测试教学设计(第二课时)

锐角三角函数与特殊角

一、选择题

1, （2015•淄博第7题,4分）若锐角α满足cosα＜

B．

45°

A．30°＜α＜45°＜α＜60°考点：锐角三角函数的增减性．. 专题：应用题．

分析：先由特殊角的三角函数值及余弦函数随锐角的增大而减小，得出45°＜α＜90°；再由特殊角的三角函数值及正切函数随锐角的增大而增大，得出0＜α＜60°；从而得出45°＜α＜60°．

解答：解：∵α是锐角，

∴cosα＞0，

∵cosα＜，

，

，

且tanα＜，则α的范围是（

）

D．

30°

＜α＜60°C．

60°

＜α＜90°∴0＜cosα＜=0，cos45°=又∵cos90°∴45°＜α＜90°；

∵α是锐角，

∴tanα＞0，

∵tanα＜，

，

∴0＜tanα＜=0，tan60°=又∵tan0°0＜α＜60°；

故45°＜α＜60°．

故选B．

，

点评：本题主要考查了余弦函数、正切函数的增减性与特殊角的余弦函数、正切函数值，熟记特殊角的三角函数值和了解锐角三角函数的增减性是解题的关键．

2. （2015•四川南充,第5题3分）如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东方向55°，距离灯塔为2 海里的点A处．如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东位置，海轮航行的距离AB长是（

）

（A）2 海里

（B）（C）海里

（D）海里

海里

【答案】C

【解析】

试题分析：根据题意可得∠PAB=55°，则cos∠PAB=考点：三角函数的应用.

3. （2015•浙江湖州，第8题3分）如图，以点O为圆心的两个圆中，大圆的弦AB切小圆于点C，OA交小圆于点D，若OD=2，

tan∠OAB=A. 4

B. 2

，则AB的长是(

) C. 8

D. 4

=，即cos55°cos55°. ，则AB=2·

【答案】C.

考点：切线的性质定理；锐角三角函数；垂径定理. 4. （2015•浙江丽水，第8题3分）8.

如图，点A为∠α边上任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，

下列用线段比表示cos的值，错误．．的是

A. BDBCBC

B. AB

C. AD

CDAC

D. AC

【答案】C 【考点】锐角三角函数定义. 【分析】根据余弦函数定义：cos邻边斜边对各选项逐一作出判断：

A. 在RtBCD中，cosBDBC，正确；

B. 在RtABC中，

cosBCAB，正确；

C、D.在RtACD中，∵ACD，∴

cosCDAC.故C错误；D正确.

故选C．

5. （2015•四川乐山,第7题3分）如图，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则cosA的值为（

A．

B．

C．

D．

【答案】D．

）

考点：1．锐角三角函数的定义；2．勾股定理；3．勾股定理的逆定理；4．格型．

6.（2015•山东聊城,第15题3分）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD是∠ABC的平分线．若AB=6，则点D到AB的距离是

．

考点：

角平分线的性质．. 分析：

求出∠ABC，求出∠DBC，根据含30度角的直角三角形性质求出BC，CD，问题即可求出．

解答：

解：∵∠C=90°，∠A=30°，

∴∠ABC=180°=60°﹣30°﹣90°，

∵BD是∠ABC的平分线，

∴∠DBC=∠ABC=30°，

∴BC=AB=3，

∴CD=BC•tan30°=3×=，

∵BD是∠ABC的平分线，

又∵角平线上点到角两边距离相等，

∴点D到AB的距离=CD=故答案为：．

，

点评：

本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．

7,（3分）（2015·山东威海，第2题3分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=26°，BC=5．若用科学计算器

求边AC的长，则下列按键顺序正确的是（

）

A．

C．

B．

D．

考点：

计算器—三角函数．. 分析：

根据正切函数的定义，可得tan∠B=解答：

接：由tan∠B=AC=BC•tanB=5×tan26．

故选：D．

点评：

本题考查了计算器，利用了锐角三角函数，计算器的应用，熟练应用计算器是解题关键．

8．（4分）（（2015•山东日照

，第10题4分））如图，在直角△BAD中，延长斜边BD到点C，使DC=BD，连接AC，若tanB=，则tan∠CAD的值（

）

，得

，根据计算器的应用，可得答案．

A．

B．

C．

D．

考点：

解直角三角形．. 分析：

延长AD，过点C作CE⊥AD，垂足为E，由tanB=，即△CDE∽△BDA，然后相似三角形的对应边成比例可得：tan∠CAD==．

=，设AD=5x，则AB=3x，然后可证明，进而可得CE=x，DE=，从而可求解答：

解：如图，延长AD，过点C作CE⊥AD，垂足为E，

∵tanB=，即=，

∴设AD=5x，则AB=3x，

∵∠CDE=∠BDA，∠CED=∠BAD，

∴△CDE∽△BDA，

∴∴CE=x，DE=∴AE=，

=．

，

，

∴tan∠CAD=故选D．

点评：

本题考查了锐角三角函数的定义，相似三角形的判定和性质以及直角三角形的性质，是基础知识要熟练掌握，解题的关键是：正确添加辅助线，将∠CAD放在直角三角形中．

9．（2015•甘肃兰州,第4题，4分）如图，△ABC中，∠B=90°，BC=2AB，则cosA= A. 15255

B.

C.

D.

2525

【

答

案

】D

【考点解剖】本题考查了直角三角形中角的三角函数值的定义

【思路点拔】直角三角形中，某锐角的余弦值等于夹这个角的那条直角边与斜边之比

222222【解答过程】Rt△ABC中，AC=AB+BC= AB+(2AB)=5 AB，

∴AC=5AB，则cosA=ABAB5，选D

AC55AB【解题策略】一般地说，在涉及到某个锐角的三角函数值时，只要将之放到直角三角形中去，那么问题往往不难解决。

在直角三角形中，我们将夹角α的那条直角边称为邻边，角α所对的那条边称为对边，那么角阿尔法的各三角函数值分别为sin对边邻边对边，cos，tan。

斜边斜边邻边如果原题没有图，那么可以自己在草稿纸上画一个示意图；如果是在斜三角形中，那么可以根据实际情况构造一个

直角三角形出来，将问题转化到直角三角形中去解决。

【题目星级】★★

10．(2015•江苏无锡,第7题2分)tan45°的值为（

）

考点：

特殊角的三角函数值．

=1，据此解答即可．

分析：

根据45°角这个特殊角的三角函数值，可得tan45°=1，

解答：

解：tan45°即tan45°的值为1．

故选：B．

点评：

此题主要考查了特殊角的三角函数值，要熟练掌握，解答此类问题的关键是牢记30°、45°、60°角的各种三角函数值．

二.填空题

1．（2015•甘肃武威,第15题3分）已知α、β均为锐角，且满足|sinα﹣|+

考点：特殊角的三角函数值；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根．

分析：根据非负数的性质求出sinα、tanβ的值，然后根据特殊角的三角函数值求出两个角的度数．

解答：解：∵|sinα﹣|+∴sinα=，tanβ=1，

∴α=30°，β=45°，

+45°=75°则α+β=30°．

故答案为：75°．

点评：本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．

2.（2015•山东临沂,第17题3分）如图，在面积是________. ABCD中，连接BD，, , ，则ABCD的=0，

=0，则α+β= 75°

．

A．

B．

1

C．

D．

【答案】

考点：勾股定理，平行四边形的面积

3.（2015•四川省内江市，第23题，6分）在平面直角坐标系xOy中，过点P（0，2）作直线l：y=x+b（b为常数且b＜2）的垂线，垂足为点Q，则tan∠OPQ=

考点：

一次函数图象上点的坐标特征；解直角三角形．. 分析：

设直线l与坐标轴的交点分别为A、B，根据三角形内角和定理求得∴∠OAB=∠OPQ，根据一次函数图象上点的坐标特征求得tan∠OAB=，进而就可求得．

解答：

解：如图，设直线l与坐标轴的交点分别为A、B，

∵∠AOB=∠PQB=90°，∠ABO=∠PBQ，

∴∠OAB=∠OPQ，

由直线的斜率可知：tan∠OAB=，

∴tan∠OPQ=；

故答案为．

．

点评：

本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，解直角三角形，求得∠OAB=∠OPQ是解题的关键．

三.解答题

1．（6分）（2015•岳阳）计算：（﹣1）4﹣2tan60°+

考点：

实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值．

分析：

根据有理数的乘方，特殊角的三角函数值，零指数幂，二次根式的性质分别求出每一部分的值，再求出即可．

解答：

解：原式=1﹣2=2．

点评：

本题考查了有理数的乘方，特殊角的三角函数值，零指数幂，二次根式的性质的应用，解此题的关键是能求出每一部分的值，难度适中．

2. （2015•四川南充,第22题8分）如图，矩形纸片ABCD，将△AMP和△BPQ分别沿PM和PQ折叠（AP＞AM），点A和点B都与点E重合；再将△CQD沿DQ折叠，点C落在线段EQ上点F处．

（1）判断△AMP，△BPQ，△CQD和△FDM中有哪几对相似三角形？（不需说明理由）

（2）如果AM＝1，sin∠DMF＝，求AB的长．

+．

【答案】△AMP∽△BPQ∽△CQD；AB=6.

(1)、试题解析：有三对相似三角形，即△AMP∽△BPQ∽△CQD

(2)、设AP=x，有折叠关系可得：BP=AP=EP=x

AB=DC=2x

AM=1 由△AMP∽△BPQ得：

即

由△AMP∽△CQD得：

即CQ=2 AD=BC=BQ+CQ=+2

MD=AD－AM=+2－1=+1

解得：x=3或x=(不合题意，舍去) 又∵在Rt△FDM中，sin∠DMF=∴AB=2x=6.

DF=DC=2x

∴考点：相似三角形的应用、三角函数、折叠图形的性质. 3．（2015•四川自贡,第18题8分）如图所示，我市某中学课外活动小组的同学利用所学知识去测釜溪河沙湾段的宽度.小宇同学在A处观测对岸C点，测得CAD45o,小英同学在A处50米远的B处测得CBD30o,请你根据这些数据算出河宽.（精确到0.01米，21.414,31.732）

C

45°30°DEAB考点：直角三角形的性质、三角函数、方程思想、分母有理化等. 分析：本题所求得如图所示的河宽CE，若直接放在一个三角形求缺少条件，但表示河宽的CE同时是△AEC和△ABC的公共边，利用△AEC和△ABC的特殊角关系可以转移到边AE、BE来求，通过BEAEAB50米建立方程可获得解决.

略解：

过点C作CEAB于E,设CEx米.

在Rt△AEC中：CAE45o,AECEx

在Rt△ABC中：CABE30o,BE3CE3x

∴3xx50

解得：x2532567.30

答：河宽为67.30米.

4. （2015•浙江省绍兴市，第17题，8分）

（1）计算：2cos45(1)0（2）解不等式：3x5≤2(x2)

考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；解一元一次不等式；特殊角的三角函数值．. 专题：计算题．

分析：（1）原式第一项利用特殊角的三角函数值计算，第二项利用零指数幂法则计算，第三项利用算术平方根定义计算，最后一项利用负整数指数幂法则计算即可得到结果；

（2）不等式去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解．

解答：解：（1）原式=2×﹣1++2=+；

11()1；

42（2）去括号得：3x﹣5≤2x+4，

移项合并得：x≤9．

点评：此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

5.（2015•山东东营,第24题10分）如图，两个全等的△如下变换：

（1）如图1，△的关系；

（2）如图2，当点F平移到线段BC的中点时，若四边形AFBD为正方形，那么△证明；

（3）在（2）的条件下，将△画出图形，并求出沿DF折叠，点E落在FA的延长线上的点G处，连接CG，请你在图3的位置应满足什么条件？请给出沿直线CB向右平移（即点F在线段CB上移动），连接AF、AD、BD，请直接写出与和△重叠在一起，固定△，将△进行的值．

【答案】(1) (1) S△ABC=S四边形AFBD；

(2)△ABC为等腰直角三角形，即：AB=AC，∠BAC=90°,证明见解析；

(3)图形见解析；sin∠CGF=【解析】

(1)由平移可知AD=BE，

S△ABC=S△DFE，S△DFE=S△DFB+S△DBE，

S△ABC=S四边形AFBD；

试题分析：从而可得S△DBE=S△DFA，（2）若四边形AFBD是正方形，则∠AFB=90°，AF=BF，又CF=BF，从而可知AF=AF=BF，从而可得∠BAC=90°，AB=AC；

（3）由（2）知，△ABC为等腰直角三角形, 从而可知GF=2CF，设CF=,则GF=EF=CB=2k，由勾股定理，得：CG=k,从而可求得sin∠CGF=. . 试题解析：(1) S△ABC=S四边形AFBD；

(2) △ABC为等腰直角三角形，即：AB=AC，∠BAC=90°,理由如下：

∵Ｆ为BC的中点，∴CF=BF，∵CF= AD，∴AD= BF，又∵AD∥BF，∴四边形AFBD为平行四边形，∵AB=AC,,F为BC的中点，∴AF=BC=BF，∴四Ｆ为BC的中点，∴AF⊥BC，∴平行四边形AFBD为矩形，∵∠BAC=90°边形AFBD为正方形；

(3)正确画出图形

由（2）知，△ABC为等腰直角三角形, AF⊥BC，设CF=k，则GF=EF=CB=2k，由勾股定理，得：CG=k,sin∠CGF===.

考点：三角形综合题.

6 .（2015•山东聊城,第24题10分）如图，已知AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD切⊙O于点D，过点B作BE垂直于PD，交PD的延长线于点C，连接AD并延长，交BE于点E．

（1）求证：AB=BE；

（2）若PA=2，cosB=，求⊙O半径的长．

考点：

切线的性质；解直角三角形．. 分析：

（1）本题可连接OD，由PD切⊙O于点D，得到OD⊥PD，由于BE⊥PC，得到OD∥BE，得出∠ADO=∠E，根据等腰三角形的性质和等量代换可得结果；

（2）由（1）知，OD∥BE，得到∠POD=∠B，根据三角函数的定义即可得到结果．

解答：

（1）证明：连接OD，

∵PD切⊙O于点D，

∴OD⊥PD，

∵BE⊥PC，

∴OD∥BE，

∴ADO=∠E，

∵OA=OD，

∴∠OAD=∠ADO，

∴∠OAD=∠E，

∴AB=BE；

（2）解：有（1）知，OD∥BE，

∴∠POD=∠B，

∴cos∠POD=cosB=，

在Rt△POD中，cos∠POD==，

∵OD=OA，PO=PA+OA=2+OA，

∴∴OA=3，

，

∴⊙O半径=3．

点评：

本题考查了切线的性质，等腰三角形性质以及等边三角形的判定等知识点，正确的画出辅助线是解题的关键．

7. （2015山东济宁，21，9分）(本题满分9分) 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.即在解：在中，若中，，

，，求. .利用上述结论可以求解如下题目.如：

问题解决：

如图，甲船以每小时且乙船从向的处按北偏东海里的速度向正北方航行，当甲船位于方向匀速直线航行，当甲船航行海里. 处时，乙船位于甲船的北偏西方向的处，方分钟到达处时，乙船航行到甲船的北偏西处，此时两船相距（1）

判断的形状，并给出证明. （2）

乙船每小时航行多少海里？

【答案】（1）【解析】

是等边三角形.（2）海里

试题分析：（1）根据图形和已知可得可证得（2）由图可求是等边三角形；

，，及

，，然后可求

，

，由，再根据正弦定理可求解

，然后根据乙船行驶的时间求出速度即可. 试题解析：解：（1）证明：如图，由已知，

，

又是等边三角形

是等边三角形. ，

，

（2）是等边三角形，

，

由已知. ，

在中，由正弦定理得：，

因此，乙船的速度的大小为（海里/小时）．

答：乙船每小时航行海里．

考点：等边三角形，正弦定理

8．（2015•广东省,第19题，6分）如图，已知锐角△ABC. （1）过点A作BC边的垂线MN，交BC于点D（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）；

（2）在（1）条件下，若BC=5，AD=4，

tan∠BAD=3，求DC的长.

4

【答案】解：（1）作图如答图所示，AD为所作.

（2）在Rt△ABD中，AD=4，tan∠BAD=∴BD3，解得BD=3. 44BD3，

AD4∵BC=5，∴DC=AD﹣BD=5﹣3=2. 【考点】尺规作图（基本作图）；解直角三角形的应用；锐角三角函数定义. 【分析】（1）①以点A为圆心画弧交BC于点E、F；

②分别以点E、F为圆心，大于1EF长为半径画弧，两交于点G；

2③连接AG，即为BC边的垂线MN，交BC于点D. （2）在Rt△ABD中，根据正切函数定义求出BD的长，从而由BC的长，根据等量减等量差相等求出DC的长.

9. （2015•四川乐山,第17题9分）计算：．

【答案】．

考点：1．实数的运算；2．特殊角的三角函数值．

10. （2015•四川凉山州,第18题6分）计算：【答案】．

．

【解析】

试题分析：分别利用特殊角的三角函数值以及绝对值的性质化简求出即可．

试题解析：原式==．

考点：1．二次根式的混合运算；2．特殊角的三角函数值．

11. （2015•四川成都,第15题第1小题6分）计算：8(2015π)04cos45(3)2

【答案】：8

【解析】：原式221229

8

x2y5(2)解方程组：

3x2y1【答案】：x1

y2【解析】：

两式相加得4x4，解得x1，将x1代入第一个式子，解得y2，

所以方程组的解为

x1。

y2