋≤35－2 x100此时，当且仅当x＝，

x·100x＝35－20＝15，

x即x＝10时，L(x)取得最大值15万元．

因为9<15，所以当年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润为15万元．

某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价8降低x成(1成＝10%)，售出商品数量就增加x成．要求售价不能低于成本价．

5(1)设该商店一天的营业额为y，试求y与x之间的函数关系式y＝f(x)，并写出定义域．

(2)若要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x的取值范围．

x8 (1)由题意得y＝1001－·1001＋x. 1050因为售价不能低于成本价，所以1001－－80≥0，得x≤2.所以y＝f(x)＝20(10－10xx)(50＋8x)，定义域为．

1132(2)由题意得20(10－x)(50＋8x)≥10 260，化简得8x－30x＋13≤0.解得≤x≤. 241所以x的取值范围是，2. 2,

)

——忽视最值取得的条件致误

12

(1)已知x>0，y>0，且＋＝1，则x＋y的最小值是________．

xy

3(2)函数y＝1－2x－(x<0)的最小值为________．

x【解析】

(1)因为x>0，y>0，

12所以x＋y＝(x＋y)＋

xyy2x＝3＋＋≥3＋22(当且仅当y＝2x时取等号)，

xy所以当x＝2＋1，y＝2＋2时，(x＋y)min＝3＋22. 33(2)因为x<0，所以y＝1－2x－＝1＋(－2x)＋(－)≥1＋2xx3（－2x）·＝1＋－x26，当且仅当x＝－6时取等号，故y的最小值为1＋26. 2【答案】

(1)3＋22 (2)1＋26

(1)利用基本不等式求最值，一定要注意应用条件，如本例(2)易忽视条3件x<0而误用基本不等式得2x＋≥26. x(2)尽量避免多次使用基本不等式，若必须多次使用，一定要保证等号成立的条件一致．

当3＜x＜12时，函数y＝（x－3）（12－x）

y＝

（x－3）（12－x）的最大值为________．

xx－x＋15x－36＝

2x36＝－x＋＋15 x≤－2x·＋15＝3. xx3636当且仅当x＝，

即x＝6时，ymax＝3. 3 ,

)

1．(2017·海口调研)已知a，b∈(0，＋∞)，且a＋b＝1，则ab的最大值为(

)

A．1

1C． 2

B

因为a，b∈(0，＋∞)，

所以1＝a＋b≥2ab，

1所以ab≤，

41当且仅当a＝b＝时等号成立．

21B．

4D．2

212．已知f(x)＝x＋－2(x<0)，则f(x)有(

) xA．最大值为0 C．最大值为－4 B．最小值为0 D．最小值为－4 1

C

因为x<0，所以f(x)＝－（－x）＋－2≤－2－2＝－4，

（－x）1当且仅当－x＝，即x＝－1时取等号．

－x13．(2017·安徽省六校联考)若正实数x，y满足x＋y＝2，且≥M恒成立，则M的最xy大值为(

) A．1 C．3 B．2 D．4

A

因为正实数x，y满足x＋y＝2，

（x＋y）21所以xy≤＝＝1，所以≥1；

44xy1又≥M恒成立，所以M≤1，即M的最大值为1. 22xy4．已知函数y＝x－4＋A．－3 C．3

C

y＝x－4＋9(x>－1)，当x＝a时，y取得最小值b，则a＋b等于(

) x＋1B．2 D．8 99＝x＋1＋－5，

x＋1x＋19>0. x＋1因为x>－1，所以x＋1>0，所以由基本不等式，

得y＝x＋1＋9－5≥2x＋19，

x＋1（x＋1）·9－5＝1，

x＋1当且仅当x＋1＝2即(x＋1)＝9，即x＋1＝3，x＝2时取等号，

所以a＝2，b＝1，a＋b＝3. 5．已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为(

) A．2 C．6

C

由已知得x＋3y＝9－xy，

又因为x>0，y>0，所以x＋3y≥23xy，

B．4 D．8 x＋3y，当且仅当x＝3y时，

所以3xy≤2即x＝3，y＝1时取等号，(x＋3y)＋12(x＋3y)－108≥0.

令x＋3y＝t，

则t>0且t＋12t－108≥0，

得t≥6即x＋3y≥6.

6．某车间分批生产某种产品，每批产品的生产准备费用为800元，若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准8备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品(

) A．60件 C．100件 B．80件

D．120件

222x800x

B

若每批生产x件产品，则每件产品的生产准备费用是元，仓储费用是元，总x8800x的费用是＋≥2x8800x·＝20，

x8800x当且仅当＝，即x＝80时取等号．

x8217．(2017·郑州检测)已知a>0，b>0，a＋2b＝3，则＋的最小值为________．

ab12

由a＋2b＝3得a＋b＝1，

33221211所以＋＝a＋b＋

ab33ab4a4b4＝＋＋≥＋233b3a3a4b8·＝. 3b3a3

3当且仅当a＝2b＝时取等号．

28

38．已知函数f(x)＝4x＋(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，则a＝________．

f(x)＝4x＋≥2＝4×3＝36. 36 9．正实数x，y满足x＋2y＝2，则3＋9的最小值是______．

利用基本不等式可得

3＋9＝3＋3≥23·3＝23因为x＋2y＝2，

所以3＋9≥23＝6，

1x2y当且仅当3＝3，即x＝1，y＝时取等号．

2 6 10．不等式x＋x<＋对任意a，b∈(0，＋∞)恒成立，则实数x的取值范围是________．

22axax4x·＝4a，当且仅当4x＝，即a＝4x时取等号，则由题意知aaxax2xyxyx2yx2yx＋2y. xy2abbaabab22

根据题意，由于不等式x＋x<＋对任意a，b∈(0，＋∞)恒成立，则x＋x<＋ba因为＋≥2 ，baminabbaab2·＝2，当且仅当a＝b时等号成立，所以x＋x<2，求解此一元二次不ba等式可知－2

(－2，1) 11．已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，求

(1)xy的最小值；

(2)x＋y的最小值．

(1)由2x＋8y－xy＝0，

82得＋＝1，

xy82又x>0，y>0，则1＝＋≥2 8xyxy28·＝. xy得xy≥64，

当且仅当x＝16，y＝4时，等号成立．

所以xy的最小值为64. 82(2)由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，

xy82则x＋y＝＋·(x＋y) xyx2x8y＝10＋＋≥10＋2 y2x8y·＝18. yx当且仅当x＝12且y＝6时等号成立，

所以x＋y的最小值为18.

→→→12．(2017·东北育才学校模拟)设OA＝(1，－2)，OB＝(a，－1)，OC＝(－b，0)(a>0，b>0，O为坐标原点)，若A，B，C三点共线，则＋的最小值是(

) abA．4 C．8 9B．

2D．9 21→→→

D

因为AB＝OB－OA＝(a－1，1)，

→AC＝OC－OA＝(－b－1，2)，

若A，B，C三点共线，

→→则有AB∥AC，

所以(a－1)×2－1×(－b－1)＝0，所以2a＋b＝1，

又a>0，b>0，

2121所以＋＝＋·(2a＋b) →→ababab2b2a＝5＋＋≥5＋22b2a·＝9，

ab2b2a＝，1当且仅当ab即a＝b＝时等号成立．

32a＋b＝1，13．已知x>0，y>0，且2x＋5y＝20. 求：(1)u＝lg x＋lg y的最大值；

11(2)＋的最小值．

xy (1)因为x>0，y>0，

所以由基本不等式，得2x＋5y≥210xy.

因为2x＋5y＝20，所以210xy≤20，xy≤10，

当且仅当2x＝5y时，等号成立．

2x＋5y＝20，x＝5，因此有解得

2x＝5y，y＝2，此时xy有最大值10. 所以u＝lg x＋lg y＝lg(xy)≤lg 10＝1. 所以当x＝5，y＝2时，u＝lg x＋lg y有最大值1. (2)因为x>0，y>0，

11112x＋5y15y2x所以＋＝＋·＝7＋＋≥

xyxyxy202017＋2 205y2x7＋210. ·＝20xy5y2x当且仅当＝时，等号成立．

xy2x＋5y＝20，由5yx2x＝，y1010－20x＝，3解得

20－410y＝.3117＋210所以＋的最小值为. xy2014．(2017·常州期末调研)某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建造一间室内面积为900 m的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1 m，三块矩形区域的前、后与内墙各保留1 m宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留3 m宽的通道，如图．设矩形温室的室内长为x(单位：m)，三块种植植物的矩形区域的总面积为S(单位：m)．

22

(1)求S关于x的函数关系式；

(2)求S的最大值．

(1)由题设，得S＝(x－8)(2)因为8

7 200所以2x＋≥2900－2＝－2x－7 200＋916，x∈(8，450)．

xxx7 2002x×＝240. x当且仅当x＝60时等号成立，从而S≤676.

故当矩形温室的室内长为60 m时，三块种植植物的矩形区域的总面积最大，最大为676 m.

2