有理数乘法的运算律教学实录与评析

适用学科

适用区域

知识点

初中数学

北师版区域

适用年级

课时时长（分钟）

初一

2课时

1、有理数的乘法法则

8、有理数除法法则（一）

2、倒数

9、求一个有理数的倒数

3、有理数乘法法则的推广

10、有理数除法法则（二）

4、有理数乘法的运算律

11、有理数的乘除混合运算

5、绝对值、相反数、和倒数的综合运算

12、有理数的加、减、乘、除混合运算

6、有理数乘法的实际应用

13、有理数乘除法在实际生活中的应用

7、探究规律题型

14、除法、绝对值、倒数的综合应用

教学目标

1、理解有理数乘法、除法的意义，掌握有理数乘法法则中积的符号法则和绝对值运算法则，并初步理解有理数乘法、除法法则的合理性．

2、理解互为倒数的意义，并会找一个数的倒数. 教学重点

1、会按照“先确定符号，后计算绝对值”的方法进行有理数的乘法、除法运算. 2、理解互为倒数的意义，并能求倒数. 教学难点

1、理解互为倒数的意义，并能求倒数. 2、准确运算有理数的乘除计算题.

【教学建议】

有理数的乘除法是有理数计算中的重点内容，在讲解这一部分的时候，要让学生练***量的习题来帮助学生更好的理解和应用这方面的知识.

【知识导图】

教学过程

一、导入

【教学建议】

在这一部分习题的练习最为重要，在学习过程中要注意结合小学乘除法知识，使学生熟练的应用加减法的运算定律，为代数计算打下牢固的基础. 有理数乘除法及上几讲的加减法是我们初中计算的基石，其中最为重要的是加减乘除的运算定律及综合应用题里的灵活使用.

二、知识讲解

1

有理数乘法运算律

考点乘法交换律：abba. 乘法结合律：abcabc. 乘法分配律：abcabac.

乘法分配律逆运算：abac=abc.

考点2

有理数的除法法则

1、两个有理数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除. 0除以任何非0的数都得0.（0不能做除数）

2、除以一个数等于乘这个数的倒数.

三

、例题精析

类型一

有理数的乘法法则

计算下列各题：

（1）53；

（2）68；

（3）13；

（4）9.750. 【解析】（1）-15；（2）48；（3）例题1

132344；（4）0. 9【总结与反思】负负为正，任何数与0相乘都为0.

类型二

倒数

例题1

1的倒数是( ) 311A．3 B． C．-3 D．



33【解析】C 【总结与反思】

一个数与它的倒数相乘得-1.

类型三

有理数乘法法则的推广

例题1

下列各式的乘积符号为正的是（ ）

A、23456；

B、23456；

C、23456；

D、23456. 【解析】D 【总结与反思】奇数个负数相乘为负数，偶数个负数相乘为正数.

类型四

有理数乘法的运算律

例题例题11

7171()(0.25)(4)(1)[()(1)][(0.25)(4)]这是为了运算简便而8787使用（ ）

A.乘法交换律 B.乘法结合律

C.乘法分配律 D.乘法结合律和交换律

【解析】D 【总结与反思】

小学阶段学习的乘法交换律、结合律、分配律在有理数的乘法中依然适用. 类型五

有理数乘法的实际应用

例题1

某食品加工厂的冷库能使冷藏的食品每小时降温5℃，如果刚进库的牛肉温度是10℃，进库8小时后温度可达 ℃．

【解析】-30 根据题意可知：进库8小时后温度为10﹣5×8=10﹣40=﹣30，故答案为：﹣30．

【总结与反思】

在应用题中，正负表示的是特定的含义.

类型六

有理数除法法则

例题1

计算下列各题：

（1）183； （2）155； （3）0(17)【解析】（1）6；（2）-3；（3）0. 【总结与反思】

有理数的除法依然遵循乘法中的负负为正的计算规律，先定符号，再定商的绝对值.

例题2

计算下面各题

（1）12；（2）12141255100；（3）；

12714624. 25【解析】（1）48；（2）-1.44；（3）【总结与反思】有理数的除法中，除以一个数等于乘以这个数的倒数.

类型七

有理数的乘除混合运算

例题1

（1）56； （2）2161339；

1648（3）8121424116； （4）5127；

4975410；（3）256；（4）-1；

3【解析】（1）180；（2）【总结与反思】

遵循负负为正，除以一个数等于等于这个数的倒数的计算法则即可. 类型八

有理数的加、减、乘、除混合运算

例题1

下列计算正确的是（ ）

A、51120；

518B、282；

C、82240；

31557318. 2816D、【解析】C A 正确值为

251 B 正确值为，只有一级运算的时候，要遵循从左往4321

128右计算的规则

D 正确值为【总结与反思】此题对综合能力要求比较高，在此类题型时，要注意细心计算和灵活运用.

四

、课堂运用

基础

1.下列四个运算中，结果最小的是（

）

A．-1+（-2）

B．1-（-2）

C．1×（-2）

D．1÷（-2）

2.下列说法中正确的有（ ）

①同号两数相乘，符号不变；

②异号两数相乘，积取负号；

③互为相反数的数相乘，积一定为负；

④两个有理数的积的绝对值，等于这两个有理数的绝对值的积．

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

3.﹣3的倒数是（ ）

A． 3 B.﹣3 C．11 D．- 33

4.如果一个数等于它的倒数，那么这个数一定是（ ）

A.0 B.1 C.-1 D.1或-1 5.有理数a,b在数轴上的位置如图所示，下列各式成立的是（ ）

A.＜0 B.ab＞0 C.ab＞0 D.a+b＞0

6.计算：

（1）146； （2）121； （3）23

7.若a＞0,b＞0，则ab______0,若a＜0,b＜0，则ab______0,ab341213a______0;

ba______0;

ba若a＞0,b＜0，则ab______0,______0;

ba若a=0,b＞0，则ab______0,______0;

b8.某自行车厂一周计划生产2100辆电动车，平均每天生产电动车300辆，由于各种原因，实际每天生产量与计划每天生产量相比有出入。下表是某周的生产情况（超产记为正、减产记为负，单位：辆）：

星期

减增

（1）根据记录的数据可知，该厂星期一生产电动车 辆

（2）产量最多的一天比产量最少的一天多生产电动车 辆

（3）该厂实行记件工资制，每生产一辆车可得60元，若超额完成任务，则超额部分每辆车另奖10元，每少生产一辆扣10元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？

答案与解析

1.【答案】A 一

+8 二

-2 三

-6 四

+11 五

-12 六

+6 日

+7

【解析】A的值为-3，最小. 2.【答案】B 【解析】①负负为正；③0和0互为相反数，但积不为负. 3.【答案】D 【解析】﹣3的倒数是-4.【答案】D 【解析】-1和1的倒数等于它本身. 5.【答案】C 【解析】-2＜a＜-1,0＜a＜1. 6.【答案】（1）-84；（2）21；（3）【解析】计算较为简单. 7.【答案】＞，＞；＞，＞；＜，＜；=，=. 【解析】依据除0之外，同号为正，异号为负的规律即可. 8.【答案】（1）308；（2）23；（3） 126840元

【解析】（1）有题意可知星期一生产电动车数量比300多8，列式计算即可．

（2）

产量最多的一天比300多11辆，产量最少的一天比300少12辆，所以计算11-（-12）即可．

（3）该厂工人这一周的工资总额=这周的产量60加上奖励的或减去扣得．所以先计算出这周的产量，看是超额还是没有完成，再带人计算即可．

试题解析：（1）300+8=308（辆）； （2）11-（-12）=23（辆）

（3）8-2-6+11-12+6+7=12，所以超额完成计划；211260+1012=126840元

答：该厂工人这一周的工资总额是126840元．

巩固

1

325

3

1.下列说法正确的是（ ）

A.一个数的绝对值大于它的倒数；

B.a一定是负数；

C.任何正数一定大于它的倒数；

D.零与任何有理数相乘，其积一定为零. 2.下列说法正确的是（ ）

①a的倒数为1a；②0的倒数是0；③若ab1，则a与b互为倒数；A.①② B.②③ C.①③ D.③

3.a、b、c的符号符合下面哪种情况时，这三个数的乘积必为正数（ A .a、b、c同号 B.b为负，a与c同号

C.a为负，b与c异号 D.c为正，a与b异号

4.如果四个有理数的积是负数，那么其中负因数有多少个？（ ）A．3 B．1 C．0或2 D．1或3 5.根据有理数的运算律，下列等式正确的是（ ）

A.abba； B.mabcmambmc；

C.abcabac； D.abca1bc.

6.计算下列各题：

（1）1640.50.25；

（2）1291201211039；

（3）83321； 884（4）123340.613241.45；

答案与解析

）

1.【答案】D 【解析】A 0和正数的绝对值等于它本身 B a可以是正数、负数和0 C 小于1的正数大于它的倒数 2.【答案】D 【解析】0不能为分母，且没有倒数

3.【答案】C 【解析】除0之外，同号为正，异号为负

4.【答案】D 【解析】在没有0的情况下，式子中有奇数个负数为负，偶数个负数为正. 5.【答案】B 【解析】A 互为相反数 C先算括号内，再算括号外

D 除以一个数等于等于这个数的倒数

6.【答案】（1）8；（2）0；（4）322；（5）. 93【解析】按照乘法计算规则计算即可.

1.用简便的方法计算下列各题: （1）0.250.5704

拔高

35131+-)×48 6412315（3）60×-60×+60×．

777179

（4）9918（2）(-2.若a,b,c为非零有理数，求abc的值. abc3.在数5,1,3,5,2中任取三个数相乘，其中最大的积是a，最小的积是b. （1）求a,b的值；

（2）若xayb0，求

答案与解析

1.【答案】（1）原式=35xy的值.

y3；

10（2）原式=-8+36-4=24；

（3）原式=60×（（4）899315-+）=60；

7771. 2【解析】按照乘法计算规则计算即可. 2.【答案】-1或1或-3或3. 【解析】abc、、均可为±1，因此三个负数的时候，和为-3；

abc两个负数的时候和为-1；

一个负数的时候，和为+1 没有负数的时候，和为+3. 3.【答案】见解析. 【解析】（1）最大的积是75，最小的积是-30 （2）两个绝对值的和为0，则两个绝对值分别为0，即x=-75，y=-30 （-30）3xy75=. =302y

五

、课堂小结

本节讲了2个重要内容：

1.

有理数的乘除法

乘法交换律：abba. 乘法结合律：abcabc. 乘法分配律：abcabac.

乘法分配律逆运算：abac=abc.

两个有理数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除. 0除以任何非0的数都得0.（0不能做除数）

除以一个数等于乘这个数的倒数. 2.有理数的加减乘除混合运算. 本节课重点是对有理数加减乘除混合运算的计算以及对有理数运算法则的应用

六

、课后作业

基础

1.若ab＜0，且ab＜0，那么必定有（ ）

A.a＞0，b＜0；

B.a＜0，b＞0；

C.a，b异号且正数的绝对值较大；

D.a，b异号且负数的绝对值较大. 2.如果两个数的和为正数，积是负数，那么这两个数（ ）

A.都是正数；

B.一个是正数，一个是负数，且负数的绝对值较大；

C.都是负数；

D.一个是正数，一个是负数，且正数的绝对值较大. 3.若m、n互为相反数，则

（ ）

A.mn＜0 B.mn＞0 C.mn≤0 D.mn≥0 4.下列说法正确的是（ ）

A.两个数的积大于每一个因数；

B.两个有理数的积的绝对值等于这两个数的绝对值的积；

C.两个数的积是0，则这两个数都是0；

D.一个数与它的相反数的积是负数. 5.下列说法错误的是（ ）

A.14与-0.25互为倒数 B.14与-4互为倒数 C.0.1与10互为倒数的倒数是0 D.0

6.下列说法正确的是（ ）

①两个正数中倒数大的反而小；②两个负数中倒数大的反而小；③两个有理数中倒数大的反而小；④两个符号相同的有理数中倒数大的反而小. A.①②④ B.① C.①②③ D.①④

7.下列各式中计算正确的有（ ）. （1）（―24）÷（―8）＝―3 （2）（＋32）÷（―8）＝―4 （3）（―445）÷（―5）＝1 （4）（―334）÷（―1.25）＝―3 A.1个 B.2个 C.3 个 D.4个

8.若m3,n2,且mn0，则mn的值是（ ）

A．-1 B．1 C．1或5 D

答案与解析

1.【答案】D 【解析】a，b异号且负数的绝对值较大. 2.【答案】D 【解析】一个是正数，一个是负数，且正数的绝对值较大. 3.【答案】C 【解析】除0之外，同号为正，异号为负. 4.【答案】B 【解析】 A 一正一负时，积至少小于其中的一个因数，

C 两个数的积是0，则有一个数为0 D 0的相反数为0. 5.【答案】D 【解析】0没有倒数. 6.【答案】A 【解析】③如果两个数异号，例如-5和6，1＜156

7.【答案】B ．1

【解析】（1）商为+3 （3）商为+1 8.【答案】D 【解析】m和n异号，-3+2=-1,3-2=1.

巩固

1.大于3小于5的所有整数的积是( ) A、240 B、240 C、0 D、3600

2.若有2015个有理数相乘所得的积为0，那么这2015个数中（ ）

A、最多有一个数为0 B、至少有一个数是0 C、恰有一个数为0 D3.（1）若ab＞0,且ba＞0,试确定a,b的正负性. （2）根据（1）的解法填空：

①若ab＞0,且ba＞0,则a____0,b____0;

②若ab＜0,且ba＜0,则a____b;

③若ab＞0,且ba＜0,则a____b.

4.计算下列各题：

（1）981312；

（2）229037.5. （3）215346136； （4）1351157；

（5）522852514； （6）1113356231511196757675

、均为0

答案与解析

1.【答案】C 【解析】大于-3小于5的所有整数有-2、-1、0、1、2、3、4，因此积为0. 2.【答案】B、

【解析】至少有一个为0. 3.【答案】（1）a,b都是正数；（2）①＞，＞；②＜；③＞. 【解析】和和积均为正，所以两数均为正数；

和和积一正一负，所以一个是正数，一个是负数，且负数的绝对值较大；

和为正，积为负，所以一个是正数，一个是负数，且正数的绝对值较大. 4.【答案】（1）147；（2）0.（3）15；（4）【解析】

按照四则运算法则计算即可.

1.计算下列各题：

（1）1

拔高

13；（5）；（6）28. 1221551152；

277227474747（2）5373123；

（3）6.6（4）253382.23.3；

77713125254；

421111，－，，－……请你找出其中排列的规律，并按此规律2612202.观察下面的一列数：填空．第9个数是________，第10个数是________．

答案与解析

1.

【答案】（1）5；（2）0；（3）0；（4）0. 2【解析】按照四则运算计算法则计算即可.

2.【答案】11,. 90110【解析】 可以发现分子永远为1，分母是两个相邻数的成积，且其中一个为项的序号，奇数项永远为正数，偶数项永远为负数，由此规律推出第9个数和第10个数．

11111111，，，…，

2126231234204511∴第9个数是：，

9109011第10个数是：

1011110试题解析：∵